? 庫爾特·哥德爾有兩個名字相對立的定理：哥德爾完備性定理和哥德爾不完備性定理。介紹后者影響力的讀物有時會將兩者相提并論，然后指出：它們一起說明了完備性只對充分弱的系統(tǒng)存在。這實在是極不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

? 因為這兩個定理中的完備性根本就不是一回事。

? 哥德爾完備性定理說的是語義完備性，它代表能夠證明在所有解釋下都成立的永真命題，這些命題的本性是重言式，其真值完全與具體模型無關(guān)，因此除了表現(xiàn)推理規(guī)則外并不能說明實質(zhì)性的內(nèi)容。不管這些真命題看上去形式多么復(fù)雜，完備性定理保證一階邏輯體系有能力將其“辨認”出來，對體系所不能證明的命題并沒有要求。

? ?哥德爾不完備性定理則說的是句法完備性，它代表能夠證明所有它無法否定的命題，但這些命題當(dāng)然不一定是重言式。在可靠性的前提下，句法完備性不但要求體系證明永真命題（蘊含了語義完備性），甚至還要求它去證明那些僅在特定解釋下才為真的命題，而這些命題當(dāng)然會含有實質(zhì)性的內(nèi)容,也就是某個模型獨有的屬性。

? 結(jié)合兩個定理能說明的事情是：存在語義完備而句法不完備的自洽理論T，此時存在命題P，使得T能證明“P或非P”，但既不能證明P也不能證明非P。例如，一階公理化的ZF就同時符合完備性和不完備性定理的條件。