心態(tài)崩了，一把年紀重新學習ODE。反復說，年輕時候好好學數(shù)學。

一個方程里包含了未知量，可能不是未知數(shù)，是未知函數(shù)，可能是個算子。

函數(shù)方程，泛函方程：
微分方程就是一種函數(shù)為未知

微分方程：
未知量既有自變量，未知函數(shù)，又有未知函數(shù)的導數(shù)的函數(shù)方程。

這個是函數(shù)方程：
Φ(x^2 + 1) = 2 Φ(x)

這個是常微分方程：
dφ/dt2 + k^2 φ + r φ^3 = A cos ω t

這個是偏微分方程：
dφ/dt = d^2 φ /d^2 x
常微分方程對另外的變量不求導，偏微分方程對于兩個都要求導

這個是n階高微分方程

F(t, d' φ, d'' φ, d''' φ...) = 0

怎么寫常微分方程很難，怎么求解更難。

假設(shè)彈簧在 x位置，阻力是 -μ dx/dt，t時刻受到的彈力是 -kx(t)
得到二階微分方程：

m (d'' x / dt^2 ) + μ dx/dt + kx = 0

怎么求解呢??？我要簡單理解這個問題...

一是近似計算，因為常微分方程按照古典方法是沒有辦法解的
二是幾何分析，用逼近法
三是微分方程形式，化簡

什么是隱函數(shù)：
F(t,x) = 0 可以寫出一個 x = φ(t)

我們有通解？
我們得到的是一組解

在不同時間，解不一樣。
初值問題

要看他們獨立與否：

施加條件之后，我們可以看出來，解是否唯一。

定解條件。

這里其實可以用自由落體來做案例。有附加條件：有初始速度，也就是有初值。柯西條件。

知道解存在不存在，知道這個解唯一不唯一，這兩個問題很重要。

t = t0 時，就是初始問題
可以猜一個Φ放進去求解
問這個序列收斂嘛？做個循環(huán)。
在保證了收斂性的情形下，對較大的n，函數(shù)Φn(t) 就是一個近似解。
難的不是序列，就是不知道收斂性。