3月14日是“派節(jié)”，你吃派了嗎？？
珊爸很難想象3.14成了一個(gè)大眾化的節(jié)日，因?yàn)檫@里面的“數(shù)學(xué)?！崩涞竭B我自己都笑不出來(lái)。但是在“亞節(jié)日”的文化下，它就這么流行起來(lái)了。
其實(shí)容我說(shuō)句實(shí)話，無(wú)論是成人還是學(xué)生，有90%都不能正確理解π的涵義。
而這折射出來(lái)的，校內(nèi)課程要求學(xué)生生硬理解和記憶數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題，是毀掉大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和對(duì)數(shù)學(xué)興趣的罪魁禍?zhǔn)住?/p>
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各位家長(zhǎng)，請(qǐng)各位回想一下，關(guān)于π的概念，你腦海中還剩下什么？如果孩子已經(jīng)讀到小學(xué)高年級(jí)，也可以問(wèn)問(wèn)他們，π是什么？
第一個(gè)反應(yīng)，很可能是，π=3.14，它是一個(gè)數(shù)字。
對(duì)于小學(xué)優(yōu)等生，能知道π其實(shí)很長(zhǎng)很長(zhǎng)，能記下來(lái)π=3.1415926……這就很不錯(cuò)了。
第二個(gè)想法，應(yīng)該是它跟圓有關(guān)系。圓周長(zhǎng)公式：L=2πr=πd。
接著學(xué)下去，還有圓面積公式，以及圓柱體、圓錐體、球體等等，它們的面積體積公式，都離不開(kāi)π。
“然后呢？”
“還需要什么然后，這些公式如果都能夠記住，就可以用到初中甚至高中畢業(yè)了啊?！?/p>
珊爸在教小奧的《圓》這一章時(shí)，問(wèn)過(guò)學(xué)生們：
為什么π不是3也不是4，為什么圓周長(zhǎng)是2πr不是3πr？
學(xué)生們面面相覷：老師就是這么教的，我就是這么背的，哪知道那么多。
這不能怪他們，因?yàn)樾W(xué)的老師在講這部分內(nèi)容時(shí)，切切實(shí)實(shí)把該教的教完了，而不需要的則一句沒(méi)教。
如果光靠這些知識(shí)，也能勉強(qiáng)完成學(xué)校普通題目的考試。
但這樣的教出來(lái)的學(xué)生，一來(lái)會(huì)在畢業(yè)后迅速忘掉所有這些知識(shí)；二來(lái)不會(huì)體會(huì)到任何數(shù)學(xué)之美，也就不會(huì)產(chǎn)生興趣；三來(lái)沒(méi)有學(xué)到任何數(shù)學(xué)思維，也沒(méi)法用數(shù)學(xué)思維解決其他問(wèn)題。
那珊爸是怎么教“π是什么”的呢？
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古代的數(shù)學(xué)家很早就開(kāi)始研究各種形狀，其中三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓形是他們第一批研究對(duì)象。
生活中充滿了各種的圓，例如天上的太陽(yáng)、月亮、長(zhǎng)的標(biāo)致的樹(shù)干、人的眼球等等。
數(shù)學(xué)家們就把這種圖形拿出來(lái)統(tǒng)一進(jìn)行研究——第一步就是起個(gè)名字，就叫圓吧。
第二步就是研究圓的特點(diǎn)：
1.它沒(méi)有一根直線，全身都是曲線；
2.它可以滾來(lái)滾去；
3.它任何一個(gè)方向的高是相等的（所以可以用來(lái)當(dāng)輪子或者軸承滾珠）；
4.它正中間有一個(gè)點(diǎn)，圓上任何一點(diǎn)到這個(gè)點(diǎn)的距離相等。
經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，1-3這三個(gè)特點(diǎn)都不靠譜，它是圓的特點(diǎn)，卻不僅僅屬于圓。
例如第三個(gè)，這種特性定義的圖形叫定寬曲線。但是定寬曲線還有很多種，例如下面就是另外兩種。
事實(shí)上，只有第4種最能代表圓的特點(diǎn)，于是它就成了“圓”的“定義”：
以上這部分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象、歸納的思想。
有了定義，下一步就是找出圓的其他屬性了。
（假定這時(shí)候?qū)W生已經(jīng)知道周長(zhǎng)的定義，也學(xué)了三角形、長(zhǎng)方形等的周長(zhǎng)）
例如圓的周長(zhǎng)是多少呢？
但是圓是由曲線組成的，沒(méi)法直接相加，所以數(shù)學(xué)家們第一個(gè)想法是，畫(huà)出幾個(gè)圓，然后用繩子量一下周長(zhǎng)是多少。
量完以后就有了巨大的發(fā)現(xiàn)：圓形越大，周長(zhǎng)就越大！
這種叫做定性研究，在這個(gè)問(wèn)題顯然是毫無(wú)價(jià)值。那我們?cè)撛趺囱芯磕兀?/p>
通過(guò)定義，我們發(fā)現(xiàn)，圓形可以由一條線段的長(zhǎng)度來(lái)唯一決定它的形狀。那就是下圖中的紅色線段。
這條線段，我們起個(gè)名字叫做直徑。也就是說(shuō)，圓多大，只取決于它的直徑。和它畫(huà)在地上還是墻上，用粉筆還是水彩筆畫(huà)，畫(huà)的時(shí)候空氣溫度和心情都沒(méi)有關(guān)系！
所以數(shù)學(xué)家們找到了研究方向：研究周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系。
這里面用到了演繹法和實(shí)證研究的思想，而確定變量是實(shí)證研究的基礎(chǔ)。
（珊爸看到太多的文章煞有介事地研究“圓的周長(zhǎng)”和“今天溫度”的關(guān)系，可見(jiàn)數(shù)學(xué)教育任重道遠(yuǎn)）
經(jīng)過(guò)畫(huà)了N個(gè)圓形和量它們的周長(zhǎng)，數(shù)學(xué)家驚訝地發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)和直徑成正比例關(guān)系！
也就是說(shuō)，直徑變成2倍，周長(zhǎng)也變成2倍；直徑小一半，周長(zhǎng)也小一半。
那么周長(zhǎng)L和直徑d，就會(huì)有以下關(guān)系：
L=？·d
只要找到這個(gè)系數(shù)，以后算周長(zhǎng)就簡(jiǎn)單了。于是數(shù)學(xué)家們通過(guò)XXXX方法（此處省略100種方法的分析，你們理解為用無(wú)限精確的繩子去量就好了）算出了？代表的數(shù)字大小。
可惜，創(chuàng)造世界的上帝跟我們開(kāi)了個(gè)玩笑，這個(gè)？它不是整數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，甚至不是根式。
它只有具體數(shù)值，等于3.1415926………………無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。
這就很麻煩了，我們只能給這個(gè)數(shù)起一個(gè)特殊的名字，挑來(lái)挑去選了希臘字母中的π，來(lái)代表它。
從此以后，這個(gè)本來(lái)平平無(wú)奇的希臘字母被賦予了新的含義：它是每一個(gè)圓形的周長(zhǎng)和它的直徑之比，數(shù)值上約等于3.14。
至此，珊爸想要向大家表達(dá)的是：
L=πd不是定理，而是π的定義！
L=πd不是定理，而是π的定義！
L=πd不是定理，而是π的定義！
定理和定義差別大嗎？非常非常大。也許作為小學(xué)生不需要去明白這個(gè)中差別，但是它卻能影響一個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)世界搭建方式的理解。
費(fèi)了老勁以后，珊爸終于講完了π是什么。
“那π是什么呢？”
“3.14”
好吧，我們?cè)賮?lái)看看π還有什么用。
知道了圓形周長(zhǎng)怎么求，我們來(lái)看看圓形面積怎么求：
“我知道，是S=π·r^2”
“真棒，為什么呢？”
“老師說(shuō)的?！?/p>
實(shí)際上，圓形的面積公式，則是定理了。
數(shù)學(xué)最偉大的地方在于，它用少量的定義，推導(dǎo)出其他所有的定理。例如π在周長(zhǎng)中進(jìn)行了定義，它就可以輕易地用在眾多與圓相關(guān)的其他定理之中。
想要理解這個(gè)定理，可以看下面這幅圖。
如果我們把圓平均切開(kāi)成很多小份，再按這個(gè)方法重新組合起來(lái)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：
圓的面積和右邊新圖像的面積一樣，而右邊很接近一個(gè)長(zhǎng)方形。如果我們切得更細(xì)，例如64份，1000份，100000份，最后和長(zhǎng)方形會(huì)無(wú)限接近。
切得越細(xì)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬越接近這兩個(gè)數(shù)：圓形周長(zhǎng)的一半，以及圓半徑。
所以，圓面積等于（無(wú)限接近于）S=長(zhǎng)乘以寬=0.5π·d·r=π·r^2
這個(gè)方法，用到了微積分的思想。
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當(dāng)然，如果我是小學(xué)老師，很可能也會(huì)選擇把兩個(gè)公式抄在黑板上。
然后，讓大家算、算、算。算周長(zhǎng)、算面積、反過(guò)來(lái)求直徑、求半徑。
但是，我們的孩子，值得學(xué)一些更美的數(shù)學(xué)。
