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為了深入理解fMRI分析的原理，還是要學(xué)習(xí)一些微分方程與動力系統(tǒng)的東東，這是我的學(xué)習(xí)筆記，內(nèi)容還沒有很好的整理。

視頻在這里1-Differential Equations and Dynamical Systems Overview_嗶哩嗶哩_bilibili

課程的原始地址在這里：ME 564 - Mechanical Engineering Analysis (washington.edu)

1. Overview

線性代數(shù)是微分方程的一部分，如果可以的話，大學(xué)課程應(yīng)該將這兩部分一起傳授。這門課程除了基本的模型介紹以外，還會結(jié)合Matlab/Python的代碼來進行具體的實現(xiàn)。

這門課程會介紹以下幾個主題：

微積分：簡單回顧微積分的計算，重點是泰勒展開
簡單常微分方程（Simple Ordinary Differential Equations, ODEs）：即 $\dot{x}=\lambda x$ ，可以用于描述很多系統(tǒng)（如最常見的兔子吃草問題）
常微分方程組（System of ODEs）：即 $\dot X = AX$ ，常見的問題如在兔子吃草過程中引入其他動物（比如狼）
特征值與特征向量
非線性系統(tǒng)與混沌：即 $\dot X = f(X)$ ，常見的問題如行星運動
數(shù)值與計算：用Python或者Matlab

2. 微積分回顧：導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)反映的是一個函數(shù) $f(x)$ 對于獨立變量 $x$ 的變化率。其定義如下：

$\begin{equation} \frac{d f}{dx}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{equation}$

鏈式法則（Chain Rule)：

$\fracu0z1t8os{d x}f(g(x))=\frac{df}{dx}(g(x))\frac{dg(x)}{dx}=f'(g(x))g'(x)$

例子： $f(x)=sin(x)$ 和 $g(x)=x^3$ ，則：

$f(g(x))=sin(x^3)$

$\fracu0z1t8os{dx}f(g(x))=3cos(x^3)x^2$

3. 向量和矩陣建模

【一個天氣模型】在這個模型中，天氣有三種狀態(tài)，分別是多云(cloudy)、下雨(rainy)和晴天(nice),已知：
$\begin{array}{ll} P(cloudy|cloudy)=0.5 \\ P(rainy|cloudy)=0.25 \\ P(nice|cloudy)=0.25 \\ P(cloudy|rainy)=0.25 \\ P(rainy|rainy)=0.5 \\ P(nice|rainy)=0.25 \\ P(cloudy|nice)=0.5 \\ P(rainy|nice)=0.5 \\ P(nice|nice)=0 \end{array}$
上面公式表示一個概率，例如第一條表示如果前一天的天氣為多云時，則第二天的天氣為多云的概率是0.5，后面以此類推。此時，我們可以用一個向量來表示當(dāng)前的天氣情況：
$X_{today}=\begin{bmatrix} pr(R)\\ pr(N)\\ pr(C)\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
上式中表示當(dāng)前的天氣為晴天。則第二天的前期狀態(tài)可以根據(jù)之前的概率得到：
$X_{tomorrow}=AX_{today}=\begin{bmatrix} 0.5 \\ 0 \\ 0.5 \\ \end{bmatrix}$
不難看出， $A$ 為：
$A=\begin{bmatrix} 0.5&0.5&0.25 \\ 0.25&0&0.25 \\ 0.25&0.5&0.5\\ \end{bmatrix}$
此時，可以換一種形式來表示：
$\begin{align} X_{k+1}=&AX_k \\ =&A^{k}X_1 \end{align}$

clear all, close all, clc
A = [0.5 0.5 0.25;
0.25 0.0 0.25;
0.25 0.5 0.5];
xtoday = [1; 0; 0];
for k=1:50
    k
    xtomorrow = A * xtoday
    xtoday = xtomorrow;
end

運行上述代碼可以看到，這個模型中天氣會收斂到一個穩(wěn)定的狀態(tài)， $X=\begin{bmatrix}0.4\\0.2\\0.4\end{bmatrix}$ 。

有意思的事情是，這個穩(wěn)態(tài)值和矩陣特征向量與特征值的關(guān)系?？梢杂?code>eig函數(shù)來得到矩陣的特征值與特征向量：

[T,D]=eig(A)
T =

   -0.6667   -0.7071    0.4082
   -0.3333    0.0000   -0.8165
   -0.6667    0.7071    0.4082


D =

    1.0000         0         0
         0    0.2500         0
         0         0   -0.2500

此時如果對第一個特征值對應(yīng)的特征向量進行歸一化處理，可以得到：

T(:,1)/sum(T(:,1))

ans =

    0.4000
    0.2000
    0.4000

可以看到其最終結(jié)果就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布，因此可以用這種方法來計算得到穩(wěn)態(tài)分布，而不是使用迭代的方法。

上面過程的Python代碼如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
A = np.array([[0.5, 0.5, 0.25],[0.25, 0, 0.25],[0.25, 0.5, 0.5]])
xtoday = np.array([[1], [0], [0]])
the_weather = np.zeros((3,50))
for k in range(50):
    the_weather[:,k] = xtoday[:,0]
    xtomorrow = A@xtoday
    xtoday = xtomorrow
    print(k)
    print(xtomorrow)
    
plt.plot(the_weather.transpose())
plt.grid(True)

天氣收斂

4. 簡單常微分方程和它的指數(shù)解

簡單常微分方程的形式： $\dot x = \lambda x$

【例子】假設(shè)在一個草原上有 $x$ 只兔子，兔子的增長速度與兔子的數(shù)量成正比。這個問題就可以描述為上面的公式：
$\begin{array}{ll} \dot x = \frac{dx}{dt} = \lambda x \\ x = x(t) \\ \end{array}$
其中， $\lambda$ 表示增長率， $x$ 是時間的函數(shù)。后面我們還會延續(xù)這個模型，引入一些其他的動物。

4.1 微分方程求解

要想計算這個微分方程，有很多種方法：

【method 1】
$\begin{align}{ll} \because \frac{dx}{dt} =& \lambda x \\ \therefore dx =& \lambda x dt \\ \Rightarrow \int dx =& \int \lambda x dt \\ \Rightarrow ln(x(t)) =& \lambda t + C \\ \Rightarrow x(t) =& e^{\lambda t +C}= Ke^{\lambda t}\\ \end{align}$
根據(jù)上式，不難得到以下結(jié)論：
$\begin{array}{ll} x(0)=K \\ \therefore x(t) = e^{\lambda t} x(0) \end{array}$

易知上述微分方程的差分形式為： $\Delta x=rx(t)\Delta t$

5. 使用冪級數(shù)求解微分方程

對于常微分方程 $\dot x=ax\Rightarrow x(t)=e^{at}x_0$ ，假設(shè)函數(shù) $x(t)$ 可以寫成冪級數(shù)的形式，可知：
$\begin{align} x(t) = c_0+c_1x+c_2x^2+...\\ \end{align}$
則
$\dot x(t)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+...$
同時：
$\begin{align} ax(t) = ac_0+ac_1x+ac_2x^2+...\\ \end{align}$
$t$ 的對應(yīng)系數(shù)應(yīng)該相等，因此：
$\begin{align} c_1=&ac_0=ax_0 \\ 2c_2=&ac_1\Rightarrow c_2=\frac{a}{2}c_1=\frac{a^2}{2}x_0 \\ 3c_3 =&ac_2 \Rightarrow c_3=\frac{a}{3}c_2=\frac{a^3}{3!}x_0 \\ ...\\ (n+1)c_{n+1}=&ac_n \Rightarrow c_{n+1}=\frac{a}{(n+1)!}x_0 \end{align}$
所以：
$\begin{align} x(t)=&x_0+x_0at+x_0\frac{a^2t^2}{2!}+x_0\frac{a^3t^3}{3!}+...\\ =&x_0[1+at+\frac{a^2t^2}{2!}+\frac{a^3t^3}{3!}+...] \\ =&x_0e^{at} \end{align}$

6. 泰勒級數(shù)和冪級數(shù)

一個函數(shù) $f(x)$ 可以在一個點 $x$ （ $f(x)$ 在 $x$ 處光滑）被泰勒展開：
$f(x+\Delta x)=f(x)+\frac{df(x)}{dx}\Delta x+\frac{d^2f(x)}{dx^2}\frac{\Delta x^2}{2!}+\frac{d^3f(x)}{dx^3}\frac{\Delta x^3}{3!}+...+\frac{d^nf(x)}{dx^n}\frac{\Delta x^n}{n!}+...$
如果在特定的點 $a$ （即 $x=a+\Delta x$ )展開，上述公式也可以寫為如下形式：
$f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}(x-a)+\frac{d^2f}{dx^2}\frac{(x-a)^2}{2!}+\frac{d^3f}{dx^3}\frac{(x-a)^3}{3!}+...$
【例1】當(dāng) $f(x)=sin(x)$ 時，其泰勒展開為：
$\begin{align} sin(x)=&sin(0)+cos(0)x-\frac{sin(0)}{2!}x^2-\frac{cos(0)}{3!}x^3+... \\ =&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+... \\ \end{align}$
【例2】當(dāng) $f(x)=cos(x)$ 時，其泰勒展開為：
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+...$
Matlab代碼如下：

clear all, close all
x = -10:0.01:10;
y = sin(x);
plot(x, y, 'k', 'LineWidth',2)
axis([-10 10 -10 10])
grid on, hold on

%% 一階泰勒展開
P = [1 0];
yT1 = polyval(P, x);
plot(x, yT1, 'b--', 'LineWidth', 1.2)

%% 三階泰勒展開
P = [-1/factorial(3) 0 1 0];
yT3 = polyval(P, x);
plot(x, yT3, 'r--', 'LineWidth', 1.2)

%% 五階泰勒展開
P = [1/factorial(5) 0 -1/factorial(3) 0 1 0];
yT5 = polyval(P, x);
plot(x, yT5, 'g--', 'LineWidth', 1.2)

%% 七階泰勒展開
P = [-1/factorial(7) 0 1/factorial(5) 0 -1/factorial(3) 0 1 0];
yT7 = polyval(P, x);
plot(x, yT7, 'm--', 'LineWidth', 1.2)

%% 九階泰勒展開
P = [1/factorial(9) 0 -1/factorial(7) 0 1/factorial(5) 0 -1/factorial(3) 0 1 0];
yT9 = polyval(P, x);
plot(x, yT9, 'c--', 'LineWidth', 1.2)

talyor.png

Python的泰勒展開結(jié)果如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
from scipy.special import factorial

x = np.linspace(-10, 10, 2000)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y, 'k', linewidth=2)
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.grid(True)

# 一階泰勒展開
P = [1, 0]
yT1 = np.polyval(P, x)
plt.plot(x, yT1, 'b--', linewidth=1.2)

# 三階泰勒展開
P = [-1/factorial(3), 0, 1, 0]
yT3 = np.polyval(P, x)
plt.plot(x, yT3, 'r--', linewidth=1.2)

# 五階泰勒展開
P = [1/factorial(5), 0, -1/factorial(3), 0, 1, 0]
yT5 = np.polyval(P, x)
plt.plot(x, yT5, 'g--', linewidth=1.2)

# 七階泰勒展開
P = [-1/factorial(7), 0, 1/factorial(5), 0, -1/factorial(3), 0, 1, 0]
yT7 = np.polyval(P, x)
plt.plot(x, yT7, 'm--', linewidth=1.2)

# 九階泰勒展開
P = [1/factorial(9), 0, -1/factorial(7), 0, 1/factorial(5), 0, -1/factorial(3), 0, 1, 0]
yT9 = np.polyval(P, x)
plt.plot(x, yT9, 'c--', linewidth=1.2)

image.png

7.指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)和歐拉公式

本節(jié)課利用泰勒級數(shù)推導(dǎo)出歐拉公式，過程如下：
$\begin{align} e^x =& 1 + x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+... \\ =& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\\ \Rightarrow e^{ix}=& 1 + ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...\\ =&(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...) + i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...) \\ =&cos(x)+isin(x) \end{align}$
得到上述公式后，后面的計算會變得更加容易

8. 用二階常微分方程描述諧振子

此處，我們引入了一個物理學(xué)中的常見概念——諧振子，并使用微分方程來對其狀態(tài)進行建模。

問題描述如下：在一個光滑平面上，有一個質(zhì)量為 $m$ 的物體，其一端用彈簧與墻壁相連，彈簧的系數(shù)為k，物體偏移靜止?fàn)顟B(tài)（即除支撐力外，不受任何彈簧彈力）的位移為 $x$ ，則可知：

$\begin{align} F=&-Kx=ma \\ v=&\frac{dx}{dt} \\ a=& \frac{dv}{dt}= \frac{d^2x}{dt^2} \\ \end{align}$
令 $m=1$ ， $K=1$ ，則：
$\begin{align} \frac{d^2x}{dt^2}=-x \Rightarrow \ddot x = -x \end{align}$
求解上述方程的方法有很多種：

【Method 1】瞪眼法

因為 $x(0)=0$ ， $\dot x(0)=v_0=0$ ，結(jié)合前面的泰勒展開結(jié)果，充分考慮這些初始條件，則可以猜測
$\begin{align} x(t)=cos(t)x_0 \end{align}$
則
$\begin{align} \dot x(t)=&-sin(t)x_0\\ \ddot x(t)=&-cos(t)x_0\\ \end{align}$
而上述結(jié)果滿足之前的 $\ddot x = -x$ ，于是瞪眼成功。

對于一般的 $K$ 和 $m$ ，
$\begin{align} x(t)=cos(\sqrt\frac{K}{m}t)x(0) \end{align}$

【Method 2】泰勒級數(shù)展開

$\begin{align} x(t)=&c_0+c_1t+c_2t^2+c_3t^3+c_4t^4+...\\ \dot x(t)=&c_1+2c_2t+3c_3t^2+4c_4t^3+5c_5t^4... \\ \ddot x(t)=&2c_2+3\cdot2c_3t+4\cdot3c_4t^2+5\cdot4c_5t^3... \\ \end{align}$

因此
$\begin{align} c_0=&x_0 \\ c1=&v_0 \\ 2c_2=&-c_0 \Rightarrow c_2=-\frac{1}{2}x_0 \\ 3\cdot2c_3=&-c_1 \Rightarrow c_3=-\frac{1}{3!}v_0 \\ 4\cdot3c_4=&-c_2 \Rightarrow c_4 = \frac{1}{4!}x_0 \\ 5\cdot4c_5=&-c_3 \Rightarrow c_5 = \frac{1}{5!}v_0 \\ ... \end{align}$
將其帶回，可得：
$\begin{align} x(t)=&x_0+v_0t-\frac{1}{2!}x_0t^2-\frac{1}{3!}v_0t^3+\frac{1}{4!}x_0t^4+\frac{1}{5!}v_0t^5+... \\ =&x_0(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+...)+v_0(t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+...) \\ =&cos(t)x_0+sin(t)v_0 \end{align}$

【Method 3】瞪眼法2

一個函數(shù)求導(dǎo)之后仍然是自身的函數(shù)，最容易想到的就是指數(shù)函數(shù)，因此不妨猜測 $x$ 是一種指數(shù)函數(shù)。
$\begin{align} x(t)=&e^{\lambda t}\\ \dot x=&\lambda e^{\lambda t} \\ \ddot x=&\lambda^2 e^{\lambda t} \end{align}$

將其代入微分方程，可得：
$\begin{align} \lambda^2 e^{\lambda t}=&-e^{\lambda t} \Rightarrow \lambda ^2=-1 \end{align}$
所以：
$\begin{align} x(t)=&c_1e^{it}+c_2e^{-it}\\ =&(c_1+c_2)cos(t)+i(c_1-c_2)sin(t) \end{align}$

【Method 4】Suspend variable

在該方法中，引入一個新的變量 $v=\frac{dx}{dt}$
$\left. \begin{matrix} \dot x=v \\ \dot v=-x \end{matrix} \right\}\Rightarrow \fracu0z1t8os{dt} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix}$
令：
$A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \\ \underline x= \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix}$
則：
$\dot {\underline x} = A \underline x \Rightarrow \underline x=e^{At}\underline x(0)$

9. 二階ODE，阻尼震蕩器

阻尼震蕩器

新的問題變成了添加了一個阻尼的震蕩子，如上圖所示，此時模型變?yōu)椋?br> $\begin{align} F=ma \Rightarrow& -Kx-d\dot x = m\ddot x \\ \Rightarrow& m \ddot x+d \dot x+ Kx = 0 \end{align}$
令
$\begin{align} \zeta =& \fracu0z1t8os{m} \\ \omega^2 =& \frac{K}{m} \end{align}$

所以：

$\ddot x+\zeta \dot x+\omega^2x=0$
看到這個模型，不難繼續(xù)要使用瞪眼法，令：

$\left. \begin{align} x(t)=&e^{\lambda t} \\ \dot x(t) =& \lambda e^{\lambda t}\\ \ddot x(t) =& \lambda^2 e^{\lambda t} \end{align} \right\} \Rightarrow \lambda^2e^{\lambda t}+\zeta\lambda e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$

所以：

$\lambda^2+\zeta\lambda+\omega^2=0$
這個方程被稱為特征方程。

其解為：
$\lambda=\frac{-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2-4\omega^2}}{2}$
最終
$x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}$
還可以將模型寫為矩陣形式：
$\left\{ \begin{align} \dot x =& v \\ \dot v =& -\omega^2x-\zeta v \\ \end{align} \right. \Rightarrow \fracu0z1t8os{dt} \begin{bmatrix} x \\ v \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -\zeta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v\\ \end{bmatrix}$
下面我們在Matlab中對這個過程進行模擬，需要注意的是：
$\begin{align} \because \frac{dx}{dt} =& Ax \\ \therefore \Delta x =& Ax\Delta t \\ x_{k+1} =& x_{k}+Ax\Delta t \\ t_k =& k\Delta t \end{align}$
看懂了上式就可以對上述過程進行編碼了，具體代碼如下

clear all; close all;

w = 2*pi; 
d = 0.25;

% dt = Ax，此處和文中給出的公式并不一致，相當(dāng)于k=.5，但是只要知道這是在做一些系統(tǒng)初始化的設(shè)置即可
A = [0 1; -w^2 -2*d*w];

dt = .01;   % time step
T = 10;     % amount of time to integrate

% 初始位置在2處，初始速度為0
x0 = [2; 0];

xF(:,1) = x0;
tF(1) = 0;
for k=1:T/dt
    tF(k+1) = k*dt;
    xF(:,k+1) = (eye(2) + dt*A)*xF(:,k);
end

plot(tF, xF(1,:), 'k')

% 使用龍格庫塔（Runge Kutta）得到的結(jié)果
[t, xGood] = ode45( @(t, x) A*x, 0:dt:T, x0);
hold on
plot(t, xGood(:,1), 'r')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Position (m)')
legend('Forward Euler', 'ODE45(RK4)')

figure
plot(xGood(:,1),xGood(:,2),'k')
xlabel('Position [m]')
ylabel('Velocity [m/s]')

位置隨時間變化圖

狀態(tài)圖

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# play around with different 'd' and 'dt' to see various behavior!

w = 2 * np.pi  # natural frequency
d = .25        # damping ratio

# spring-mass-damper system
A = np.array([[0, 1], [-w ** 2, -2 * d * w]])  # \dot{x} = Ax

dt = 0.01  # time step
T = 10     # amount of time to integrate
n = int(T / dt)
t = np.linspace(0, T, n)

x0 = [2, 0]  # initial condition (x=2, v=0)

# iterate forward Euler
xF = np.zeros((2, n))
xF[:, 0] = x0
for k in range(n - 1): 
    xF[:, k + 1] = (np.eye(2) + dt * A) @ xF[:, k]

# compute better integral using built-in python code
# 4th-order Runge Kutta 
def linear_ode(t, x):
    return A @ x  # @ symbol for matrix-vector product here

linear_ode_solution = solve_ivp(linear_ode, (0, T), x0, t_eval=t) 
xGood = linear_ode_solution.y

plt.figure(figsize=(20, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, xF[0, :], 'k')
plt.plot(t, xGood[0, :],'r')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Position [m]')
plt.legend(['Forward Euler', 'ODE45 (RK4)'])
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(xF[0, :], xF[1, :], 'k')
plt.plot(xGood[0, :], xGood[1, :], 'r')
plt.xlabel('Position [m]')
plt.ylabel('Velocity [m/s]')
plt.legend(['Forward Euler', 'ODE45 (RK4)'])
plt.grid(True)

image.png

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《微分方程與動力系統(tǒng)（Differential Equations and Dynamical Systems）》聽課筆記1

《微分方程與動力系統(tǒng)（Differential Equations and Dynamical Systems）》聽課筆記1

1. Overview

2. 微積分回顧：導(dǎo)數(shù)

3. 向量和矩陣建模

4. 簡單常微分方程和它的指數(shù)解

4.1 微分方程求解

5. 使用冪級數(shù)求解微分方程

6. 泰勒級數(shù)和冪級數(shù)

7.指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)和歐拉公式

8. 用二階常微分方程描述諧振子

【Method 1】瞪眼法

【Method 2】泰勒級數(shù)展開

【Method 3】瞪眼法2

【Method 4】Suspend variable

9. 二階ODE，阻尼震蕩器

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《微分方程與動力系統(tǒng)（Differential Equations and Dynamical Systems）》聽課筆記1

1. Overview

2. 微積分回顧：導(dǎo)數(shù)

3. 向量和矩陣建模

4. 簡單常微分方程和它的指數(shù)解

4.1 微分方程求解

5. 使用冪級數(shù)求解微分方程

6. 泰勒級數(shù)和冪級數(shù)

7.指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)和歐拉公式

8. 用二階常微分方程描述諧振子

【Method 1】瞪眼法

【Method 2】泰勒級數(shù)展開

【Method 3】瞪眼法2

【Method 4】Suspend variable

9. 二階ODE，阻尼震蕩器

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