用平方差法解決圓錐曲線的問題
平方差法又稱為點(diǎn)差法，該方法的核心是平方差公式：
在涉及圓錐曲線與弦的關(guān)系時(shí)，該公式往往具有很好的效果。而且，對(duì)于各類圓錐曲線，包括圓、橢圓、拋物線和雙曲線，該方法都適用。
點(diǎn)差法以及由點(diǎn)差法推導(dǎo)得出的一些常用結(jié)論，屬于高考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)，務(wù)必要重視。
用平方差法研究橢圓的弦
以 表示橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)
兩式相減可得：
當(dāng)然，也可以寫成：
其中， 代表弦
的中點(diǎn)。
【解讀公式】
以上公式可以用文字解讀如下：
對(duì)于以
軸和
軸為對(duì)稱軸的橢圓，其弦的斜率與經(jīng)過原點(diǎn)和弦的中點(diǎn)的直線的斜率的乘積等于定值。
這是一個(gè)重要的常用結(jié)論，也是高頻考點(diǎn)。
【真題實(shí)例】
2015年的全國(guó)卷二中，直接把以上常用結(jié)論的推導(dǎo)過程作為考題。詳見：
還有更多考題，則是在解答過程中需要應(yīng)用上述結(jié)論：
用平方差法分析拋物線的弦（以 軸為對(duì)稱軸）
拋物線的方程：
因?yàn)? 兩點(diǎn)在拋物線上，所以，
，
記 中點(diǎn)為
，則
或：
【解讀公式】
以上公式可以用文字表述如下：
對(duì)于以 軸為對(duì)稱軸的拋物線，以下結(jié)論成立：
（1）拋物線的弦的斜率與弦的中點(diǎn)的 坐標(biāo)的乘積等于焦距
.
（2）同一組平行的弦（斜率相等），中點(diǎn)位于同一條垂直于 軸的直線上。
（3）根據(jù)拋物線的弦的斜率，可以算出弦的 坐標(biāo)；反之亦然。
【真題實(shí)例】
用平方差法分析拋物線的弦（以 軸為對(duì)稱軸）
拋物線的方程：
因?yàn)? 兩點(diǎn)在拋物線上，所以，
，
記 中點(diǎn)為
, 則
或：
【解讀公式】
以上公式可以用文字表述如下：
【解讀公式】
以上公式可以用文字表述如下：
對(duì)于以 軸為對(duì)稱軸的拋物線，以下結(jié)論成立：
（1）拋物線的弦的斜率與弦的中點(diǎn)的 坐標(biāo)的乘積等于焦距
.
（2）同一組平行的弦（斜率相等），中點(diǎn)位于同一條垂直于 軸的直線上。
（3）根據(jù)拋物線的弦的斜率，可以算出弦的 坐標(biāo)；反之亦然。
【真題實(shí)例】
用平方差法分析圓的弦
若圓 的方程為：
兩點(diǎn)在圓上，并記
中點(diǎn)為
, 則
也就是說：. 實(shí)際上是用解析的方法得出了垂徑定理。
點(diǎn)差法用于討論切線的斜率
如圖所示，拋物線方程為：,
為拋物線的弦. 保持弦
的斜率不變，并向左移動(dòng)，則其中點(diǎn)
的
坐標(biāo)不變，同時(shí)
三點(diǎn)不斷地靠近，最終變?yōu)橐稽c(diǎn). 這時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線也由拋物線的弦變?yōu)榍芯€。
換言之，如果作一條與切線平行的弦，則弦的中點(diǎn)的 坐標(biāo)與切點(diǎn)的
坐標(biāo)相等。
若切點(diǎn)坐標(biāo)為 , 則
切線的方程為：
同樣的道理，如果拋物線的方程為：, 則
切線的方程為：
平方差法可以發(fā)揮什么樣的作用？
平方差法（點(diǎn)差法）的作用，概括地說，就是將弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)聯(lián)起來(lái)，可以解決的問題有好多：
（1）弦長(zhǎng)問題
（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程
（3）求弦的斜率范圍
（4）求切線的方程
（5）定點(diǎn)問題
從前面的真題實(shí)例可以看出，這一方法在高考中用到的機(jī)會(huì)是很多的。
