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1、坐標(biāo)系與坐標(biāo)

(1)坐標(biāo)系與空間的基

空間的基和坐標(biāo)系兩者之間屬于一種一一對應(yīng)的關(guān)系，坐標(biāo)系也即空間的基，坐標(biāo)系是理解空間的基的一種視角。向量(點(diǎn))在空間內(nèi)的絕對位置不受坐標(biāo)系的影響，坐標(biāo)系只是改變描述點(diǎn)的相對位置信息。

我們通常描述一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的時(shí)候都是基于一個(gè)參考標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行描述的。當(dāng)我們在說一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的時(shí)候，如點(diǎn) $A(12,8)$ ，就已經(jīng)是基于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系給出的二維歐式空間中 $A$ 點(diǎn)描述了。

二維平面的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系為 $\vec e_1 =(1,0)^{T} ,\ \vec e_2 =(1,0)^{T}$
三維平面的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系為 $\vec e_1 =(1,0,0)^{T} ,\ \vec e_2 =(0,1,0)^{T},\ \vec e_3 =(0,0,1)^{T}$
四維平面的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系為 $\vec e_1 =(1,0,0,0)^{T} ,\ \vec e_2 =(0,1,0,0)^{T},\ \vec e_3 =(0,0,1,0)^{T},\ \vec e_4 =(0,0,0,1)^{T}$
...

[ $\color {darkred} {\small {例：點(diǎn)A(12,8)這個(gè)坐標(biāo)是基于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系給出的A點(diǎn)在二維歐式空間的位置信息}}$ ]
在一個(gè)二維平面直角坐標(biāo)系，對于這個(gè)坐標(biāo)系當(dāng)我們定義了這個(gè)坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸一個(gè)水平向右，一個(gè)豎直向上，并且定義好了什么是一個(gè)單位的概念，然后就能夠描述在該坐標(biāo)系下二維平面中 $A$ 點(diǎn)的坐標(biāo)為 $A(12,8)$ 。對于一個(gè)二維平面它有無數(shù)組基，那么當(dāng)換一組基如 $\vec u(4,1) ,\vec v(2,3)$ 來表示整個(gè)二維平面，那么就建立一個(gè)新的坐標(biāo)系,在這個(gè)坐標(biāo)系下 $A$ 點(diǎn)的坐標(biāo)又被描述為 $A(2,2)$ ，這樣來對于二維平面中的同一個(gè)點(diǎn)，就有了兩種不同的描述方式。

在平面直角坐標(biāo)系下描述點(diǎn) $A(12,8)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left (\begin{array} \ 1&0 \\ 0&1 \end{array} \right ) \to \left (\begin{array} \ 12 \\ 08 \end{array} \right )$
在 $\vec u(4,1) ,\vec v(2,3)$ 所表示的坐標(biāo)系下描述點(diǎn) $A(12,8)$ $\left (\begin{array} \ 4&2 \\ 1&3 \end{array} \right ) \to \left (\begin{array} \ 02\\ 02 \end{array} \right )$

在 $n$ 維空間中，當(dāng)給定一組基， $\color {red} {{任何一個(gè)向量都可以表示成這組基的線性組合}}$ ，且表示方法唯一。

那么對于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的點(diǎn) $A(12,8)$ ，在向量組 $\vec u=(4,1)^{T} ,\vec v=(2,3)^{T}$ 所表示的坐標(biāo)系下，
就有: $(12,8)^{T} = 2\cdot (4,1)^{T} + 2 \cdot (2,3)^{T} = 2\cdot \vec u + 2\cdot \vec v$
$\therefore$ 在 $\vec u=(4,1)^{T} ,\vec v=(2,3)^{T}$ 這組基下， $A$ 點(diǎn)可以表示為 $2$ 倍的 $\vec u$ 和 $\vec v$ 的線性組合，因此表示為 $A(2,2)$

(2)坐標(biāo)

如果給定向量空間 $V$ 的一組基 $B=\{\vec b_1, \vec b_2,\vec b_3 , \cdots, \vec b_n \}$ ，以及 $V$ 中的一個(gè)向量 $\vec x$ ，則 $\vec x$ 一定可以被這組基線性表示。
假設(shè): $\vec x = c_{1} \cdot \vec b_{1} + c_{2} \cdot \vec b_{2} + c_{3} \cdot \vec b_{3} + \cdots + c_{n} \cdot \vec b_{n}$
則稱 $\vec x$ 在這組基 $B$ 下的坐標(biāo)，為 $( c_{1}, c_{2}, c_{3}, \cdots ,c_{n})^{T}$ ，記為： $[\vec x]_{B}$ ，意思是當(dāng)前給出的向量 $\vec x$ 的坐標(biāo)是基于空間 $V$ 的 $B$ 這組基下給出的坐標(biāo)。

一般情況下，當(dāng)我們不寫出參考基來標(biāo)識一個(gè)向量，如向量 $\vec x= (12,8)$ ，就是因?yàn)槲覀兠枋鱿蛄慷际悄J(rèn)參考 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $\varepsilon$ 給出的坐標(biāo),也即 $\vec x = [\vec x]_{\varepsilon} = (12,8)$ ，而且即使空間的基是類似 $\vec u ,\ , \vec v$ 這樣的兩個(gè)向量 $\vec x = (12,8)$ ，我們也還是用 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $\varepsilon$ 下的坐標(biāo)來描述向量，不會用像 $[\vec x]_{B} = (2,2)$ 這樣的坐標(biāo)來描述向量 $\vec x$ 。

標(biāo)準(zhǔn)基

$n$ 維標(biāo)準(zhǔn)基(Standard Basis) : 也即 $n$ 維標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $\varepsilon =\{\vec e_1 , \vec e_2 , \cdots ,\vec e_n \}$ ,最常用的坐標(biāo)系。一個(gè)向量空間，只有一組標(biāo)準(zhǔn)基。

標(biāo)準(zhǔn)正交基(Orthonormal Basis): 一個(gè)向量空間，可以有無數(shù)組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

正交基(Orthogonal Basis): 一個(gè)向量空間，可以有無數(shù)組正交基。

2、非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系坐標(biāo)

假設(shè)有一組基： $B=\{\vec b_1, \vec b_2,\vec b_3 , \cdots, \vec b_n \}$ ，設(shè)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 $P_B== \left (\begin{array} , \ | \ \ \ \ |\ \ \ \ |\ \ \ \ \cdots \ \ \ | \\ \vec b_1,\vec b_2,\vec b_3,\cdots ,\vec b_n \\ \ | \ \ \ \ |\ \ \ \ |\ \ \ \ \cdots \ \ \ |\end{array} \right )$

對于在這組基下的一個(gè)向量 $[\vec x]_{B}$ ，就有： $[\vec x]_{\varepsilon} = P_{B} \cdot [\vec x]_{B}$ ，把 $B$ 坐標(biāo)系下向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下相應(yīng)的坐標(biāo)

結(jié)論證明:
對于一個(gè)二維平面的一組基 $\vec u(4,1) ,\vec v(2,3)$ ，在這組基所表示的坐標(biāo)系下描述一個(gè)點(diǎn) $\vec x = (2,2)$ 。
$\because$ 當(dāng)不作特殊說明描述向量的時(shí)候都是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下進(jìn)行描述的,所以基向量 $\vec u(4,1) ,\vec v(2,3)$ 都是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下進(jìn)行表示的。
$\therefore$ $\vec u = (4,1)^{T} =4 \vec e_{1} + 1\vec e_{2}$ $\therefore$ $\vec v = (2,3)^{T} =2 \vec e_{1} + 3\vec e_{2}$

$\therefore [\vec x]_{B} = [(2,2)^{T}]_{B} = 2\vec u + 2\vec v = 2(4 \vec e_{1} + 1\vec e_{2}) + 2(2 \vec e_{1} + 3\vec e_{2}) = 12\vec e_{1} + 8\vec e_{2} = [(12,8)^{T}]_{\varepsilon}$

所以就有： $[\vec x]_{\varepsilon} = P_{B} \cdot [\vec x]_{B}$

3、標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系坐標(biāo)準(zhǔn)換非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系坐標(biāo)

$P_{B}^{-1} \cdot [\vec x]_{\varepsilon} = P_{B}^{-1} \cdot P_{B} \cdot [\vec x]_{B} = [\vec x]_{B}$ 該過程需要求矩陣 $P_{B}$ 的逆

4、任意兩非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

假設(shè)有一組基 $B=\{\vec b_1, \vec b_2,\vec b_3 , \cdots, \vec b_n \}$ 另一組基 $C=\{\vec c_1, \vec c_2,\vec c_3 , \cdots, \vec c_n \}$
在 $B$ 這組基下表示的一個(gè)向量 $[\vec x]_{B}$ ，求這個(gè)向量在 $C$ 這組基下的表示 $[\vec x]_{C}$
借助標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系與非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 $[\vec x]_{\varepsilon} = P_{B} \cdot [\vec x]_{B}$
就有 $P_{B} \cdot [\vec x]_{B} = [\vec x]_{\varepsilon} = P_{C} \cdot [\vec x]_{C}$

$\therefore [\vec x]_{C} = P^{-1}_{C} \cdot P_{B} \cdot [\vec x]_{B}$
其中 $P^{-1}_{C} \cdot P_{B}$ 可以表示成 $P_{B \to C}$

對于空間 $V$ 兩組基 $B=\{\vec b_1, \vec b_2,\vec b_3 , \cdots, \vec b_n \}$ 和 $C=\{\vec e_1, \vec e_2,\vec e_3 , \cdots, \vec e_n \}$ ,在這里，首先對于這兩組基來說，里面的向量都是表示在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的，也即它們本應(yīng)該寫成 " $[\vec b_i]_{\varepsilon},[\vec e_i]_{\varepsilon}$ " 這樣的形式，只是我們省略了這組寫法，默認(rèn)它們就是標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的向量表示。那么在這種情況下，由非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的推導(dǎo) $[\vec x]_{\varepsilon} = P_{B} \cdot [\vec x]_{B}$ ，其中轉(zhuǎn)換矩陣 $P_{B \to C} = P_{B}$ ，而這里的 $P_{B \to C}$ 矩陣就是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下表示的 $B$ 這組基的向量組成的矩陣 $P_{B \to C} = P_{B} = ( \begin{array} \ [\vec b_1]_{\varepsilon} \ \ [\vec b_2]_{\varepsilon} \ \ [\vec b_3]_{\varepsilon} \ \ \cdots \ \ [\vec b_n]_{\varepsilon} \end{array} )$

據(jù)此，當(dāng)我們知道了空間的一組基 $B = \{\vec b_1, \vec b_2,\vec b_3 , \cdots, \vec b_n \}$ 內(nèi)的向量在另一組基 $C = \{\vec c_1, \vec c_2,\vec c_3 , \cdots, \vec c_n \}$ 所代表的坐標(biāo)系下的表示的情況下，即 $[\vec b_1]_{C},[\vec b_2]_{C} [\vec b_3]_{C} \ \ \cdots [\vec b_n]_{C}$ ，那么就有 $P_{B \to C} = ( \ \ \ [\vec b_1]_{C}\ ,[\vec b_2]_{C} \ ,[\vec b_3]_{C} \ \ \cdots [\vec b_n]_{C} \ \ \ )$ ，B坐標(biāo)系的向量轉(zhuǎn)換C坐標(biāo)系下的向量即 $[\vec x]_{B} = P_{B \to C} \cdot [\vec x]_{B}$ ，從而不借助標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系完成轉(zhuǎn)換非標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。

示例說明

假設(shè)一組基 $B = \{ \vec b_{1} , \vec b_{2} \}\ \ \$ 另一組基 $C = \{\vec c_{1} , \vec c_{2} \}$
其中知道 $\vec b_{1} = 1\vec c_{1} + 2\vec c_{2} \ \ \ \ \ \vec b_{2} = 3\vec c_{1} + 4\vec c_{2}$
對于一個(gè)B坐標(biāo)系的向量 $[\vec x]_B = (2,2)^T$ ，表示為C坐標(biāo)系下，也即由C這組基線性表示即為
$[\vec x]_B = (2,2)^T = 2\vec b_1 + 2 \vec b_2 = 2(\ 1\vec c_{1} + 2\vec c_{2} \ ) + 2(\ 3\vec c_{1} + 4\vec c_{2} \ )$
這對應(yīng)的也就是以下矩陣乘法：
$P_{B \to C} = ( \begin{array} \ [\vec b_{1}]_{C} & [\vec b_{2}]_{C} \end{array} ) = \left( \begin{array} \ 1&3 \\ 2&4 \end{array} \right )$

$P_{B \to C} \cdot [\vec x]_{B} = \left( \begin{array} \ 1&3 \\ 2&4 \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array} \ 2 \\ 2 \end{array} \right ) =[\vec x ]_{C}$

5、線性變換

在線性代數(shù)領(lǐng)域，主要研究的是線性變換，其中變換是一個(gè)函數(shù)，對向量的變換結(jié)果還是一個(gè)向量
當(dāng)一個(gè)變換 $T(x)$ 稱為線性變換時(shí)，必須滿足:
$T(\vec u + \vec v) = T(\vec u ) + T(\vec v)$
$T(c \vec u ) = c \cdot T(\vec u), c \in R$
意味著對向量進(jìn)行線性變換后變換的結(jié)果仍然封閉在向量空間內(nèi)，這樣的變換就是線性變換。

在歐幾里得空間，一個(gè)矩陣所表示的變換就是線性變換，一個(gè)矩陣所做的事情就是把一個(gè)向量 $\vec x$ 轉(zhuǎn)換為另一個(gè)向量 $\vec y$ ,即 $A \cdot \vec x = \vec y$

聯(lián)系矩陣所代表的變換與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系:
對于一個(gè)變換矩陣 $A = (\vec u \ \ \vec v) = \left( \begin{array} \ 4&2 \\ 1&3 \end{array} \right )$
這個(gè)矩陣 $A$ 本身又代表空間的一組基 $A=\{ \vec u \ \ \vec v \}$ 所代表的坐標(biāo)系變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $\varepsilon$ 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 $P_{A \to \varepsilon} = ( [\vec u]_{\varepsilon} \ \ [\vec v]_{\varepsilon}) = A$
所以， $A \cdot \vec x = [\vec x]_{\varepsilon}$ 就是把A坐標(biāo)系下的 $\vec x$ 變換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

示例 : $A = \left( \begin{array} \ 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right )$ 表示一個(gè)翻轉(zhuǎn)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $y$ 軸的變換
對于 $A \cdot (2,3)^T = (2,-3)^T$ 這個(gè)等式來說，表示在 $A$ 坐標(biāo)系下的點(diǎn) $(2,3)^T$ 轉(zhuǎn)換為在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $\varepsilon$ 下表示為 $(2,-3)$

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坐標(biāo)系，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和線性變換

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坐標(biāo)系，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和線性變換

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