掌握從非穩(wěn)態(tài)過渡到穩(wěn)態(tài)的感性認(rèn)識

傳熱學(xué)-第三章-一維平壁笛卡爾坐標(biāo)系非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解-分離變量法
還有拉普拉斯、傅里葉轉(zhuǎn)換等方法，參考熱傳導(dǎo)專著

溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律的函數(shù)原型：

$t=f(x,y,z,\tau); \Phi=f(\tau)$

導(dǎo)熱微分方程的一般形式(第二章推導(dǎo)過)

$\rho c_p \frac{\partial t}{\partial \tau}=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda \frac{\partial t}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(\lambda \frac{\partial t}{\partial y})+\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \frac{\partial t}{\partial z})+q_v\tag{1}$

求解方法有三種，分析解、數(shù)值解、實(shí)驗(yàn)解

一.下面為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，有限厚度無限大平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解析解（分離變量法）

1.物理模型為 $2\delta$ 厚度的平板， $\tau=0$ 初始溫度分布為 $t_0(x)$ ，放入 $t_\infty$ 的流體中，求溫度分布 $t(x,\tau)$

該物理模型簡化為一維問題，非穩(wěn)態(tài)，常物性（ $\lambda , a$ 為常數(shù)），兩側(cè)溫度分布對稱，中心為原點(diǎn)，無內(nèi)熱源，邊界條件為在傳熱系數(shù)為 $h$ 的流體中的第三類邊界條件,微分方程 $(1)$ 簡化為：

$\frac{\partial t}{\partial \tau}=a\frac{\partial^2t}{\partial x^2}\tag{2}$

①時(shí)間條件為初始條件,該條件只有瞬態(tài)條件才有，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)沒有 $\tau=0$ 的初始條件

②溫度分布對稱,中心溫度最大或者最低，因此中心為絕熱邊界條件，外邊界條件以第三類邊界條件（舉例）:

$\begin{cases} \frac{\partial t}{\partial \tau}=a\frac{\partial^2t}{\partial x^2}\\ -\lambda\frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=h(t|_\delta-t_\infty)\\ \frac{\partial t}{\partial x}|_{x=0}=0\\ \tau=0, t(x,0)=t_0\\ \tag{3} \end{cases}$

③分析條件的齊次與非齊次問題，方程（2）為齊次， $x=\delta$ 處的邊界條件為非齊次，x=0的邊界條件為齊次，全部齊次化： $\theta(x,\tau)=t（x,\tau）-t_\infty$ ,因此 $t=\theta+t_\infty$ ,并且注意到由于 $t_\infty$ 為常數(shù)，在求一階偏微分，二階偏微分的時(shí)候不影響，其他方程仍為齊次( $\frac{\partial t}{\partial \tau}=\frac{\partial \theta}{\partial \tau}$ , $a\frac{\partial^2t}{\partial x^2}=a\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$ )

方程組引入過余溫度后， $(2)(3)$ 轉(zhuǎn)為為如下方程組:

$\begin{cases} \frac{\partial \theta}{\partial \tau}=a\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}\\ -\lambda\frac{\partial \theta}{\partial x}|_{x=\delta}=h\theta\\ \frac{\partial \theta}{\partial x}|_{x=0}=0\\ \tau=0,\theta=\theta_0=t_0-t_\infty \tag{4} \end{cases}$

2.分離變量法,假設(shè) $\theta=f(x，\tau)=X(x)\cdot\phi(\tau)$

并帶入到 $(4)$ 中第一個式子
$X\frac{\partial \phi}{\partial \tau}=a\phi \cdot \frac{\partial^2X}{\partial x^2}\tag{5}$

$X(x)與\tau無關(guān)，\phi(\tau)與x無關(guān)$

偏微分退化為常微分，微分量可以自由移動，交換變量變化如下
$\frac{1}{a\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=\frac{1}{X} \frac{d^2X}{d x^2}\tag{6}$

分析上述公式，左邊是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，右邊是關(guān)于空間的函數(shù), 秒=米？

要讓秒=米是不可能的，等式兩邊必須同等于一常數(shù)

$\frac{1}{a\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=\frac{1}{X} \frac{d^2X}{d x^2}=D\tag{6}$

轉(zhuǎn)換為兩個獨(dú)立方程，如下

$\begin{cases} \frac{1}{a\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=D\\ \frac{1}{X} \frac{d^2X}{d x^2}=D\\ \end{cases} \tag{7}$

解常微分方程, $(7)的$ 第一個方程很好解, $\frac{1}{\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=aD$ , $ln\phi=D+c_1$

$\phi=c_1 e^{aD\tau}\tag{8}$

分析以下上面的數(shù)據(jù), $a$ 為熱擴(kuò)散率，大于0，時(shí)間恒為正，如果D為正數(shù)，那么 $\phi隨時(shí)間增大會不會趨近0$ ，而實(shí)際情況是時(shí)間越長溫度越接近流體溫度，過余溫度接近0，因此D一定為負(fù)數(shù)

設(shè) $D=-\beta^2$ ，那么方程組(7)變化為如下：

$\begin{cases} \frac{1}{a\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=-\beta^2\\ \frac{1}{X} \frac{d^2X}{d x^2}=-\beta^2\\ \end{cases} \tag{9}$

對于 $關(guān)于時(shí)間\tau的函數(shù)\phi$ 來說，解微分方程如下為

$\phi=c_1 e^{-a\beta^2\tau}\tag{10}$

對于關(guān)于x位置的函數(shù)，實(shí)際上為 $X^{''}+\beta^2X=0$ ,是二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值的線性組合，這個解在高數(shù)(下)中查到結(jié)果

$X(x)=c_2cos(\beta x)+c_3sin(\beta x)\tag{11}$

由于之前分離變量的假設(shè)為 $\theta(x,\tau)=X(x)\cdot\phi(\tau)$ ,那么我們把 $(10)\cdot (11)$ 就得到了過余溫度關(guān)于 $x,\tau$ 函數(shù)的一般解形式:

$\theta(x,\tau)=[Acos(\beta x)+Bsin(\beta x)]\cdot e^{-a\beta^2\tau}\tag{12}$

其中未知系數(shù)c1,c2,c3的換為新的未知數(shù) $A=c_1\cdot c_2,B=c_1\cdot c_3$

3.邊界條件及初始條件確定未知系數(shù)得到定解

$A，B，\beta$ （β是我們引入的）三個未知數(shù)，三個定解條件。

方程組 $(4)$ 中有一個初始條件，二個定解條件。三個方程決定三個未知數(shù)，此方程有定解

先看x=0處的絕熱邊界條件 $x=0,\frac{\partial \theta}{\partial x}=0$ ,將通解形式(12)對x求偏導(dǎo)帶入，如下：

$\frac{\partial \theta}{\partial x}=[-A\beta sin(\beta x)+B\beta cos(\beta x)]\cdot e^{-a\beta^2\tau}\tag{13}$

x=0帶入，求得 $B\beta\cdot e^{-a\beta^2\tau}=0$ （指數(shù)函數(shù)永遠(yuǎn)不為0）,而 $\beta \neq 0$ ,那么只有B=0。

一般解簡化為如下，1個定解條件解得一個B=0

$\theta(x,\tau)=Acos(\beta x)\cdot e^{-a\beta^2\tau}\tag{14}$
第二個定解條件，為第三類邊界條件 $x=\delta，-\lambda\frac{\partial \theta}{\partial x}=h\theta|_{x=\delta}$ ,將 $x=\delta以及\theta的表達(dá)式（14）帶入(13)$
$-\lambda\cdot [-A\beta sin(\beta \delta)]\cdot e^{-a\beta^2\tau}=h\cdot Acos(\beta \delta)\cdot e^{-a\beta^2\tau}\tag{15}$
上式中
$\require{cancel} -\lambda\cdot [-\cancel{A}\beta sin(\beta \delta)]\cdot \cancel {e^{-a\beta^2\tau}}=h\cdot \cancel{A}cos(\beta \delta)\cdot \cancel{e^{-a\beta^2\tau}}$
簡化為 $\lambda\cdot\beta sin(\beta \delta)=h\cdot cos(\beta \delta)$
進(jìn)一步
$tan(\beta \delta)=\frac{h}{\lambda\cdot \beta}\tag{16}$

我們學(xué)過了Bi數(shù)的定義，為內(nèi)阻：外阻, $Bi=\frac{\delta}{\lambda}/\frac{1}{h}=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,將等式（16）右邊分子分母同時(shí)乘以 $\delta$ 湊出一個Bi數(shù)

（16）轉(zhuǎn)換為 $tan(\beta \delta)=\frac{Bi}{\beta\delta}$ ,換元 $\mu=\beta\delta$

$tan\mu=\frac{Bi}{\mu}或者 cot\mu=\frac{\mu}{Bi}\tag{17}$

這個方程為超越方程，左邊是tan x 三角函數(shù)，右邊是1/x 函數(shù)，并且tan x為周期函數(shù)，兩個曲線有無窮個交點(diǎn)，就有無窮個解.

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那么，這個超越方程的解集合稱之為特征方程，無窮多個特征解為 $\mu_1,\mu_2……\mu_n$

這些特征解的無窮級數(shù)求和，組成新的解形式,一般情況下用6-8項(xiàng)就夠了，下面我們簡單分析一下。

1.當(dāng) $Bi\to\infty,也就是函數(shù)tan\mu\to\infty，特征值\mu_n為\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi,\frac{5}{2}\pi……$

2.當(dāng) $Bi\to 0,tan\mu\to 0,，特征值\mu_n為0,\pi,2\pi……$

3.在給定Bi數(shù)的情況下，對應(yīng)每一個特征值 $\mu_n=\beta_n\delta\to\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$ ，溫度分布的特解分別為如下：

$\begin{cases} \theta_1(x,\tau)=A_1cos(\beta_1x)\cdot e^{-a\beta_1^2\tau}\\ \theta_2(x,\tau)=A_2cos(\beta_2x)\cdot e^{-a\beta_2^2\tau}\\ ………\\ \theta_2(x,\tau)=A_ncos(\beta_nx)\cdot e^{-a\beta_n^2\tau}\\ \end{cases} \tag{18}$

反直覺之——有多個溫度分布的解析式:

公式集合(18)為 $x=\delta，-\lambda\frac{\partial \theta}{\partial x}=h\theta|_{x=\delta}$ 及 $x=0,\frac{\partial \theta}{\partial x}=0$ 得到的特解，常數(shù) $A_1,A_2……A_n$ 為任何值，都滿足導(dǎo)熱微分方程式和這關(guān)于x位置的兩個定解條件，但是一個都不滿足關(guān)于時(shí)間 $\tau=0,\theta=\theta_0$ 時(shí)刻的初始條件的溫度分布——因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A_i" alt="A_i" mathimg="1">只要有一個不相等，就會有多個初始溫度分度，產(chǎn)生悖論。

知識點(diǎn)補(bǔ)充：導(dǎo)熱微分方程為線性方程 $\frac{\partial \theta}{\partial \tau}=a\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$

溫度對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)式1，溫度對位置x的二階導(dǎo)數(shù)為 $a$ ，都與溫度無關(guān)

該導(dǎo)熱問題的通解為各個特解的線性求和疊加：導(dǎo)熱微分方程式和邊界條件都是線性的——溫度和溫度的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都與溫度無關(guān)。

例如，F(xiàn)(x)=a,F(y)=b, 疊加起來F(x+y)=a+b, 給一個信號x和y的疊加信號，等于單獨(dú)給信號以后的結(jié)果之和

線性疊加的組合得到一個與初始溫度分布相等的表達(dá)式：

$\theta(x,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(\beta_n x)e^{-a\beta^2_n \tau}\tag{19}$

公式（19）中 $\beta_n$ 為已知數(shù)， $A_n$ 為未知數(shù)，帶入初始條件 $\tau=0,\theta=\theta_0=t_0-t_\infty$ 求解得到 $A_n$ 即可得到唯一特解

$\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$

$\theta_0=\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(\beta_n x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(\mu_n\frac{x}{\delta}) \tag{20}$

A_n還是不知道，級數(shù)方程沒有復(fù)變的基礎(chǔ)下不好解，下面還是利用特征函數(shù)的特性-正交性來解決,當(dāng)下標(biāo)不等（非對角元乘積的積分為0）

正交性問題來源于常微分方程的施圖姆-劉維爾理論 $

這里不展開，二階常微分方程為亥姆霍茲方程，利用該結(jié)論即可。施圖姆-劉維爾理論 (Sturm–Liouville theory ) - 知乎 (zhihu.com)

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需要利用的結(jié)論是

$當(dāng)m\neq n$ 時(shí)， $\int_0^\delta A_ncos(\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot cos(\mu_m \frac{x}{\delta})dx=0$

方程(20)兩邊同時(shí)乘以 $cos(\mu_m \frac{x}{\delta})$ ,并在 $0\leq x\leq \delta$ 范圍內(nèi)積分,這個m可以等于也可以不等于n

$\theta_0\cdot \int_0^\delta cos(\mu_m \frac{x}{\delta})d_x=\int_0^\delta\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot cos(\mu_m \frac{x}{\delta})dx \tag{21}$

那么公式中無窮求和只剩下 m等于n這一項(xiàng)，去掉級數(shù)符號

$\theta_0\cdot \int_0^\delta cos(\mu_n \frac{x}{\delta})d_x=\int_0^\delta A_ncos^2(\mu_n\frac{x}{\delta})dx\tag{22}$

這個積分就好解了，可以求得 $A_n$ 等于兩個積分相除

$\require{cancel} A_n=\theta_0\frac{\int_0^\delta cos(\mu_n\frac{x}{\delta})dx}{\int_0^\delta cos^2(\mu_n\frac{x}{\delta})dx}=\theta_0\frac{\int_0^\delta cos(\mu_n\frac{x}{\delta})d(\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot\frac{\delta}{\mu_n}}{\int_0^\delta\frac{1}{2}(1+cos(2\mu_n\frac{x}{\delta}))d(2\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot \frac{\delta}{2\mu_n}}\\ A_n=\theta_0\frac{sin(\mu_n\frac{x}{\delta})|_0^\delta\cdot \frac{\delta}{\mu_n}}{\frac{1}{2}(2\mu_n\frac{x}{\delta}+sin(2\mu_n \frac{x}{\delta}))|_0^\delta \cdot \frac{\delta}{2\mu_n}}=\theta_0\frac{sin(\mu_n\frac{x}{\delta})|_0^\delta\cdot \cancel{\frac{\delta}{\mu_n}}}{\frac{1}{2}(\cancel{2}\mu_n\frac{x}{\delta}+\cancel{2}sin(\mu_n \frac{x}{\delta})cos(\mu_n \frac{x}{\delta}))|_0^\delta \cdot \cancel{\frac{\delta}{2\mu_n}}}=\theta_0\cdot\frac{2sin\mu_n}{\mu_n+sin\mu_n cos\mu_n}\tag{23}$

最后將 $A_n$ 的表達(dá)式帶入公式（19）中

$\theta(x,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n cos(\beta_nx)\cdot e^{-a\beta^2_n\tau}\tag{19}$

得到

$\theta(x,\tau)=\theta_0 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin\mu_n}{\mu_n+sin\mu_n cos\mu_n}cos(\beta_nx)\cdot e^{-a\beta^2_n\tau}\tag{24}$
其中 $\mu_n$ 為超越方程 $tan\mu=\frac{Bi}{\mu}$ 的系列特征根并且 $\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$ ,上式（24）為無未知數(shù)的無窮級數(shù)組合

唯一決定解析解的公式已經(jīng)推導(dǎo)完畢，我們進(jìn)行一下變形然后進(jìn)行對時(shí)間和位置變化的趨勢行為的分析

已知畢沃準(zhǔn)則數(shù) $Bi=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,為內(nèi)阻與外阻之比；傅里葉準(zhǔn)則數(shù) $F_o=\frac{a\tau}{L^2}$ ，L為特征長度，在 $2\delta$ 的平板中, $L=\delta，F(xiàn)_o=\frac{a\tau}{\delta^2}$ ,為無量綱時(shí)間

將特解(24)轉(zhuǎn)換為這兩個準(zhǔn)則數(shù)的自變量的形式,利用 $\mu=\beta\delta;\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$

$\require{cancel} \theta(x,\tau)=\theta_0 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin\mu_n}{\mu_n+sin\mu_n cos\mu_n}cos(\cancel{\beta_n}\mu_n \frac{x}{\delta})\cdot e^{-a\cancel{\beta^2_n}\frac{\mu_n^2}{\delta^2}\tau}=\theta_0 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin\mu_n}{\mu_n+sin\mu_n cos\mu_n}cos(\mu_n\frac{x}{\delta})e^{-\mu_n^2 F_o}\tag{25}$

在（25）中， $\mu$ 為Bi數(shù)相關(guān)， $\frac{x}{\delta}$ 為位置相關(guān)， $F_0$ 為時(shí)間相關(guān)，因此該解析式包含了①內(nèi)部導(dǎo)熱與外部條件的因素②位置自變量③時(shí)間自變量這三個因變量

$\theta(x,\tau)=f(Bi,F_o,\frac{x}{\delta})$

先對傅里葉數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng) $F_0\geq 0.2$ 時(shí)（根據(jù)熱擴(kuò)散率和厚度估算一般為20秒），該指數(shù)函數(shù)衰減的速度超過了前面函數(shù)(三角函數(shù))增加的速度，無窮級數(shù)在第1項(xiàng)就幾乎收斂！那么我們用第一項(xiàng) $\mu_1$ 就可以得到精度很高的近似解。

在上述特殊情況，可以用上式取級數(shù)①第一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，②可以用諾莫圖計(jì)算，③也可以用campo近似擬合公式計(jì)算,將過余溫度表達(dá)式與初始時(shí)刻的過于溫度相除，并且分子分母同時(shí)乘以中心處任意時(shí)間的過余溫度

$\frac{\theta(x,\tau)}{\theta_0}=\frac{\theta(x,\tau)}{\theta _m(\tau)}\cdot\frac{\theta _m(\tau)}{\theta_0}\\ f(Bi,\frac{x}{\delta})\cdot f(Bi,F_O)\tag{26}$

有了溫度分布，根據(jù) $Q=cm\Delta t$ 計(jì)算換熱量

$Q\tau=\rho c_p\int_{-\delta}^{+\delta}(t_0-t)dx=2\rho c_p\delta\theta_0[1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin^2\beta_n}{\beta^2_n+\beta_nsin\beta_ncos\beta_n}e^{-\beta_n^2F_o}] [J/m^2]\tag{27}$
其中持續(xù)到穩(wěn)態(tài)放完的總熱量為 $Q_0=2\delta\rho c_p(t_0-t_\infty)=2\rho c_p\delta\theta_0$ ,因此 $\tau$ 時(shí)刻下釋放的熱量與 $Q_0$ 比值: $\frac{Q_\tau}{Q_0}=f(F_o,Bi)$ ,為傅里葉數(shù)和畢渥數(shù)的函數(shù)，與位置無關(guān)

二、準(zhǔn)則數(shù)對溫度分布的影響

1. $F_o$ 數(shù)對溫度分布的影響

$F_o=a\tau/\delta^2>0.2$ 時(shí)，無量綱溫度表達(dá)式取無窮級數(shù)第一項(xiàng),有一個根 $\mu_1$ 即可

$\theta(x,\tau)=\theta_0 \frac{2sin\mu_1}{\mu_1+sin\mu_1 cos\mu_1}cos(\mu_1\frac{x}{\delta})e^{-\mu_1^2 F_o}\tag{28}$
兩邊取對數(shù),并注意到超越方程的特征根 $\mu_1$ 為Bi數(shù)和位置 $\frac{x}{\delta}$ 的函數(shù)：
$\require{cancel}\\ ln\theta=-(\beta_1^2\frac{a}{\delta^2})\tau+ln[\theta_0\frac{2sin\mu_1}{\mu_1+sin\mu_1 cos\mu_1}cos(\mu_1\frac{x}{\delta})]=-\cancel{(\beta_1^2\frac{a}{\delta^2})}m\tau+\cancel{ln[\theta_0\frac{2sin\mu_1}{\mu_1+sin\mu_1 cos\mu_1}cos(\mu_1\frac{x}{\delta})]}K(Bi,\frac{x}{\delta})$
簡化為 $ln\theta=-m\tau+K(Bi,\frac{x}{\delta})\tag{29}$
給定邊界條件確定了對流換熱系數(shù)h，就給定了Bi數(shù)，以及位置給定，m為常數(shù)，與時(shí)間和位置都無關(guān)，稱之為冷卻率或加熱率。所以采用第一項(xiàng)級數(shù) $\mu_1$ 獲得的溫度與時(shí)間的變化曲線，不同位置下的斜率都相等。
假設(shè)我們給定中心位置，那么過余溫度為 $\theta_m, 那么我們在一個確定的Bi數(shù)下，\frac{\theta_m}{\theta_0}對時(shí)間的斜率就是常數(shù)，參考課本P112頁的諾莫圖$

① $F_o>0.2$ ，過余溫度的對數(shù)隨時(shí)間變化的斜率為常數(shù)，與時(shí)間和位置無關(guān)，后稱之為正規(guī)狀況階段：初始溫度分布的影響已經(jīng)消失

② $F_o<0.2$ 對應(yīng)的非正規(guī)狀況階段:中心處收到初始溫度的影響變化速度比表面上更慢。

除開大平壁以外其他模型也有類似的結(jié)論

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分為

三個階段：①非正規(guī)狀況階段；②正規(guī)狀況階段；③新的穩(wěn)態(tài)

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2.Bi準(zhǔn)則數(shù)對溫度分布的影響:

$Bi=\frac{h\delta}{\lambda}=\frac{\delta/\lambda}{1/h}=\frac{物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻}{物體表面對流換熱熱阻}$

無限大平板在冷卻時(shí)，其第三類邊界條件: $x=\delta,-\lambda \frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=h(t|_{x=\delta}-t_\infty)$ ,將邊界條件進(jìn)行處理

回顧一下溫度分布的曲線,中心處冷卻的慢，邊界上冷卻的快

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$-\frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=\frac{t|_{x=\delta}-t_\infty}{\lambda/h}=\frac{t|_{x=\delta}-t_\infty}{\delta/Bi}\tag{30}$
將邊界條件處理后，其物理意義為邊界處的溫度分布隨x變化的斜率等于溫差除以 $\delta/Bi$

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上圖為定性描述分析，將邊界處的溫度分布的曲線做切線，與 $t_\infty$ 流體溫度相交于 $0'$ ，與橫坐標(biāo)夾角為 $\alpha$ ,因此這條切線的斜率為 $tan\alpha,\alpha+\phi=180°,tan\alpha=-tan\phi$ ，即：

$\frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=tan\alpha=-tan\phi\\ -\frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=tan\phi$

而根據(jù)平面幾何: $tan\phi=\frac{t|_{x=\delta}-t_\infty}{x'}$

$-\frac{\partial t}{\partial x}|_{x=\delta}=\frac{t|_{x=\delta}-t_\infty}{\delta/Bi}\tag{30}$
對比公式(30) $tan\phi$ 等于其右邊，那么我們可以得到
$x'=\frac{\lambda}{h}=\frac{\delta}{Bi}\tag{31}$

思考，為什么所有不同時(shí)間的溫度分布曲線的切線與 $t=t_\infty$ 這條溫度軸交于同一點(diǎn)？

$\because x'$ 與時(shí)間無關(guān)，只與板的半個厚度 $\delta$ 和畢渥數(shù)Bi有關(guān)

$\therefore$ 一旦板的物性確定（ $\lambda$ ），邊界流體的條件確定( $h$ )，那么交點(diǎn)都匯聚一點(diǎn)，也可以認(rèn)為板厚確定，Bi數(shù)確定之后交點(diǎn)就確定.

點(diǎn)O'距離壁面的距離為 $x'=\frac{\lambda}{h}=\frac{\delta}{Bi}$

任何時(shí)刻，壁面溫度分布的切線都通過坐標(biāo)為 $(\delta+\delta/Bi,t_\infty)$ 的O'點(diǎn)——第三類邊界條件的定向點(diǎn)

定性分析

①. $Bi\to\infty$ ,相當(dāng)于h無窮大，從純物理意義上看，對流換熱熱阻趨于0，平壁的表面溫度從冷卻過程一開始就立即降溫（垂直下降,不經(jīng)過空間距離）到流體溫度 $t_\infty$ ，從幾何上看，x'=0,定向點(diǎn)O'就在平壁表面上

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②. $Bi\to 0$ ,物理上分析意味著導(dǎo)熱熱阻非常小,內(nèi)部導(dǎo)熱性能非常好，看成是等溫分布，任意時(shí)刻溫度分布曲線為一水平線；幾何上分析，交點(diǎn)x'在無限遠(yuǎn)處，所以溫度分布必須為水平線，才會有定向點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)的情況。

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③.Bi為中間狀況是，交點(diǎn)在 $(-\delta-\delta/Bi,t_\infty，\delta+\delta/Bi,t_\infty)$ 兩點(diǎn)，溫度分布為如下:

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一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程——分離變量法

掌握從非穩(wěn)態(tài)過渡到穩(wěn)態(tài)的感性認(rèn)識

溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律的函數(shù)原型：

導(dǎo)熱微分方程的一般形式(第二章推導(dǎo)過)

求解方法有三種，分析解、數(shù)值解、實(shí)驗(yàn)解

一.下面為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，有限厚度無限大平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解析解（分離變量法）

1.物理模型為厚度的平板，初始溫度分布為，放入的流體中，求溫度分布

該物理模型簡化為一維問題，非穩(wěn)態(tài)，常物性（為常數(shù)），兩側(cè)溫度分布對稱，中心為原點(diǎn)，無內(nèi)熱源，邊界條件為在傳熱系數(shù)為的流體中的第三類邊界條件,微分方程簡化為：

①時(shí)間條件為初始條件,該條件只有瞬態(tài)條件才有，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)沒有的初始條件

②溫度分布對稱,中心溫度最大或者最低，因此中心為絕熱邊界條件，外邊界條件以第三類邊界條件（舉例）:

方程組引入過余溫度后，轉(zhuǎn)為為如下方程組:

2.分離變量法,假設(shè)

分析上述公式，左邊是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，右邊是關(guān)于空間的函數(shù), 秒=米？

要讓秒=米是不可能的，等式兩邊必須同等于一常數(shù)

轉(zhuǎn)換為兩個獨(dú)立方程，如下

解常微分方程,第一個方程很好解,,

分析以下上面的數(shù)據(jù),為熱擴(kuò)散率，大于0，時(shí)間恒為正，如果D為正數(shù)，那么，而實(shí)際情況是時(shí)間越長溫度越接近流體溫度，過余溫度接近0，因此D一定為負(fù)數(shù)

設(shè)，那么方程組(7)變化為如下：

對于來說，解微分方程如下為

對于關(guān)于x位置的函數(shù)，實(shí)際上為,是二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值的線性組合，這個解在高數(shù)(下)中查到結(jié)果

由于之前分離變量的假設(shè)為,那么我們把就得到了過余溫度關(guān)于函數(shù)的一般解形式:

其中未知系數(shù)c1,c2,c3的換為新的未知數(shù)

3.邊界條件及初始條件確定未知系數(shù)得到定解

（β是我們引入的） 三個未知數(shù)，三個定解條件。

方程組中有一個初始條件，二個定解條件。三個方程決定三個未知數(shù)，此方程有定解

先看x=0處的絕熱邊界條件 ,將通解形式(12)對x求偏導(dǎo)帶入，如下：

x=0帶入，求得（指數(shù)函數(shù)永遠(yuǎn)不為0）,而,那么只有B=0。

一般解簡化為如下，1個定解條件解得一個B=0

我們學(xué)過了Bi數(shù)的定義，為內(nèi)阻：外阻, ,將等式（16）右邊分子分母同時(shí)乘以湊出一個Bi數(shù)

（16）轉(zhuǎn)換為,換元

這個方程為超越方程，左邊是tan x 三角函數(shù)，右邊是1/x 函數(shù)，并且tan x為周期函數(shù)，兩個曲線有無窮個交點(diǎn)，就有無窮個解.

那么，這個超越方程的解集合稱之為特征方程，無窮多個特征解為

這些特征解的無窮級數(shù)求和，組成新的解形式,一般情況下用6-8項(xiàng)就夠了，下面我們簡單分析一下。

1.當(dāng)

2.當(dāng)

3.在給定Bi數(shù)的情況下，對應(yīng)每一個特征值，溫度分布的特解分別為如下：

反直覺之——有多個溫度分布的解析式:

知識點(diǎn)補(bǔ)充：導(dǎo)熱微分方程為線性方程

溫度對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)式1，溫度對位置x的二階導(dǎo)數(shù)為，都與溫度無關(guān)

該導(dǎo)熱問題的通解為各個特解的線性求和疊加：導(dǎo)熱微分方程式和邊界條件都是線性的——溫度和溫度的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都與溫度無關(guān)。

線性疊加的組合得到一個與初始溫度分布相等的表達(dá)式：

公式（19）中為已知數(shù)，為未知數(shù)，帶入初始條件求解得到即可得到唯一特解

A_n還是不知道，級數(shù)方程沒有復(fù)變的基礎(chǔ)下不好解，下面還是利用特征函數(shù)的特性-正交性來解決,當(dāng)下標(biāo)不等（非對角元乘積的積分為0）

正交性問題來源于常微分方程的施圖姆-劉維爾理論 $

這里不展開，二階常微分方程為亥姆霍茲方程，利用該結(jié)論即可。施圖姆-劉維爾理論 (Sturm–Liouville theory ) - 知乎 (zhihu.com)

需要利用的結(jié)論是

方程(20)兩邊同時(shí)乘以,并在范圍內(nèi)積分,這個m可以等于也可以不等于n

那么公式中無窮求和只剩下 m等于n這一項(xiàng)，去掉級數(shù)符號

這個積分就好解了，可以求得等于兩個積分相除

最后將的表達(dá)式帶入公式（19）中

得到

唯一決定解析解的公式已經(jīng)推導(dǎo)完畢，我們進(jìn)行一下變形然后進(jìn)行對時(shí)間和位置變化的趨勢行為的分析

已知畢沃準(zhǔn)則數(shù),為內(nèi)阻與外阻之比；傅里葉準(zhǔn)則數(shù)，L為特征長度，在的平板中,,為無量綱時(shí)間

將特解(24)轉(zhuǎn)換為這兩個準(zhǔn)則數(shù)的自變量的形式,利用

在（25）中，為Bi數(shù)相關(guān)，為位置相關(guān)，為時(shí)間相關(guān)，因此該解析式包含了①內(nèi)部導(dǎo)熱與外部條件的因素②位置自變量③時(shí)間自變量這三個因變量

有了溫度分布，根據(jù)計(jì)算換熱量

二、準(zhǔn)則數(shù)對溫度分布的影響

1.數(shù)對溫度分布的影響

時(shí)，無量綱溫度表達(dá)式取無窮級數(shù)第一項(xiàng),有一個根即可

①，過余溫度的對數(shù)隨時(shí)間變化的斜率為常數(shù)，與時(shí)間和位置無關(guān)，后稱之為正規(guī)狀況階段：初始溫度分布的影響已經(jīng)消失

②對應(yīng)的非正規(guī)狀況階段:中心處收到初始溫度的影響變化速度比表面上更慢。

除開大平壁以外其他模型也有類似的結(jié)論

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分為

2.Bi準(zhǔn)則數(shù)對溫度分布的影響:

回顧一下溫度分布的曲線,中心處冷卻的慢，邊界上冷卻的快

上圖為定性描述分析，將邊界處的溫度分布的曲線做切線，與流體溫度相交于，與橫坐標(biāo)夾角為,因此這條切線的斜率為，即：

而根據(jù)平面幾何:

思考，為什么所有不同時(shí)間的溫度分布曲線的切線與這條溫度軸交于同一點(diǎn)？

與時(shí)間無關(guān)，只與板的半個厚度和畢渥數(shù)Bi有關(guān)

一旦板的物性確定（），邊界流體的條件確定()，那么交點(diǎn)都匯聚一點(diǎn)，也可以認(rèn)為板厚確定，Bi數(shù)確定之后交點(diǎn)就確定.

點(diǎn)O'距離壁面的距離為

任何時(shí)刻，壁面溫度分布的切線都通過坐標(biāo)為的O'點(diǎn)——第三類邊界條件的定向點(diǎn)

定性分析

①.,相當(dāng)于h無窮大，從純物理意義上看，對流換熱熱阻趨于0，平壁的表面溫度從冷卻過程一開始就立即降溫（垂直下降,不經(jīng)過空間距離）到流體溫度，從幾何上看，x'=0,定向點(diǎn)O'就在平壁表面上

③.Bi為中間狀況是，交點(diǎn)在兩點(diǎn)，溫度分布為如下:

④.當(dāng)Bi<0.1的時(shí)候，工程上就可以把他作為接近極限的判據(jù)，中心溫度與表面溫度之差<5%,接近均勻一致，采用集中參數(shù)法（集總參數(shù)法），當(dāng)做0維物體處理.

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求解方法有三種，分析解、數(shù)值解、實(shí)驗(yàn)解

一.下面為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，有限厚度無限大平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解析解（分離變量法）

1.物理模型為 $2\delta$ 厚度的平板， $\tau=0$ 初始溫度分布為 $t_0(x)$ ，放入 $t_\infty$ 的流體中，求溫度分布 $t(x,\tau)$

①時(shí)間條件為初始條件,該條件只有瞬態(tài)條件才有，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)沒有 $\tau=0$ 的初始條件

②溫度分布對稱,中心溫度最大或者最低，因此中心為絕熱邊界條件，外邊界條件以第三類邊界條件（舉例）:

方程組引入過余溫度后， $(2)(3)$ 轉(zhuǎn)為為如下方程組:

2.分離變量法,假設(shè) $\theta=f(x，\tau)=X(x)\cdot\phi(\tau)$

分析上述公式，左邊是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，右邊是關(guān)于空間的函數(shù), 秒=米？

要讓秒=米是不可能的，等式兩邊必須同等于一常數(shù)

解常微分方程, $(7)的$ 第一個方程很好解, $\frac{1}{\phi}\frac{d \phi}{d \tau}=aD$ , $ln\phi=D+c_1$

設(shè) $D=-\beta^2$ ，那么方程組(7)變化為如下：

對于 $關(guān)于時(shí)間\tau的函數(shù)\phi$ 來說，解微分方程如下為

對于關(guān)于x位置的函數(shù)，實(shí)際上為 $X^{''}+\beta^2X=0$ ,是二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值的線性組合，這個解在高數(shù)(下)中查到結(jié)果

由于之前分離變量的假設(shè)為 $\theta(x,\tau)=X(x)\cdot\phi(\tau)$ ,那么我們把 $(10)\cdot (11)$ 就得到了過余溫度關(guān)于 $x,\tau$ 函數(shù)的一般解形式:

其中未知系數(shù)c1,c2,c3的換為新的未知數(shù) $A=c_1\cdot c_2,B=c_1\cdot c_3$

$A，B，\beta$ （β是我們引入的）三個未知數(shù)，三個定解條件。

方程組 $(4)$ 中有一個初始條件，二個定解條件。三個方程決定三個未知數(shù)，此方程有定解

先看x=0處的絕熱邊界條件 $x=0,\frac{\partial \theta}{\partial x}=0$ ,將通解形式(12)對x求偏導(dǎo)帶入，如下：

x=0帶入，求得 $B\beta\cdot e^{-a\beta^2\tau}=0$ （指數(shù)函數(shù)永遠(yuǎn)不為0）,而 $\beta \neq 0$ ,那么只有B=0。

一般解簡化為如下，1個定解條件解得一個B=0

我們學(xué)過了Bi數(shù)的定義，為內(nèi)阻：外阻, $Bi=\frac{\delta}{\lambda}/\frac{1}{h}=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,將等式（16）右邊分子分母同時(shí)乘以 $\delta$ 湊出一個Bi數(shù)

（16）轉(zhuǎn)換為 $tan(\beta \delta)=\frac{Bi}{\beta\delta}$ ,換元 $\mu=\beta\delta$

這個方程為超越方程，左邊是tan x 三角函數(shù)，右邊是1/x 函數(shù)，并且tan x為周期函數(shù)，兩個曲線有無窮個交點(diǎn)，就有無窮個解.

那么，這個超越方程的解集合稱之為特征方程，無窮多個特征解為 $\mu_1,\mu_2……\mu_n$

這些特征解的無窮級數(shù)求和，組成新的解形式,一般情況下用6-8項(xiàng)就夠了，下面我們簡單分析一下。

1.當(dāng) $Bi\to\infty,也就是函數(shù)tan\mu\to\infty，特征值\mu_n為\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi,\frac{5}{2}\pi……$

2.當(dāng) $Bi\to 0,tan\mu\to 0,，特征值\mu_n為0,\pi,2\pi……$

3.在給定Bi數(shù)的情況下，對應(yīng)每一個特征值 $\mu_n=\beta_n\delta\to\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$ ，溫度分布的特解分別為如下：

知識點(diǎn)補(bǔ)充：導(dǎo)熱微分方程為線性方程 $\frac{\partial \theta}{\partial \tau}=a\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$

溫度對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)式1，溫度對位置x的二階導(dǎo)數(shù)為 $a$ ，都與溫度無關(guān)

該導(dǎo)熱問題的通解為各個特解的線性求和疊加：導(dǎo)熱微分方程式和邊界條件都是線性的——溫度和溫度的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都與溫度無關(guān)。

公式（19）中 $\beta_n$ 為已知數(shù)， $A_n$ 為未知數(shù)，帶入初始條件 $\tau=0,\theta=\theta_0=t_0-t_\infty$ 求解得到 $A_n$ 即可得到唯一特解

A_n還是不知道，級數(shù)方程沒有復(fù)變的基礎(chǔ)下不好解，下面還是利用特征函數(shù)的特性-正交性來解決,當(dāng)下標(biāo)不等（非對角元乘積的積分為0）

這里不展開，二階常微分方程為亥姆霍茲方程，利用該結(jié)論即可。施圖姆-劉維爾理論 (Sturm–Liouville theory ) - 知乎 (zhihu.com)

方程(20)兩邊同時(shí)乘以 $cos(\mu_m \frac{x}{\delta})$ ,并在 $0\leq x\leq \delta$ 范圍內(nèi)積分,這個m可以等于也可以不等于n

這個積分就好解了，可以求得 $A_n$ 等于兩個積分相除

最后將 $A_n$ 的表達(dá)式帶入公式（19）中

唯一決定解析解的公式已經(jīng)推導(dǎo)完畢，我們進(jìn)行一下變形然后進(jìn)行對時(shí)間和位置變化的趨勢行為的分析

已知畢沃準(zhǔn)則數(shù) $Bi=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,為內(nèi)阻與外阻之比；傅里葉準(zhǔn)則數(shù) $F_o=\frac{a\tau}{L^2}$ ，L為特征長度，在 $2\delta$ 的平板中, $L=\delta，F(xiàn)_o=\frac{a\tau}{\delta^2}$ ,為無量綱時(shí)間

將特解(24)轉(zhuǎn)換為這兩個準(zhǔn)則數(shù)的自變量的形式,利用 $\mu=\beta\delta;\beta_n=\frac{\mu_n}{\delta}$

在（25）中， $\mu$ 為Bi數(shù)相關(guān)， $\frac{x}{\delta}$ 為位置相關(guān)， $F_0$ 為時(shí)間相關(guān)，因此該解析式包含了①內(nèi)部導(dǎo)熱與外部條件的因素②位置自變量③時(shí)間自變量這三個因變量

有了溫度分布，根據(jù) $Q=cm\Delta t$ 計(jì)算換熱量

1. $F_o$ 數(shù)對溫度分布的影響

$F_o=a\tau/\delta^2>0.2$ 時(shí)，無量綱溫度表達(dá)式取無窮級數(shù)第一項(xiàng),有一個根 $\mu_1$ 即可

① $F_o>0.2$ ，過余溫度的對數(shù)隨時(shí)間變化的斜率為常數(shù)，與時(shí)間和位置無關(guān)，后稱之為正規(guī)狀況階段：初始溫度分布的影響已經(jīng)消失

② $F_o<0.2$ 對應(yīng)的非正規(guī)狀況階段:中心處收到初始溫度的影響變化速度比表面上更慢。

回顧一下溫度分布的曲線,中心處冷卻的慢，邊界上冷卻的快

上圖為定性描述分析，將邊界處的溫度分布的曲線做切線，與 $t_\infty$ 流體溫度相交于 $0'$ ，與橫坐標(biāo)夾角為 $\alpha$ ,因此這條切線的斜率為 $tan\alpha,\alpha+\phi=180°,tan\alpha=-tan\phi$ ，即：

而根據(jù)平面幾何: $tan\phi=\frac{t|_{x=\delta}-t_\infty}{x'}$

思考，為什么所有不同時(shí)間的溫度分布曲線的切線與 $t=t_\infty$ 這條溫度軸交于同一點(diǎn)？

$\because x'$ 與時(shí)間無關(guān)，只與板的半個厚度 $\delta$ 和畢渥數(shù)Bi有關(guān)

$\therefore$ 一旦板的物性確定（ $\lambda$ ），邊界流體的條件確定( $h$ )，那么交點(diǎn)都匯聚一點(diǎn)，也可以認(rèn)為板厚確定，Bi數(shù)確定之后交點(diǎn)就確定.

點(diǎn)O'距離壁面的距離為 $x'=\frac{\lambda}{h}=\frac{\delta}{Bi}$

任何時(shí)刻，壁面溫度分布的切線都通過坐標(biāo)為 $(\delta+\delta/Bi,t_\infty)$ 的O'點(diǎn)——第三類邊界條件的定向點(diǎn)

③.Bi為中間狀況是，交點(diǎn)在 $(-\delta-\delta/Bi,t_\infty，\delta+\delta/Bi,t_\infty)$ 兩點(diǎn)，溫度分布為如下:

④.當(dāng)Bi<0.1的時(shí)候，工程上就可以把他作為接近極限的判據(jù)，中心溫度與表面溫度之差<5%,接近均勻一致，采用集中參數(shù)法（集總參數(shù)法），當(dāng)做0維物體處理.