序言

作為剛剛寫完一些術(shù)語的解答的我，覺得應(yīng)該進(jìn)一步的了解一下進(jìn)化相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。其中包括但不僅僅局限與Tajima's D中經(jīng)常提到neutral model，當(dāng)然還有另外一個(gè)則是經(jīng)常在探究是否是neutral還是adaptive進(jìn)化時(shí)提到的Coalescent theory，這篇文章打算全面的學(xué)習(xí)一下這東西。

介紹Coalescent theory

從詞的本身的含義上就大概知道這一整個(gè)詞的意思，Coalescent 本身就是合并、聯(lián)合的意思，所以該理論則是為了將現(xiàn)有的個(gè)體，按照一定的理論依據(jù)，進(jìn)行合并，從而得到共同祖先的過程。
該模型最早在1980年開始提出并發(fā)展，但主要貢獻(xiàn)者為John Kingman。
在最簡單的假設(shè)下，則是沒有重組，自然選擇，基因流動(dòng)，種群結(jié)構(gòu)變化，那么每一個(gè)變異都是同等機(jī)會(huì)的從上一代傳到下一代。

該模型中的變異來自于

1. 父代到子代時(shí)隨機(jī)的傳遞
2. allele隨機(jī)發(fā)生的突變

由于這個(gè)數(shù)學(xué)模型闡述的是非常原始的一個(gè)問題，“如何從祖先到現(xiàn)存的觀測的個(gè)體？”所以通過該理論，可以進(jìn)行模擬和驗(yàn)證其它模型，所以在很多的模型中也會(huì)涉及到這個(gè)理論的一部分內(nèi)容。

理論內(nèi)容

1. Time to coalescence
   對(duì)于兩個(gè)株系來說，計(jì)算其來自共同祖先的概率，即計(jì)算共享一個(gè)父代DNA序列的概率。由于基本假設(shè)中，有效種群大小沒變，加上對(duì)于二倍體的群落來說，某個(gè)locus存在2Ne個(gè)拷貝，所以父代也有2Ne個(gè)，在隨機(jī)交配假設(shè)下，兩個(gè)alleles來自同一個(gè)父代拷貝的幾率是1/2Ne，相應(yīng)的，不來自同個(gè)父代拷貝的則是1-1/（2Ne）
   在接下去的每一代中，coalescence的概率呈幾何分布即計(jì)算N次投硬幣時(shí)的概率分布，即如下
   
   而由于幾何分布的特性，當(dāng)Ne足夠的大時(shí)，該分布會(huì)近似于指數(shù)分布。由于這是一種數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后該指數(shù)分布就擁有相對(duì)應(yīng)的期望與方差，但雖然擁有一個(gè)期望時(shí)間是2Ne，但其實(shí)真實(shí)的coalescence tim還有更大的variantion。注意的是其中的coalescent時(shí)間的單位是代，如果要轉(zhuǎn)化成為真實(shí)時(shí)間的話，需要再進(jìn)行乘上平均傳代時(shí)間。
2. Neutral variation
   除了計(jì)算coalescent時(shí)間，同時(shí)也可以建模估計(jì)來自遺傳漂變和突變的DNA序列上的變異。在此稱之為平均雜合性(mean heterozygosity)，通過計(jì)算某一代中發(fā)生的突變的概率，除以這一代發(fā)生任何事件（包括突變和合并）的概率。
   一個(gè)事件是突變的概率，則是一個(gè)突變出現(xiàn)在兩個(gè)lineages之一的幾率，即2μ(2 倍的突變率)
   
   分母就是突變和合并的概率之和。
   其中θ則為pairwise的差異，由neutral model得出。對(duì)于θ>=1的情況，則代表大部分的allele pairs在核苷酸序列上至少有一個(gè)差異(difference)。