微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數(shù)的有力工具。

微分中值定理反映了導(dǎo)數(shù)的局部性與函數(shù)的整體性之間的關(guān)系，應(yīng)用十分廣泛。

羅爾中值定理：

如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：

（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，

（3）f(a)=f(b)，

則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

幾何意義：

若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對(duì)應(yīng)的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于 x 軸。

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上[a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系, 在研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及不等式的證明等方面, 都可能會(huì)用到拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理的應(yīng)用比羅爾定理和柯西中值定理的應(yīng)用更加廣泛，因?yàn)樗鼘?duì)函數(shù)的要求更低，且該定理建立了函數(shù)增量、自變量增量及導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，這為利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的相關(guān)問題提供了重要支撐 。

總的來說，在研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及求極限、恒等式、不等式的證明、判別函數(shù)方程根的存在性、判斷級(jí)數(shù)的斂散性以及證明與函數(shù)差值有關(guān)的命題，以及計(jì)算未定式極限等方面，都可能會(huì)用到拉格朗日中值定理。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學(xué)的基本定理之一。

其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。

該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。

柯西中值定理粗略地表明，對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧，至少有一個(gè)點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。

洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。

兩個(gè)無窮小之比或兩個(gè)無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在。

求這類極限時(shí)往往需要適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算。

洛必達(dá)法則便是應(yīng)用于這類極限計(jì)算的通用方法。