3.1 基礎(chǔ) - 時間序列建模

我們從基礎(chǔ)開始吧。 這包括平穩(wěn)序列，隨機(jī)散步，Rho系數(shù)，Dickey Fuller Test of Stationarity。 如果這些術(shù)語已經(jīng)嚇到你了，別擔(dān)心 - 他們會變得清楚一點，我敢打賭，你會開始享受這個話題，我會解釋一下。

3.1.1 平穩(wěn)序列

一系列為平穩(wěn)序列的三個基本標(biāo)準(zhǔn)：

• 系列的平均值不應(yīng)該是時間的一個函數(shù)，而應(yīng)該是一個常數(shù)。 下面的圖像具有滿足條件的左手圖，而紅色的圖具有時間依賴平均值。

  
  
  均值

• 序列的方差不應(yīng)該是時間的函數(shù)。 這個屬性被稱為同方差。 以下圖表描述了什么是什么，什么不是固定系列。 （注意右側(cè)圖中分布的變化差異）

  
  
  同方差和異方差

• 第i項和第（i + m）項的協(xié)方差不應(yīng)該是時間的函數(shù)。 在下圖中，您將注意到隨著時間的增加，這種差距越來越近。 因此，“紅色系列”的協(xié)方差與時間不一致。

  
  
  協(xié)方差

３.1.2 為什么我關(guān)心時間序列的“平穩(wěn)性”？

我首先介紹這個部分的原因是，除非你的時間序列是靜止的，否則你不能建立一個時間序列模型。 在違反固定標(biāo)準(zhǔn)的情況下，首先必須對時間序列進(jìn)行平化，然后嘗試隨機(jī)模型來預(yù)測該時間序列。 有多種方式使這種穩(wěn)定性。

3.1.3 隨機(jī)走

這是時間序列中最基本的概念。 你可能會很了解這個概念。 但是，我發(fā)現(xiàn)很多業(yè)內(nèi)人士將隨機(jī)游走解釋為一個固定的過程。 在這部分借助于一些數(shù)學(xué)，我將使這個概念永遠(yuǎn)清晰。 我們來舉個例子。
示例：想象一個女孩隨意移動到一個巨型棋盤上。 在這種情況下，女孩的下一個位置只取決于最后的位置。

現(xiàn)在想象，你坐在另一個房間里，看不到那個女孩。 你想預(yù)測一下女孩的位置。 你會有多準(zhǔn)確？ 當(dāng)然，隨著女孩的位置變化，你會變得越來越不準(zhǔn)確。 在t = 0，你確切知道女孩在哪里。 下一次，她只能移動到8個正方形，因此你的概率會下降到1/8而不是1，而且會持續(xù)下降。 現(xiàn)在我們來試一下這個系列：

X（t）= X（t-1）+ Er（t） 

其中Er（t）是時間點t處的誤差。 這是女孩在每個時間點帶來的隨機(jī)性。
現(xiàn)在，如果我們遞歸地適應(yīng)所有的X，我們將終于得到以下等式：

X（t）= X（0）+ Sum（Er（1），Er（2），Er（3）..... Er（t）） 

現(xiàn)在，讓我們嘗試驗證我們對這個隨機(jī)游走公式的固定系列的假設(shè)：
平均值是常數(shù)嗎？

E [X（t）] = E [X（0）] + Sum（E [Er（1）]，E [Er（2）]，E [Er（3t））]） 

我們知道任何錯誤的期望將為零，因為它是隨機(jī)的
因此，我們得到E [X（t）] = E [X（0）] =常數(shù)。
方差是否恒定？

Var [Er（2）]，Var [Er（3）] ... Var [X（t）] = Var [X（0）] + Sum（Var [Er（t））]） 
Var [X（t）] = t * Var（Error）=時間依賴。

因此，我們推斷隨機(jī)游走不是一個固定的過程，因為它具有時變方差。 另外，如果我們檢查協(xié)方差，我們也看到這也取決于時間

3.2 引入系數(shù)

我們已經(jīng)知道隨機(jī)游走是一個非平穩(wěn)的過程。 讓我們在方程中引入一個新的系數(shù)，看是否可以使方程平穩(wěn)。

3.2.1 引入系數(shù)：Rho

 X（t）= Rho * X（t-1）+ Er（t）

現(xiàn)在，我們將

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改變Rho的價值，看看我們能不能使序列穩(wěn)定下來。 在這里，我們將視覺上解釋分散，而不是做任何檢查平穩(wěn)性的測試。
我們從Rho = 0開始一個完全固定的系列。 這是時間序列的情節(jié)：

將Rho的值增加到0.5給出如下圖：

我們?nèi)匀豢吹絏在一段時間后從極值返回到零。 這個系列也沒有顯著地違反非平穩(wěn)性。 現(xiàn)在，我們來看看rho = 1的隨機(jī)游走。

這顯然是違規(guī)的。 什么使rho = 1在一個固定測試中出現(xiàn)的特殊情況？ 我們會找到數(shù)學(xué)原因。
讓我們對方程“X（t）= Rho * X（t-1）+ Er（t）”的兩邊采取期望。

 E [X（t）] = Rho * E [X（t-1）] 

例如，如果X（t-1）= 1，E [X（t）] = 0.5（Rho = 0.5）。 現(xiàn)在，如果X從0移動到任何方向，則在下一步中將其拉回到零。 唯一可以驅(qū)動它的組件是錯誤的術(shù)語。 錯誤術(shù)語同樣可能在任何一個方向。 當(dāng)Rho變?yōu)?時會發(fā)生什么？ 沒有力量可以在下一步中拉下X。

3.2.Augmented Dickey–Fuller test 擴(kuò)展迪基-福勒檢驗

這是檢查平穩(wěn)度的統(tǒng)計測試之一。 這里的零假設(shè)是TS是非平穩(wěn)的。 測試結(jié)果包括測試統(tǒng)計和一些不確定性水平的臨界值。 如果“測試統(tǒng)計”小于“臨界值”，我們可以拒絕零假設(shè)，并說系列是的。可以看出這里的拒絕域是{u<u0},這樣代表平穩(wěn)，是拒絕域。ADF的零假設(shè)是有一個單位根，替代方法是沒有單位根。 如果p值高于臨界尺寸，那么我們不能拒絕存在單位根。

1. 測試值高于臨界值，那么存在單位根，接受H0，非平穩(wěn)時間序列
2. 測試值小于臨界值，那么拒絕H0，接受H1，沒有單位根，平穩(wěn)時間序列
   python中可使用現(xiàn)成的工具statsmodels來實現(xiàn)adf檢驗

dw["ret"] = dw['close'].diff(1)
dw["log"] = np.log(dw['close']).diff(1)
dw.dropna(inplace=True)

result = sts.adfuller(dw["ret"].values, 1)

adf：float
     檢驗統(tǒng)計
p值：float
     MacKinnon基于MacKinnon（1994）的近似p值
usedlag：int
     使用的滯后數(shù)
nobs：int
     用于ADF回歸和計算的觀察數(shù)
     臨界值。
臨界值：dict
     1％，5％和10％的檢驗統(tǒng)計量的關(guān)鍵值
    水平。 基于MacKinnon（2010）
icbest：float
     自動標(biāo)記不是無最大信息標(biāo)準(zhǔn)。

(-13.348425690372366, 
5.7325941497185636e-25, 
0, 
142,
 {'5%': -2.8821181874544233, '1%': -3.4772616240489951, '10%': -2.5777431104939494},
165.84438279201979)

3.3 定階

簡單的理解就是找到時間序列的周期，比如說氣溫這一項，就有明顯的年度周期性，前幾年的同期數(shù)據(jù)對預(yù)測當(dāng)年的氣溫有極大的參考意義。
從統(tǒng)計學(xué)上講就是尋找是得ACF（樣本自相關(guān)系數(shù)）最大的時間間隔。
常用定階方法是ACF和PACF。