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(2022.06.22 Wed)
Markowitz在20世紀(jì)50年代引進(jìn)了均值-方差模型成了現(xiàn)代證券組合理論的基石。

證券組合理論

在該理論中通常有n種標(biāo)的可投，每種標(biāo)的的收益率可以看做是隨機(jī)變量，記為 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ ，相應(yīng)的均值為 $\overline r_1,\overline r_2,\cdots,\overline r_n$ ，方差記為 $\sigma_1^2,\sigma_2^2,\cdots,\sigma_n^2$ ， $r_i$ 和 $r_j$ 的相關(guān)系數(shù)記作 $\rho_{ij}$ 。

一個(gè)假定是，投資者追求高收益而規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，或者有高均值而無(wú)大的方差。但經(jīng)驗(yàn)告訴我們高收益總是伴隨高風(fēng)險(xiǎn)。根本解決方案在于通過(guò)證券組合(portfolio)，即資金分散于各種證券，用于分散風(fēng)險(xiǎn)。

基于上面分析，設(shè)n種標(biāo)的的資金比例分別為 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ ，有 $\sum_i w_i = 1$
總的收益率是 $r_p = \sum_i w_i r_i$
因此平均收益率為 $\overline r_p = Er_p = \sum_i w_i \overline r_i$
方差為 $\sigma_p^2 = Dr_p = \sum_i\sum_j w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i \sigma_j$

一般來(lái)說(shuō)， $\sigma_p^2$ 遠(yuǎn)小于 $\sigma_i^2$ ，也就是說(shuō)分散投資之后的風(fēng)險(xiǎn)顯著降低。若充分分散化，比如 $w_i = \frac{1}{n}, i = 1,2,3,\cdots,n$ ，則有 $\sigma_p^2 = \frac{1}{n^2} \sum_i \sum_j \rho_{ij}\sigma_i \sigma_j$
如果大部分標(biāo)的不相關(guān)或弱相關(guān)，則上式可以簡(jiǎn)化成 $\sigma_p^2 = \sum_i \sigma_i^2$

標(biāo)的比例計(jì)算

根據(jù)前面推導(dǎo)結(jié)果，計(jì)算 $\sigma_p^2$ 最小情況下的 $w_i$ ，就可以確定不同標(biāo)的在如何搭配時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小。這是一個(gè)線性約束下餓二次規(guī)劃問(wèn)題。

這里我們計(jì)算一種特例，即只有兩種標(biāo)的下的持有比例。在分析之前，首先回顧一下期望、方差、協(xié)方差這幾個(gè)概念。

數(shù)學(xué)概念

期望expectation\mean：設(shè) $\xi$ (讀作xi)為一離散型隨機(jī)變量，它的取值 $x_1,x_2,\cdots$ 對(duì)應(yīng)的概率是 $p_1,p_2,\cdots$ 如果級(jí)數(shù) $\sum_{i=1}^{\infty}x_i p_i$ 絕對(duì)收斂，則把它稱作 $\xi$ 的數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)，簡(jiǎn)稱期望或均值(mean)，記作 $E\xi$ 。
當(dāng)該級(jí)數(shù)發(fā)散，則說(shuō) $\xi$ 的期望不存在。
連續(xù)情況：設(shè) $\xi$ 具有概率密度函數(shù) $p(x)$ 的連續(xù)性隨機(jī)變量，當(dāng)積分 $\int_{-\infty}^{\infty}xp(x) \mathrmu0z1t8os x$ 絕對(duì)收斂時(shí)，稱之為 $\xi$ 的數(shù)學(xué)期望或均值，記作 $E\xi$ ，即 $E\xi = \int_{-\infty}^{\infty} xp(x) \mathrmu0z1t8osx$
如果 $\xi$ 的分布函數(shù)為 $F(x)$ ，則期望的定義為 $E\xi = \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrmu0z1t8osF(x)$
方差variance：描述了隨機(jī)變量對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度(dispersion)
定義：若 $E(\xi-E\xi)^2$ 存在，則稱它為隨機(jī)變量 $\xi$ 的方差，并記作 $D\xi$ ，而 $\sqrt{D\xi}$ 成為根方差、均方差、標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)或波動(dòng)率(volatility)。
離散情況下方差的計(jì)算 $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2$
或在加權(quán)情況下 $\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E\xi)^2p_i$
協(xié)方差(covariance)：不同隨機(jī)變量偏離其期望的程度。
定義：稱 $\sigma_{ij}=\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j)=E[(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)]$ $i,j=1,2,\cdots,n$
稱 $\rho_{ij}=\frac{\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j)}{\sqrt{D\xi_i}\sqrt{D\xi_j}}=\frac{\sigma_{ij}}{\sqrt{D\xi_i}\sqrt{D\xi_j}}$ 為 $\xi_i$ 和 $\xi_j$ 之間的相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)。
根據(jù)定義，可推得 $\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j) = E\xi_i\xi_j-E\xi_i\cdot E\xi_j$ $D(\sum_{i=1}^{n}\xi_i)=\sum D\xi_i + 2\sum_{1\le i< j\le n}\mathrm{cov}(\xi_j, \xi_j)$
當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正，稱兩隨機(jī)變量正相關(guān)，負(fù)則負(fù)相關(guān)。

計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程

假定兩只投資標(biāo)的的波動(dòng)率(volatility)/標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)分別為 $v_1=40\%, v_2=20\%$ ，求兩只標(biāo)的怎樣持有才能保證風(fēng)險(xiǎn)最小。

推導(dǎo)過(guò)程：
有 $\sigma_1=0.4, \sigma_2=0.2$ ，相關(guān)系數(shù)為 $\rho_{12}$ 默認(rèn)為0，求兩個(gè)標(biāo)的上分配的資金比例 $w_1, w_2$ 。
portfolio只有兩個(gè)標(biāo)的，于是有 $w_1+w_2 = 1$
組合的收益率表示為 $r=w_1 r_1+w_2 r_2$
組合的平均收益率為 $\overline r = w_1 \overline r_1 + w_2 \overline r_2$
組合的方差為
$\begin{aligned} \sigma^2 &= E(r-\overline r)^2 \\ \sigma^2 &= E((w_1 r_1 -w_1\overline r_1) + (w_2 r_2 -w_2\overline r_2))^2\\ \sigma^2 & =E(w_1r_1-w_1\overline r_1)^2 + E(w_2r_2-w_2\overline r_2)^2+2w_1w_2E((r1-\overline r_1)(r_2-\overline r_2))\\ \sigma^2 &=w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2+ 2w_1w_2\rho_{12} \end{aligned}$
根據(jù)前面已知條件，組合的方差可簡(jiǎn)化為 $\begin{aligned} \sigma^2 &= 0.16w_1^2 +0.04(1-w_1)^2\\ \sigma^2&=0.2(w_1-0.2)^2 +0.032 \end{aligned}$
根據(jù)上式，在 $w_1=20\%, w_2=80\%$ 的時(shí)候該portfolio的風(fēng)險(xiǎn)最小， $\sigma^2 = 0.032$ 。