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2011年理數(shù)安徽卷題21

分值：13分
設(shè) $\lambda \gt 0$ ，點(diǎn) $A$ 的坐標(biāo)為 $(1,1)$ ，點(diǎn) $B$ 在拋物線 $y=x^2$ 上運(yùn)動，點(diǎn) $Q$ 滿足 $\overrightarrow{BQ} =\lambda \overrightarrow{QA}$ ，經(jīng)過點(diǎn) $Q$ 與 $x$ 軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn) $M$ ，點(diǎn) $P$ 滿足 $\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}$ ，求點(diǎn) $P$ 的軌跡方程.

2011年理數(shù)安徽卷題21

2011年理數(shù)江西卷題20

分值：13分

$P(x_0,y_0) (x_0 \ne \pm a)$ 是雙曲線 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt 0, b\gt 0)$ 上一點(diǎn)， $M、N$ 分別是雙曲線 $E$ 的左、右頂點(diǎn)，直線 $PM,PN$ 的斜率之積為 $\dfrac{1}{5}$ .

（1）求雙曲線的離心率；

（2）過雙曲線 $E$ 的右焦點(diǎn)且斜率為 $1$ 的直線交雙曲線于 $A,B$ 兩點(diǎn)， $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)， $C$ 為雙曲線上一點(diǎn)，滿足 $\overrightarrow{OC} =\lambda \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}$ ，求 $\lambda$ 的值.

2012年理數(shù)安徽卷題20

分值：13分

如圖，點(diǎn) $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 分別是橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) $F_1$ 作 $x$ 軸的垂線交橢圓 $C$ 的上半部分于點(diǎn) $P$ ，過點(diǎn) $F_2$ 作直線 $PF_2$ 的垂線交直線 $x=\dfrac{a^2}{c}$ 于點(diǎn) $Q$ .

（I）如果點(diǎn) $Q$ 的坐標(biāo)是 $(4,4)$ , 求此時(shí)橢圓 $C$ 的方程；

（Ⅱ）證明∶直線 $PQ$ 與橢圓 $C$ 只有一個(gè)交點(diǎn).

2012年理數(shù)安徽卷題20

2012年理數(shù)江西卷題20

分值：13分

已知三點(diǎn) $O(0,0),A(-2,1),B(2,1)$ , 曲線 $C$ 上任意一點(diǎn) $M(x,y)$ 滿足 $| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} | = \overrightarrow{OM} \cdot ( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow {OB} ) +2$ .

（1）求曲線 $C$ 的方程；

（2）動點(diǎn) $Q(x_0,y_0)\;(-2 \lt x_0 \lt 2)$ 在曲線 $C$ 上，曲線 $C$ 在點(diǎn) $Q$ 處的切線為 $l$ .

問：是否存在定點(diǎn) $P(0,t) (t \lt 0)$ ，使得 $l$ 與 $PA,PB$ 都相交，交點(diǎn)分別為 $D,E$ , 且 $\triangle QAB$ 與 $\triangle PDE$ 的面積之比是常數(shù)? 若存在，求 $t$ 的值. 若不存在，說明理由.

2013年理數(shù)安徽卷題18

分值：12分
設(shè)橢圓 $E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{1-a^2} =1$ 的焦點(diǎn)在 $x$ 軸上.

（I）若橢圓 $E$ 的焦距為 $1$ ，求橢圓 $E$ 的方程；

（Ⅱ）設(shè) $F_1,F_2$ 分別是橢圓 $E$ 的左、右焦點(diǎn)， $P$ 為橢圓 $E$ 上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線 $F_2P$ 交 $y$ 軸于點(diǎn) $Q$ ，并且 $F_1Q \perp F_1Q$ . 證明∶當(dāng) $a$ 變化時(shí)，點(diǎn) $P$ 在某定直線上.

2013年理數(shù)江西卷題20

分值：13分

如圖，橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 經(jīng)過點(diǎn) $P(1,\dfrac{3}{2})$ ，離心率 $e=\dfrac{1}{2}$ . 直線 $l$ 的方程為 $x=4$ .

（1）求橢圓 $C$ 的方程；
（2） $AB$ 是經(jīng)過右焦點(diǎn) $F$ 的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn) $P$ ），設(shè)直線 $AB$ 與直線 $l$ 相交于點(diǎn) $M$ ，記 $PA,PB,PM$ 的斜率分別為 $k_1,k_2,k_3$ . 問：是否存在常數(shù) $\lambda$ ，使得 $k_1+k_2=\lambda k_3$ ? 若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，說明理由.

2013年理數(shù)江西卷題20

2014年理數(shù)安徽卷題19

分值：13分

如圖,已知兩條拋物線 $E_1:y^2=2p_1x (p_1 \gt 0)$ 和 $E_2:y^2=2p_2x(p_2 \gt 0)$ , 過原點(diǎn) $O$ 的兩條直線 $l_1$ 和 $l_2$ , $l_1$ 與 $E_1,E_2$ 分別交于 $A_1,A_2$ 兩點(diǎn), $l_2$ 與 $E_1,E_2$ 分別交于 $B_1,B_2$ 兩點(diǎn).

（I）證明: $A_1B_1//A_2B_2$ ;
（Ⅱ）過 $O$ 作直線 $l$ (異于 $l_1,l_2$ ) 與 $E_1,E_2$ 分別交于 $C_1,C_2$ 兩點(diǎn). 記 $\triangle A_1B_1C_1$ 與 $\triangle A_2B_2C_2$ 的面積分別為 $S_1$ 與 $S_2$ , 求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的值.

2014年理數(shù)安徽卷題19

2014年理數(shù)江西卷題20

分值：13分
如圖, 已知雙曲線 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦點(diǎn)為 $F$ , 點(diǎn) $A,B$ 分別在 $C$ 的兩條漸近線上, $AF \perp x$ 軸, $AB \perp OB$ , $BF//OA$ ( $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn))

(1)求雙曲線 $C$ 的方程;
(2)過 $C$ 上一點(diǎn) $P(x_0,y_0)(y_0 \ne 0)$ 的直線 $l:\dfrac{x_0x}{a^2}- y_0y=1$ 與直線 $AF$ 相交于點(diǎn) $M$ , 與直線 $x=\dfrac{3}{2}$ 相交于點(diǎn) $N$ .

證明：當(dāng)點(diǎn) $P$ 在 $C$ 上移動時(shí) $\dfrac{|MF|}{|NF|}$ 恒為定值, 并求此定值.

2014年理數(shù)江西卷題20

2015年理數(shù)安徽卷題20

分值：13分

設(shè)橢圓 $E$ 的方程為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ , 點(diǎn) $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn), 點(diǎn) $A$ 的坐標(biāo)為 $(a,0)$ , 點(diǎn) $B$ 的坐標(biāo)為 $(0,b)$ , 點(diǎn) $M$ 在線段 $AB$ 上, 滿足 $|BM| = 2|MA|$ , 直線 $OM$ 的斜率為 $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$ .
（I）求 $E$ 的離心率 $e$ ;
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) $C$ 的坐標(biāo)為 $(0,-b)$ , $N$ 為線段 $AC$ 的中點(diǎn), 點(diǎn) $N$ 關(guān)于直線 $AB$ 的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 $\dfrac{7}{2}$ , 求 $E$ 的方程.