第二章，四維和三維旋轉(zhuǎn)群

在這一章，從正交對稱性出發(fā)給出了旋轉(zhuǎn)群的方程。作為這些群的應(yīng)用，介紹了晶體群和開普勒問題。

考慮四維矢量空間，向量對自身的標積定義為模，這看起來就是距離空間和內(nèi)積空間的聯(lián)系。

通過推導(dǎo)，得到了兩個不同向量間的標積，也就是兩個四元數(shù)間的標積。

這是常用的公式，要注意四元數(shù)是非交換的，所以乘積順序不能改變

兩個四元數(shù)是正交的，如果他們的標積為0，一個四元數(shù)是單位化的，如果他關(guān)于自身的標積為1。

通過關(guān)系可以定義一個超曲面，a就是垂直于超曲面的向量。平面對稱性的表述可以這樣得到。

關(guān)于超曲面的對稱性，x關(guān)于超曲面的對稱點x‘可以這樣得到，過點x作垂直于超曲面的直線，并且延長同樣的長度。

其實，就是點關(guān)于直線的對稱點的推廣，中垂線，中垂面，中垂超曲面。

假定超曲面經(jīng)過原點，于是經(jīng)過一番推導(dǎo)可得到

這個好像是三反射定理，任意的旋轉(zhuǎn)可以視為偶數(shù)次對稱的復(fù)合，任意的反射是奇數(shù)次對稱的復(fù)合。反射和旋轉(zhuǎn)是正交變換的兩種形式。

旋轉(zhuǎn)是保向的變換，行列式為1，反射是反向的變換，行列式為-1。正交變換要求行列式為，所以這兩種就是全部的正交變換了。

四維旋轉(zhuǎn)群用四元數(shù)表示就是

附加上反射，就構(gòu)成了四維正交群，這個群根據(jù)定義，是保標積的。也就是作用前后，標積數(shù)值不變。

任意的四維轉(zhuǎn)動可以寫為三維轉(zhuǎn)動的復(fù)合。

這里的記號寫錯了，應(yīng)更正為

。

將三維向量空間視為的線性子空間，于是相應(yīng)的平面對稱就是超曲面對稱的特例。三維旋轉(zhuǎn)群就是保向旋轉(zhuǎn)的集合，

單位四元數(shù)可以表示為，其中u是單位向量，表示過原點的轉(zhuǎn)軸，θ是向量x繞u轉(zhuǎn)過的角度，正方向由右手螺旋規(guī)則給出。x的模的保持給出了等式，旋轉(zhuǎn)前后向量長度不變。

考慮四元數(shù)在三維旋轉(zhuǎn)下的性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)標量部分不受影響。所有的保向旋轉(zhuǎn)和反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)成了三維正交群

通過推導(dǎo)，可以得到三維旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典公式。

上面公式的矩陣形式，得到的是正交矩陣。即滿足。

這一次，考察了旋轉(zhuǎn)群，原來三維正交群的所有元素都能視為旋轉(zhuǎn)，由此旋轉(zhuǎn)還分為正向和反向，這個以前還真不知道。所以三維總感覺是殘缺的，或者說是奇異的，就像解析函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)是性質(zhì)古怪的一樣，需要一個自然的額外維度來補全這種遺憾。

然后，感覺這書的難度不高，理解上的困難沒有多少，畢竟是很經(jīng)典的代數(shù)運算。感覺沒必要在寫下去了，不需要這種督促方式也能很順利的看完。所以，休息了這些天，重開范疇論，這次要搞懂伴隨函子的概念。

這是這本書的名字，想了解的就自己去了解吧。