????????????????????????????????????????第一課2024.9.11

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段：知識(shí)，能力，思維，價(jià)值觀，隱形知識(shí)。

分析學(xué)三年就能畢業(yè)

范：丘成桐的東西不是搞幾何分析的話沒人關(guān)心好吧，你看現(xiàn)在哪個(gè)東西叫yau什么什么，每個(gè)數(shù)學(xué)家都在用的？沒有吧？

我：Calabi-Yau Manifold

范：哦那是string theory那幫人，你千萬(wàn)不要學(xué)string theory。

Hirzebruch-Riemann-Roch

M緊致無(wú)邊n維流形，有Hermitian度量g，E→M Hermitian向量叢，則

$\sum\limits_{q=0}^n(-1)^qdim_{\mathbb{R}}ker\Delta^q_{\tilde {\partial}}=<ch(E)·Todd(M),[M]>\\$

????????????????????????????????????????第二課2024.9.13

Spin(n):=SO(n)的萬(wàn)有覆蓋。

eg：Spin(1)={1,-1}

? ? ? ? Spin(2)=S1

? ? ? ? Spin(3)=SU(2)=S3

? ? ? ? Spin(4)=S3×S3

? ? ? ? Spin(5)=sp(2)

? ? ? ? Spin(6)=SU(4)

（物理里SU(2)叢對(duì)應(yīng)弱相互作用力）

????????Jordan 代數(shù)來(lái)源于量子力學(xué)，意外的解決了群表示論中的難題，老師提問(wèn)：是否仍然有一大類未知的代數(shù)都能在群表示論中發(fā)揮作用呢？

Theorem：M允許Spin結(jié)構(gòu) iff 第一Stiefel-Whitney類 $w_1(M)=0$ w1=0

eg: 射影空間中只有 $\mathbb{R}P^{4n+3}、\mathbb{C}P^{2n+1}$ 是spin的.

Mumford Conjecture：

$\Sigma_g$ 為虧格g的黎曼面，求 $H^*(B(Diff(\Sigma_g)),\mathbb{Q})$

范老師說(shuō)數(shù)學(xué)中最核心的價(jià)值觀只有兩個(gè)，50%空間，50%素?cái)?shù)。（50%素?cái)?shù)我是同意的，但是我認(rèn)為空間沒那么本質(zhì)。數(shù)學(xué)的核心在于信息的封裝與提取，每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的聯(lián)系無(wú)非是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之間的互相導(dǎo)出和類型轉(zhuǎn)換，是最自然的事情。難題的關(guān)鍵在于有些信息用現(xiàn)行的任何數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)封裝后都將無(wú)法提取。）

范老師著重表?yè)P(yáng)了一位很有天賦的大一非數(shù)院同學(xué)，他在高數(shù)課后問(wèn)出了這樣精彩的問(wèn)題：有沒有一個(gè)運(yùn)算滿足Lebniz法則，但它不是求導(dǎo)運(yùn)算？答：聯(lián)絡(luò)。 $\Gamma(\wedge^p T^*M\otimes E)\to\Gamma(\wedge^{p+1} T^*M\otimes E)$ ? ? ? ? （在我看來(lái)這位同學(xué)的思維方式之精彩，在于1關(guān)注到了求導(dǎo)運(yùn)算的第一個(gè)非平凡的運(yùn)算性質(zhì) 2用關(guān)鍵性質(zhì)去索求定義對(duì)象，跳出了追求對(duì)象的具體實(shí)現(xiàn)的思維方式。范老師后面也講過(guò)，抓住理論的關(guān)鍵點(diǎn)比如Poincare對(duì)偶，沒有Poincare對(duì)偶我們改理論也要讓他有。關(guān)注關(guān)鍵性質(zhì)，放棄整座已經(jīng)構(gòu)造好的大廈，是一種思維方式，更是一種魄力）

范老師讓我宣讀了真空零點(diǎn)能的定義。

Witten和Atiyah的故事，Atiyah(1929-2019)向Witten(1951)拜師學(xué)習(xí)。楊振寧大弟子張首晟英年早逝，哈佛華人尹希做弦論。

Spin(2m)有兩個(gè)不可約復(fù)表示， $S_{\mathbb{C}}^+$ 和 $S_{\mathbb{C}}^-$ ，維數(shù)均為2^(m-1)

$dimD^+-dimD^-=<A(M),[M]>$

（我懷疑這個(gè)公式和witten指標(biāo)有關(guān)。）

????????????????????????????????????????????第三課2024.9.20

（Hua-Vandier Weil 1949）

$W(x_1,x_2..x_k)=\sum a_ix_i^{n_i}=0$ 為整系數(shù)不定方程，其mod? $p^\alpha$ 的解的個(gè)數(shù)記作 $N_{p^\alpha}$ ,

則存在C，使得 $N_{p^\alpha}\leq p^{\alpha(k-1)}+C(\sqrt p)^{k\alpha}$ .

（分析學(xué)不等式證明得到的C是存在性的。）

(Weil Conjecture, Deligne 1973)

Weil Ⅰ.???? $exp(\sum \frac{N_{p^k}}{k!}t^k)$ 是關(guān)于t的有理函數(shù)

Weil Ⅱ.? ? ?該有理函數(shù)有分解式 $\frac{P_0P_2P_4...}{P_1P_3P_5...}$

Spencer Bloch把Langlands綱領(lǐng)推向最一般的形式。

雙曲方程在拓?fù)鋵W(xué)中可能有重大應(yīng)用。

范疇可以看成是帶類型的群，群元素配備了source和target兩個(gè)類型，類型匹配了才能運(yùn)算。

????????????????????????????????????????第四課2024.9.25

四維流形可單純剖分的很少，10^56中才有一個(gè)。

時(shí)空作為流形存在一個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該用拓?fù)淞餍蔚挠^點(diǎn)去研究。

cup product是分次交換的，但是在鏈的水平上不能良定義，在鏈的等價(jià)類也就是上同調(diào)群的水平上則可以。（后面提到，為什么de rham上同調(diào)在鏈水平——即微分形式的水平上直接就有分次交換性，無(wú)需再去等價(jià)類水平上看？大謎題。）

$S_q(X,A;G):=S_q(X,G)/S_q(A,G)\neq S_q(X/A,G)$

首先發(fā)現(xiàn)了這里定義方式似乎不是唯一的，為什么用這個(gè)不用那個(gè)？當(dāng)然是看這樣子做在后續(xù)的理論中有什么無(wú)可替代的性質(zhì)，同學(xué)回答：這樣子可以短正合列誘導(dǎo)長(zhǎng)正合列。接下來(lái)的研究思路很重要：如果你發(fā)現(xiàn)它們一般是不一樣的，那么請(qǐng)找一個(gè)條件使得它們一樣。操作的交換性的問(wèn)題。（這是一種我暫時(shí)還有點(diǎn)缺乏的在發(fā)展理論時(shí)的較為實(shí)踐的思維）

命題：如果存在A的一個(gè)鄰域是可縮的，則 $H(X,A;G)\cong H(X/A;G)$ （用空間偶的正合列）

對(duì)比：K(X,A)和K(X/A)的相等則不要求鄰域可收縮。向量叢局部平凡性的要求避開了這些技術(shù)性困難。

（但是這里我的想法和范老師不太一樣。這不能簡(jiǎn)單的歸結(jié)為“K理論的優(yōu)越”。首先，兩套理論要想對(duì)比，它們應(yīng)該是有著同一目的，或者處理同一對(duì)象。讓我們看看K理論和奇異同調(diào)都干了什么，為什么可以拿來(lái)對(duì)比。K(X),H(X)，歸根結(jié)底K群和同調(diào)群都是和空間X相關(guān)的一個(gè)群構(gòu)造，所以K和H都是研究空間的。K是通過(guò)空間上的所有向量叢研究空間，H是通過(guò)空間上的所有奇異單形研究空間，用來(lái)探測(cè)空間所選的“探測(cè)器”種類不一樣，導(dǎo)致了后續(xù)面臨的技術(shù)性細(xì)節(jié)上存在差異。與之相對(duì)應(yīng)的，胞腔理論則真正的是在構(gòu)造空間，而不是在探測(cè)空間。構(gòu)造性的研究方法是決定式的，構(gòu)造出的對(duì)象在各方面的性質(zhì)是完全決定的，而探測(cè)式的研究方法則只能決定一些方面的性質(zhì)。）

相對(duì)閉鏈

$Z_q(X,A;G)=\{[c] \quad mod \quad S_q(A;G):\partial_qc\in S_{q-1}(A;G) \}$

同時(shí)寫出閉鏈定義：

$Z_q(X;G)=\{c:\partial_qc=0\}$

形式語(yǔ)言層面，對(duì) $\partial_qc$ 的要求由=0變?yōu)榱藢儆谀硞€(gè)鏈群，這是一次放寬，也表明我們將要忽略更多信息，凡A中的單形將不予考慮。

[0,1]用定義計(jì)算奇異同調(diào)群？鏈群太大了，因?yàn)樽杂缮傻臅r(shí)候忽略了一切生成關(guān)系，但是本該存在一系列代表幾何意義的生成關(guān)系的。

“同倫是20世紀(jì)最偉大的概念?！保ㄗ匀槐澈蟮姆匠?，方程背后的對(duì)稱，對(duì)稱背后的同倫。）

“代數(shù)學(xué)沒有cup product”

????????????????????????????????????????第五課2024.9.27

同調(diào)群比基本群好算。同調(diào)群背后有一套理論——hodge理論。同倫群沒有。

suspensiion下stable的理論是好的理論。

·（Atiyah-Bott）

存在一種Z2 作用在S2上的方式，使得商空間不同胚與RP2，但同倫于RP2.

????????????????????????????????????????第六課2024.10.9

同調(diào)論比拓?fù)淇臻g重要！

“幾何分析就是倒退”我不同意。

“代數(shù)幾何就是語(yǔ)言translation，可計(jì)算的少”

“代數(shù)學(xué)沒有眼睛”

paritial star的幾何意義。

本科生和研究生階段要消化20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要涵義。

一般計(jì)算同調(diào)群就是分割取MV，你沒有別的辦法。

（上課講到j(luò)ordan curve定理，我突然意識(shí)到：自己雖然被講了這個(gè)定理的證明，但是我真的吸收了嗎？我真的能發(fā)自內(nèi)心的理解到這個(gè)定理就是要這樣證，很自然了嗎？沒有。在這個(gè)定理上我是被知識(shí)提溜著認(rèn)識(shí)往前走的。有的時(shí)候?qū)幵缸约郝稽c(diǎn)。盡管有些東西別人都學(xué)了，自己沒學(xué)，但是能從自己的動(dòng)機(jī)出發(fā)，能發(fā)自內(nèi)心的領(lǐng)悟一個(gè)歷史上的重要問(wèn)題的解決思路，是對(duì)數(shù)學(xué)成長(zhǎng)更為有益的事情。）

黑洞的維數(shù)？

Freedman，將四維流形的二維同調(diào)群配對(duì)，得到相交形式，對(duì)該形式從整數(shù)二次型的方面去研究。

Donaldson，若M4有光滑結(jié)構(gòu)，則相交形式是對(duì)角型。從而推出很多四維流形沒有光滑結(jié)構(gòu)。

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ??第七課2024.10.11

Question：尋找最小的f(n)，使得P^n可以嵌入R^f(n).

Lie群的切叢平凡，因?yàn)榭梢杂萌哼\(yùn)算搬運(yùn)。

4階群有幾個(gè)？八階群有幾個(gè)？（各個(gè)領(lǐng)域要積累最基本的例子。拿到一個(gè)抽象命題就可以上手檢驗(yàn)）

數(shù)學(xué)的Language會(huì)隨時(shí)代變，但是真正有內(nèi)容的數(shù)學(xué)是永恒的主題。

Fourier級(jí)數(shù)真正把古典分析提升到現(xiàn)代分析的層面。分析學(xué)就看《Hormander》。

（老師在12.27日說(shuō)，歐拉時(shí)代的人不可能看到傅里葉級(jí)數(shù)，為什么？因?yàn)樗胊n離散信息編碼了f(x)連續(xù)信息。是surprising的現(xiàn)象。我：那泰勒級(jí)數(shù)也是一種離散信息代替連續(xù)信息？老師：但是泰勒級(jí)數(shù)是光滑的，要求很高，函數(shù)值的變化不是任意的。但是傅里葉級(jí)數(shù)改變?nèi)舾蓚€(gè)點(diǎn)不改變結(jié)果。泰勒和傅里葉是完全不的思維方式。）

書上的觀點(diǎn)：“Abstract Funtional Analysis is for solving PDE”.一個(gè)方程用一個(gè)特定的范數(shù)，這樣的結(jié)果是sharp的。熟悉的max范數(shù)是universal的，但是universal的東西就weak。（這是普遍的哲學(xué)，因地制宜、具體問(wèn)題具體分析。）

我向老師提出張恭慶老師的書《泛函分析講義》上就有對(duì)一個(gè)方程構(gòu)造特定范數(shù)的簡(jiǎn)單習(xí)題。老師夸了張恭慶老師，并介紹《infinite dimensionall morse theory》

Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)是偉大的定理，沒有這個(gè)定理我們的同調(diào)理論要打折扣。

Brouwer的數(shù)學(xué)哲學(xué)限制了他。（Brouwer是直覺主義的領(lǐng)軍人物。平行的還有希爾伯特的形式主義，羅素邏輯的主義，后續(xù)的布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義。）他的不動(dòng)點(diǎn)定理是借助于連一條線這種明顯的構(gòu)造式方法。那么在非凸的區(qū)域就不能實(shí)現(xiàn)，但是凸性并不是拓?fù)錀l件，所以當(dāng)時(shí)的Brouwer并沒有看到自己的定理的拓?fù)鋵W(xué)實(shí)質(zhì)。然后老師表?yè)P(yáng)了我的數(shù)學(xué)哲學(xué)很不錯(cuò)，其實(shí)我只是有初步的思考萌芽，并不敢當(dāng)。

（另一個(gè)堅(jiān)守?cái)?shù)學(xué)哲學(xué)理念，以至于影響到數(shù)學(xué)工作中的實(shí)踐的例子是Weyl。他也是直覺主義者，認(rèn)為小平邦彥在論證中使用Hilbert空間是“不安全”的因素，自己也因此有些工作沒有發(fā)表。但其實(shí)在學(xué)界這并不被廣泛認(rèn)為構(gòu)成一個(gè)缺陷，它堅(jiān)守自己內(nèi)心的數(shù)學(xué)哲學(xué)）

老師說(shuō)，解析數(shù)論的某些結(jié)果可以成為A-S定理的推論。（？如何達(dá)成的）

小結(jié)已有的結(jié)果：

1Maxwell方程，dF=0推廣到d，我們喪失了分析學(xué)不等式，但是得到了邊界算符 $\partial$ .

2同倫不變性

3 $\Sigma$ ?suspension運(yùn)算，一個(gè)理論好計(jì)算=Σ下穩(wěn)定+同倫不變，見廣義上同調(diào)

4 一些應(yīng)用

5 商 good pair條件下商空間的同調(diào)群和相對(duì)同調(diào)群是統(tǒng)一的.為什么這樣的結(jié)果是有意義的？因?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)面臨很壞的拓?fù)淇臻g。一同學(xué)答曰：那就不要學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)??？？眾皆笑。老師繼續(xù)提到K-theory，拿掉了技術(shù)性約束，對(duì)于任意pair(X,A)，相對(duì)K群和商空間的K群無(wú)條件相等。“K理論是真正的大范圍拓?fù)鋵W(xué)”

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???第八課2024.10.18

Serre：R[x]上的自由模一定Projective嗎？Quillen：√

多項(xiàng)式環(huán)的K理論是平凡的。

Quillen： $\pi_i[BGL_n(A[S_n])]$

從對(duì)稱群構(gòu)造群代數(shù)，用群代數(shù)里的元素做成n維可逆矩陣，這是一個(gè)拓?fù)淙?，其分類空間的同倫群是有涵義的。

$\emptyset/\emptyset$ ={pt}.

$\emptyset$ 是流形，而且可以視作任意維度的流形，在配邊理論中充當(dāng)單位元.

$\emptyset$ 的同調(diào)是0，簡(jiǎn)約同調(diào)沒有定義。

約定 $\partial D^0=\emptyset$

MV的一個(gè)反例：取拓?fù)湔仪€并上x負(fù)半軸。

$\{1/n :n\in\mathbb{N}\}$ 是CW復(fù)形， $\{1/n :n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\}$ 不是，因?yàn)椴皇请x散的

? ???????????????????????????????????????????第九課2024.10.23

Given Group G，we can construct：

1，K(G,n)?

2，BG

3，BGL(R[G])

單點(diǎn)并是一個(gè)同倫概念，單點(diǎn)并后同胚型不一定一樣，想象 $\vdash$ 和 $\rceil$

芝加哥討論班上，Spencer Bloch vs Weinberger? ? “A Piece of Algebra.”? ?"Write it down".

《stratified space》

單純形有頂點(diǎn)，好定義上積。沒有上積，還搞什么上同調(diào)？

? ??? ???????????????????????????????????????第十課2024.10.25

把P^n的第一個(gè)特征映射寫出來(lái)。

S^n的南北坐標(biāo)卡不是定向的。P^n的呢？P2和P3的是情況不一樣的。要?jiǎng)邮炙阋幌隆?/b>

模論很復(fù)雜，Projective，Injective，F(xiàn)lat 我們拓?fù)鋵W(xué)全都自由模！

《Stratified Morse Theory》Macphersm

故事：

$\forall A\in SO(n+1)$ ,因?yàn)锳保持模長(zhǎng)，所以A限制在 $R^{n+1}$ 的子空間S^n上時(shí)，A可以被看作自映射: $S^n\to S^n$ ，這可以看成一個(gè)S^n上的纖維叢，于是有????? $SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^n$ ，

這誘導(dǎo)長(zhǎng)正合列? ? ? ? ? ?? $..\to\pi_i(SO(n))\to\pi_i(SO(n+1))\to\pi_i(S^n)\to \pi_{i-1}(SO(n))\to..$

范老師說(shuō)：代數(shù)幾何有很多school，Variety看成Scheme是其中一種。（“看成”這個(gè)詞是十分重要的，它不等同于“就是”，也不等同于“屬于”，這表明Scheme的形式化只是一種研究代數(shù)幾何的方法？）

“Perelman看他不知道，暗自高興，把工作辭了”

學(xué)習(xí)不能坐在飛機(jī)上下不來(lái)，從北京飛上海，不知道還有河北。

Sullivan認(rèn)為流形的核心是Poincare Duality和WhitneyEmbedding

Euler數(shù)是奇跡，諸多組合量中找到一個(gè)同倫不變的。

May：Projective spaces and? $\mathbb{Z}_2$ are beautiful， $\mathbb{Z}$ is ugly，forget about it！

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十一課2024.11.1

鏈復(fù)形的tensor。

要處理很多函子的次序問(wèn)題：Hom, $\otimes$ ,H*

簡(jiǎn)單提到了Localilze和Globalize。對(duì)于空間X，構(gòu)造 $\tilde{X}$ ，使得 $H_*(\tilde{X},\mathbb{Z}_p)=H_*(X,\mathbb{Z})$ ?（后面介紹Sullivan的書《Galois Symmetry》）

cup product和Fubini定理是有類比的。

可以通過(guò)叉積定義上積，但是不好計(jì)算。

dx dy在鏈水平上就有分次交換，為什么？

（任何一個(gè)拓?fù)淇臻g上的構(gòu)造F，總是去研究F和乘積空間、商空間、并、交等等拓?fù)淇臻g的運(yùn)算是如何相容的。這是一種普遍的方法。）

有序單純形，有向單純型

$(v_0v_1...v_q)_向$ 作為向量，位置是有意義的； $(v_0v_1...v_q)_集$ 作為集合，位置是無(wú)意義的。

單形的向是一個(gè)等價(jià)類，是 $(v_0v_1..v_q)_向$ mod 偶置換

0單形只有一個(gè)向，其他均有2個(gè)。

定義中有一個(gè)分量是重復(fù)的，這就強(qiáng)烈的體現(xiàn)出序的重要性。

反例： $<\omega\cup\eta,(v_0v_1v_2)>=\neq=$

盡管最左和最右涉及到的 $(v_0v_1v_2)$ 和 $(v_1v_2v_0)$ 作為定向單形是一樣的，相差一個(gè)偶置換，但是其在上鏈的cup product下取值卻不一樣，這就說(shuō)明cup product必須要序的概念來(lái)定義，僅僅定向是不行的。

第十二課2024.11.6

0單形在定義同調(diào)時(shí)不取定向。

單純同調(diào)的定義有三種方法：1定向 2頂點(diǎn)序，允許重復(fù) 3universal的序

在單純同調(diào)和CW復(fù)形上驗(yàn)證定向帶來(lái)的符號(hào)一致性。

CW復(fù)形不能定義上同調(diào)，是理論的缺憾。

可定向：指的是可以有2個(gè)定向。

定向：已經(jīng)取定一個(gè)定向。

單純性剖分需要復(fù)習(xí)一下，比如Torus的多邊形表現(xiàn)哪個(gè)是單純剖分哪個(gè)不是。

0單形上的關(guān)聯(lián)映射，5-10分，一定考。

Fulton Harris 《Representation...》把李群的表示很具體的寫出來(lái)了。

連續(xù)函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)幾乎處處收斂，但不收斂點(diǎn)集可以是不可數(shù)的，繼續(xù)度量不收斂點(diǎn)的性質(zhì)，可以采用Hausdorff維數(shù)

Global序、局部序，粘保序映射?？尚行颍ㄖv義術(shù)語(yǔ)）若可行序選取的不對(duì)，將會(huì)從Torus算出Klein瓶的同調(diào)。

寫文章一定要改符號(hào)。因?yàn)槠鸫a懂了才敢改，否則豈不是原封照抄？

第十三課2024.11.8

10.1節(jié) Torus的例子說(shuō)明了上積在鏈水平上不反交換，但微分流形上dx? $\wedge$ dy在鏈水平上就表現(xiàn)出了反交換。這是為什么？

序有變化了，上積會(huì)怎么變？同一剖分，不同序，鏈水平上A ∪B 不一樣。要求自己算一遍，考！

《complex algebraic curves》Kirwan 代數(shù)曲面的單純剖分。計(jì)算代數(shù)幾何這一學(xué)科需要使用對(duì)Variety的剖分。

北大數(shù)學(xué)系的學(xué)生“觸及人類文明的頂峰”

“拓?fù)鋵W(xué)好的結(jié)構(gòu)一定體現(xiàn)在類上”（從一個(gè)結(jié)構(gòu)不清晰的集合上商掉一定的關(guān)系得到了很好的結(jié)構(gòu)，這一現(xiàn)象需要反思?；救壕褪侨绱?，商掉同倫獲得群結(jié)構(gòu)。）

《History of number theory》Dickson? 很多經(jīng)典不定方程的歷史。Serre掌握很多這方面例子。

《Galois Theory》A.Cox 有很多具體Galois群計(jì)算的例子。

“流形分類不可能通過(guò)微分幾何方法解決，它們使用 $H^*(X;\mathbb{Q})$ 將torsion信息全部丟失了”，雖然獲得了好處，但是損失的信息再也回不來(lái)了。

（不過(guò)我認(rèn)為這個(gè)話要進(jìn)一步理解——應(yīng)當(dāng)說(shuō)流形分類的方法不能用微分幾何方法最終解決，而不能說(shuō)成是完全排除微分幾何方法也能解決。因?yàn)榉诸悊?wèn)題到最后需要很精細(xì)的信息，但是最開始還是可以大刀闊斧的干的。用我的話說(shuō)，可以先用導(dǎo)彈轟炸，炸碎了用錘子敲，敲的再碎用納米刀精細(xì)切割）

$\mathbb{Z}_2$ 和 $\mathbb{Z}_p$ 有什么區(qū)別？具體計(jì)算做多了才能給你感覺。

林偉南球面同倫群，用計(jì)算機(jī)驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn) $\mathbb{Z}_p$ 多， $\mathbb{Z}_{p^2}$ 少，正在formalize成一個(gè)猜想。

cup product作為一個(gè)不變量也可以區(qū)分空間，cup product是有拓?fù)鋬?nèi)容的。

各個(gè)學(xué)科需要1000個(gè)例子，一維二維三維四維流形，李群，代數(shù)簇，概型，Banach空間，可分Hilbert空間，低階群的群結(jié)構(gòu)，...

Donaldson: general type的代數(shù)曲線，若微分同胚，則某個(gè)虧格相同。解決了代數(shù)幾何重要問(wèn)題，他的理論有用。

在拓?fù)鋵W(xué)中，PID已經(jīng)夠一般性了，我們關(guān)心的其實(shí)只有Z,Z2,Zp

????????????????????????????????????????第十四課2024.11.15

G acts on X，f(gv)=f(v)是一個(gè)invariant equation.

與群作用結(jié)合，有一門學(xué)科 Equivariant Algebraic topology.

“數(shù)學(xué)，存在，時(shí)間，必然性”

群作用下的球面同倫群，John Milnor有一個(gè)學(xué)生從事這方面工作，意外去世，Milnor停下手頭工作為他整理。

有些定理的條件對(duì)流形、代數(shù)簇夠用就行了，再?gòu)?fù)雜的空間沒人用。（Scheme，orbifold，stack）

Spencer Bloch 用代數(shù)K理論改寫數(shù)論，把langlands 推向最一般。

棱鏡上同調(diào)、Etale上同調(diào)、motivic上同調(diào)，weil上同調(diào)，有Poincare對(duì)偶是個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

（有些東西，在某個(gè)特定情景下是邏輯上等價(jià)的，比如R上的有限覆蓋、聚點(diǎn)定理、確界原理、Cauchy準(zhǔn)則，但是它們代表從不同結(jié)構(gòu)的視角去談一個(gè)問(wèn)題，在后續(xù)發(fā)展上是不等價(jià)的）

$\mathbb{Z}_2$ 系數(shù)我先算點(diǎn)東西出來(lái)！推廣到其他系數(shù)的交給學(xué)生干。（我：我不就是學(xué)生嗎？）

Poincare Duality是在R^n的片上成立，然后用MV粘接起來(lái)，關(guān)鍵在于定向如何粘。

????????????????????????????????????????????第十五課2024.11.20

Weil vs Weyl，代表兩種流派

經(jīng)驗(yàn)派：具體數(shù)學(xué)例子為根，縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)，稱的上根的一共只有十幾個(gè)

理性派：按邏輯劃分

老師：Bourbaki把數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域完全孤立起來(lái)了。

（我認(rèn)為這是完全錯(cuò)誤的看法，這是我本門課接收到的觀點(diǎn)中與我沖突最大的一點(diǎn)，也是我最想表達(dá)的一點(diǎn)。在我看來(lái)，布爾巴基恰好是通過(guò)結(jié)構(gòu)主義給各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)公共基礎(chǔ)，并且顯式的揭露了各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系是如何可能的——即結(jié)構(gòu)的普遍存在性與聯(lián)系性，在一種結(jié)構(gòu)中可以構(gòu)造出另一種結(jié)構(gòu)，多種結(jié)構(gòu)的共同作用導(dǎo)致了特定數(shù)學(xué)對(duì)象的復(fù)雜性。如果采取經(jīng)驗(yàn)主義，說(shuō)一些：“誰(shuí)能想到，球面居然和素?cái)?shù)有聯(lián)系！這就是數(shù)學(xué)的深刻性！”之類的話，這其實(shí)完全把數(shù)學(xué)領(lǐng)域的廣泛聯(lián)系歸為一種神秘主義，而沒有對(duì)聯(lián)系是如何可能的、如何實(shí)現(xiàn)的做出真正的詮釋。）

但是經(jīng)驗(yàn)主義是有其意義的，可以將人們的視線吸引到有數(shù)學(xué)內(nèi)容的具體例子上來(lái)，如果說(shuō)有十幾個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)例子稱得上”根“，那么我試圖總結(jié)一下：

1 代數(shù)方程 $a_nx^n+...+a_1x+a_0=0$ ?Galois跨時(shí)代地理解到方程背后的對(duì)稱，Galois群在現(xiàn)代數(shù)論中無(wú)比重要

2 不定方程? $a^2+b^2=c^2$ ，到 $a^n+b^n=c^n$ ，聯(lián)系橢圓曲線與模形式，自然而深刻。

3 微分方程 Maxwell、Einstein、Schordinger、Dirac、Yang-Mills、Navier-Stokes，熱方程，波動(dòng)方程，隱藏在自然現(xiàn)象背后的方程。

4 球面球面同倫群、球面上的群作用...對(duì)于空間最基本的理解，”正兒八經(jīng)空間思維“

5? $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ ，雙扭線弧長(zhǎng)，加法公式，反函數(shù)雙周期，黎曼面上的Abel-Jacobi映射，代數(shù)幾何的第一個(gè)例子

6? 素?cái)?shù)，素?cái)?shù)分布、黎曼猜想

7 七橋問(wèn)題、空間多面體、Euler數(shù)，發(fā)展為第一個(gè)組合式的同倫不變量，Euler數(shù)是一個(gè)奇跡。

8 傅里葉展開、傅里葉變換、Atiyah-Singer指標(biāo)定理

9?二次型分類，基本問(wèn)題，然而很難解決。

10 二次互反律（？）

（范老師有一個(gè)傾向，凡是能跟歷史上的重要問(wèn)題扯上關(guān)系的，就完全歸結(jié)過(guò)去。但是其實(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)已經(jīng)和原本的問(wèn)題大不相干了，以研究原本的問(wèn)題為目的是絕無(wú)可能發(fā)展出后續(xù)的現(xiàn)代理論的。同時(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)也已經(jīng)培養(yǎng)出自己新的看待“根本問(wèn)題”的角度來(lái)，因此以”是否和經(jīng)典問(wèn)題有關(guān)“來(lái)判斷現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題是否重要，是有待商榷的。）

Conjecture：11/8

$M^4$ 上有光滑結(jié)構(gòu)等價(jià)于 $\frac{\sigma}{b_2}\leq\frac{8}{11}$ .

在K3曲面上取到最大，并且有一種直覺：代數(shù)方式給出的拓?fù)淇臻g是某種意義上最好的。

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十六課2024.11.22

引入Poincare對(duì)偶的靈感：在R^n上看Dirac δ函數(shù)，對(duì)偶是顯然的。

重要：f：M→N，為n維流形間的映射，則以下圖標(biāo)并不交換

? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

betti數(shù)需要系數(shù)取為整環(huán)；Euler數(shù)在PID時(shí)才與系數(shù)無(wú)關(guān)；定義deg時(shí)環(huán)需取PID；Pincare對(duì)偶對(duì)任意環(huán)都對(duì)。

? ??? ??????????????????????????????????第十七課 2024.11.29

同調(diào)采取奇異單形，Im(σ)是緊集，因此同調(diào)本質(zhì)上是緊支的理論。

Torsion Part消失不是優(yōu)點(diǎn)而是缺點(diǎn)，雖然好算，但是信息少了。

discrete quantum gravity？

Arnold 一元七次方程無(wú)法用橢圓函數(shù)求解。（問(wèn):添加多少特殊元素，可以使得任意n次代數(shù)方程可解？）

如果有定向，則下同調(diào)可以借助Poincare對(duì)偶，在相交的意義下獲得環(huán)結(jié)構(gòu)，如果沒有定向，則下同調(diào)并不好。

小虧格的閉曲面映射到大虧格的閉曲面一定是deg=0.提升到poincare disk用雙曲幾何？

拓?fù)淞餍尾灰欢ㄓ杏邢薜膯渭冃托纹史?，但是一定是這樣的空間的deformation retract

PL群是PL流形上的叢的轉(zhuǎn)移函數(shù)，考慮BSO(n)與BPL，可以把光滑結(jié)構(gòu)存在問(wèn)題等價(jià)為映射提升問(wèn)題，可以在范疇角度用代數(shù)拓?fù)涞某橄蠊ぞ呓鉀Q。

????????????????????????????????????????????第十八課2024.12.4

“其他全是語(yǔ)言，換來(lái)?yè)Q去”。

C上的Mittag-Leffler問(wèn)題是黎曼面上的Riemann-Roch問(wèn)題的雛形，體現(xiàn)從局部到整體的哲學(xué)。

Laurent主部推廣為一點(diǎn)的Stalk，Stalk是U→G的映射對(duì)U的極限。

Sheaf以MV序列為定義、扔掉同調(diào)定義。把MV提升為Theory。

1952年Serre提出 $H^{0,0}$ $H^{0,1}$ , $H^{0,2}$ ，給了一般形式的Riemann-Roch以正確的formalize

$\pi_1$ 沒有±號(hào)，H*全是正負(fù)號(hào)，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)Cech上同調(diào)不能recover基本群。

Yang-Mills理論中，Mills只是幫楊打字了。

Van-Kampen定理的條件很難達(dá)成，要求交集道路連通，對(duì)S1取南北集覆蓋就不滿足。

Atiyah對(duì)于CP2 CP3具體例子的理解，一路搞到String Theory。

推薦了Atiyah論文集，Atiyah說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是什么，就在我的論文集里”

lim與H^*不交換，涉及l(fā)im1函子。Mittag-Leffler條件。

光滑流形上的所有層可以被公理化。

$dt\wedge dx^1+dx^2\wedge dx^3$ 是在Hodge *算子下自對(duì)偶的2-形式。令 $F:=Edt\wedge dx^1+Bdx^2\wedge dx^3$ ，則Maxwell方程表達(dá)為 $dF=d*F=0$

Hodge分解：

拉普拉斯算子 $\Delta:C^{\infty}(M)\to C^{\infty}(M)$ ，從而有 $C^{\infty}(M)/ker\Delta=Im\Delta$ .

Kodaira證明 $C^{\infty}(M)=ker\Delta\oplus Im\Delta$ .

老師說(shuō)：Einsten方程有缺憾，里面沒有 $\sqrt{-1}$ ，沒有Hodge*，想考慮黑洞里的光子，要推廣hodge*

????????????????????????????????????第十九課2024.12.6

Neother性質(zhì)對(duì)于子環(huán)、商環(huán)均保持。如果只是整環(huán)，對(duì)于代數(shù)幾何就不夠用了。

龐加萊猜想的歷程：

Smale：h-cobordism

Stalling：S-cobordism

Pelerman：做出來(lái)了

Yau：Pelerman不對(duì)

Milnor：猴子在樹上玩

從相交形式可以導(dǎo)出上積形式，奇數(shù)維和偶數(shù)維流形變得完全不同。

4l+2維流形，B非奇異反對(duì)稱。典型例子如Riemann surface，Calabi-Yau

4l維流形，B非奇異對(duì)稱。

$\sigma(K3)$ =16.

如果四維流形上存在光滑結(jié)構(gòu)，則 $16|\sigma(M^4)$ ，四維時(shí)符號(hào)差和光滑結(jié)構(gòu)有關(guān)，但高維時(shí)光滑結(jié)構(gòu)和符號(hào)差無(wú)關(guān)

代數(shù)幾何中的很多例子都僅僅是 $8|\sigma$ .

Pontryagain class $P_j(TM)$ 與微分結(jié)構(gòu)有關(guān)，但是 $P_j(TM)\otimes\mathbb{Q}$ 與微分無(wú)關(guān)。

????????????????????????????第二十課2024.12.13 缺課

????????????????????????????第二十一課2024.12.18

自本次課開始講K-theory，不再有考點(diǎn)。

有了Splitting Principle，纖維叢的K理論就歸結(jié)為線叢的K理論。線叢十分重要。

Adams Conjecture，與Bernoulli number有關(guān)。最初在自然數(shù)冪和中出現(xiàn)，與數(shù)論產(chǎn)生了聯(lián)系。

“不在于學(xué)的多，而在于把握引人深入的部分”——愛因斯坦

關(guān)于Adams Conj，Quillen發(fā)展出Algebraic K，Sullivan發(fā)展出局部化。把握住了深入的部分。

復(fù)系數(shù)的Bott周期是2，實(shí)系數(shù)的Bott周期是8.Atiyah說(shuō)在PDE中應(yīng)用8可以推出S6上的復(fù)結(jié)構(gòu)。

電荷是線叢的整系數(shù)第一陳類，因而解釋了其量子化現(xiàn)象。

Bott：任何命題對(duì)Hopf Bundle對(duì)，就對(duì)任意叢都對(duì)。

（復(fù)Bott周期律的K版本）記U=limU(n)，則存在同倫等價(jià) $U\to\Omega^2U$

核心論證思路是使用Whitehead定理：同調(diào)群相同、基本群相同推出弱同倫等價(jià)。

首先驗(yàn)證基本群， $\pi_1(U)=\mathbb{Z}$ ，同時(shí)可以計(jì)算 $\pi_1(\Omega^2U)=\pi_3(U)=\mathbb{Z}$ .所以相等。

其次驗(yàn)證同調(diào)群，U上的群結(jié)構(gòu) $U\times U\to U$ 給出上同調(diào)環(huán)水平的拉回 $H^*(U)\to H^*(U\times U)$ ,上同調(diào)環(huán)作為Hopf代數(shù)可以完全分類，進(jìn)而它們是同構(gòu).

Whitehead定理神之一手，非構(gòu)造性的推出同倫，是極為強(qiáng)大的論證工具；Hopf代數(shù)的分類點(diǎn)睛之筆。

（實(shí)Bott周期律）記SO=limSO(n).則 $SO\cong \Omega^8SO$

同理，Whitehead大爹出馬。

《Geometric Topology:Localization,Periodicity and Galois symmetry》Sullivan

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二十二課2024.12.20

????????????????????????????第二十三課2024.12.27

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

2024-12-28 同調(diào)論筆記復(fù)習(xí)

2024-12-28 同調(diào)論筆記復(fù)習(xí)

????????????????????????????????????????第一課2024.9.11

????????????????????????????????????????第二課2024.9.13

????????????????????????????????????????????第三課2024.9.20

????????????????????????????????????????第四課2024.9.25

????????????????????????????????????????第五課2024.9.27

????????????????????????????????????????第六課2024.10.9

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ??第七課2024.10.11

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???第八課2024.10.18

? ???????????????????????????????????????????第九課2024.10.23

? ??? ???????????????????????????????????????第十課2024.10.25

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十一課2024.11.1

第十二課2024.11.6

第十三課2024.11.8

????????????????????????????????????????第十四課2024.11.15

????????????????????????????????????????????第十五課2024.11.20

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十六課2024.11.22

? ??? ??????????????????????????????????第十七課 2024.11.29

????????????????????????????????????????????第十八課2024.12.4

????????????????????????????????????第十九課2024.12.6

????????????????????????????第二十課2024.12.13 缺課

????????????????????????????第二十一課2024.12.18

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二十二課2024.12.20

????????????????????????????第二十三課2024.12.27

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九 欧美,1769亚洲,黄色成人av

2024-12-28 同調(diào)論筆記復(fù)習(xí)

????????????????????????????????????????第一課2024.9.11

????????????????????????????????????????第二課2024.9.13

????????????????????????????????????????????第三課2024.9.20

????????????????????????????????????????第四課2024.9.25

????????????????????????????????????????第五課2024.9.27

????????????????????????????????????????第六課2024.10.9

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ??第七課2024.10.11

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???第八課2024.10.18

? ???????????????????????????????????????????第九課2024.10.23

? ??? ???????????????????????????????????????第十課2024.10.25

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十一課2024.11.1

第十二課2024.11.6

第十三課2024.11.8

????????????????????????????????????????第十四課2024.11.15

????????????????????????????????????????????第十五課2024.11.20

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?第十六課2024.11.22

? ??? ??????????????????????????????????第十七課 2024.11.29

????????????????????????????????????????????第十八課2024.12.4

????????????????????????????????????第十九課2024.12.6

????????????????????????????第二十課2024.12.13 缺課

????????????????????????????第二十一課2024.12.18

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二十二課2024.12.20

????????????????????????????第二十三課2024.12.27

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av