回顧條件概率：條件概率P(A|B)這個(gè)重要概念的核心就是刻畫了事件B的發(fā)生給事件A是否發(fā)生所帶來的額外信息
回顧事件獨(dú)立：在所有的條件概率情況當(dāng)中，我們注意到一個(gè)有趣且重要的特殊情況，那就是事件B的發(fā)生并沒有給事件A的發(fā)生帶來什么新的額外信息。換言之，事件B的發(fā)生與否，并沒有影響到事件A發(fā)生的概率，換句話說就是P(A|B)=P(A)所表達(dá)的意思。可以進(jìn)一步推導(dǎo)出等價(jià)的表達(dá)式：P(AB)=P(A)P(B)
P(A|B)=P(A) 這個(gè)公式是基于事實(shí)得出的，并不是通過公式推導(dǎo)得到，在數(shù)學(xué)中，有很多類似等式是基于事實(shí)假設(shè)得到的。
不相容與獨(dú)立性
事件A和事件B的兩個(gè)圓圈互不相交，即意味著兩個(gè)事件不相容，直觀的感覺到，事件A和事件B二者看上去沒啥關(guān)系，二者就是相互獨(dú)立的？
事實(shí)上卻恰巧相反。若事件A和事件B互不相容，并且像圖中所描述的，能夠保證兩個(gè)事件發(fā)生的概率：P(A)>0且P(B)>0成立，則他們永遠(yuǎn)不會相互獨(dú)立，就拿拋一個(gè)股子來說，A表示拋到6，B表示拋到1，有6沒有1，有1就沒有6，那么P（AB）=0,而P(A)P(B)肯定不等于0，因?yàn)镻(A)=1/6,P(B)=1/6，根據(jù)事件獨(dú)立性的公式P(AB)=P(A)P(B)判斷，A和B不滿足獨(dú)立，所以，事件不相容并不代表事件獨(dú)立。
在舉個(gè)例子，假設(shè)依次拋擲兩枚均勻的硬幣，事件A表示第一枚硬幣正面向上，事件B表示第二枚硬幣正面向上，這2個(gè)事件絕對的事件獨(dú)立，利用公式也可以做出判斷。
條件獨(dú)立
還是上面拋2個(gè)硬幣的例子，A,B事件獨(dú)立，但在引入事件C的情況下會怎么樣呢？那我們此時(shí)引入一個(gè)條件事件C，事件C表示兩次試驗(yàn)的結(jié)果不同，顯然，概率P(A∩B|C)=0（這個(gè)是事實(shí)值）因?yàn)樵趦纱卧囼?yàn)結(jié)果不同的前提條件下，壓根不可能發(fā)生兩次都是正面的情況，但同時(shí)呢兩個(gè)單獨(dú)的條件概率P(A|C)≠0，P(B|C)≠0，因此P(A∩B|C)≠P(A|C)P(B|C)，也就是說事件A和事件B不滿足事件C發(fā)生下的條件獨(dú)立的要求。
這個(gè)例子非常明確的說明了，獨(dú)立和條件獨(dú)立并不等價(jià)。
條件獨(dú)立的概念其實(shí)和獨(dú)立的概念在本質(zhì)上并沒有太大的區(qū)別，無非是在進(jìn)行事件A和事件B討論的基礎(chǔ)上，引入了另外一個(gè)前提條件：事件C。即在給定事件C發(fā)生的前提條件之下，若事件A和事件B滿足等式：P(A∩B|C)=P(A|C)P(B|C)成立,則稱事件A和事件B在給定事件C的前提之下條件獨(dú)立。這是不是和獨(dú)立性P(AB)=P(A)P(B)的定義基本上差不多呢？
條件概率應(yīng)用領(lǐng)域當(dāng)中使用非常廣泛的鏈?zhǔn)椒▌t：
P(A∩B∩C)=P(B∩C)P(A|B∩C)=P(C)P(B|C)P(A|B∩C)，這個(gè)鏈?zhǔn)椒▌t其實(shí)也很好理解，P(B∩C)的聯(lián)合概率就等同于P(C)P(B|C)就等同于B,C同時(shí)發(fā)生的概率
在結(jié)合條件概率得到：P(A∩B|C)=P(A∩B∩C)/P(C)
??????????????????????????????????????????????????? =P(C)P(B|C)P(A|B∩C)/P(C)
???????????????????????????????????????????????????? =P(B|C)P(A|B∩C)
在繼續(xù)推導(dǎo)可以得出條件獨(dú)立（P(A∩B|C)=P(A|C)P(B|C)）的第二等價(jià)公式：P(B|C)P(A|B∩C)=P(A|C)P(B|C)<==>P(A|B∩C)=P(A|C),
簡單點(diǎn)說，就是在事件C發(fā)生的總的前提條件下，事件B是否發(fā)生，不影響事件A發(fā)生的概率。其實(shí)這就又回到了條件概率定義的源頭上去了
一組事件的獨(dú)立性: 直觀理解，這里我們先將多個(gè)事件約定為3個(gè)，討論清楚了3
個(gè)事件獨(dú)立的情況之后，其他的情況自然而然就迎刃而解了。
關(guān)于事件A1,A2,A3，這3個(gè)事件滿足相互獨(dú)立的條件歸結(jié)為以下4條：
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2)
P(A1∩A3)=P(A1)P(A3)
P(A2∩A3)=P(A2)P(A3)
P(A1∩A2∩A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
最后由特殊到一般，我們來概況一下任意個(gè)數(shù)的一組事件之間相互獨(dú)立應(yīng)該滿足的條件：
脫離開上面形式化的公式，實(shí)際上，我們可以更加直觀的來理解一組事件的獨(dú)立性。通過對比，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)他的背景與兩個(gè)事件的獨(dú)立性是一樣的。一組事件滿足獨(dú)立性意味著下面一個(gè)事實(shí)：我們把一組事件任意的分成兩個(gè)小組，一個(gè)小組中的任意個(gè)數(shù)事件的出現(xiàn)與不出現(xiàn)，都不會給另一個(gè)小組中事件的發(fā)生與否帶來任何額外的信息
總結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容更加抽象，從2個(gè)事件的獨(dú)立到條件獨(dú)立（3個(gè)事件）在到一組事件的獨(dú)立（大于等于3個(gè)）的概念闡述，最終需要理解的是上面也是下面那句話：
一組事件滿足獨(dú)立性意味著下面一個(gè)事實(shí)：我們把一組事件任意的分成兩個(gè)小組，一個(gè)小組中的任意個(gè)數(shù)事件的出現(xiàn)與不出現(xiàn)，都不會給另一個(gè)小組中事件的發(fā)生與否帶來任何額外的信息
