數(shù)學(xué)公式測(cè)試（測(cè)試帖）

三重積分

三重積分的積分區(qū)域
\Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leqslant z \leqslant h,x^2+y^2\leqslant h \}
設(shè)被積函數(shù)為\phi(x,y)=x^2+y^2
于是所求的三重積分M=\iiint_{\Omega}\phi(x,y) \textrmu0z1t8osv為
\begin{align} M&=\iiint_{\Omega}\phi(x,y)\textrmu0z1t8osv\\ &=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\phi(x,y) \textrmu0z1t8osx\textrmu0z1t8osy\cdot \int_{x^2+y^2}^h \textrmu0z1t8osz\\ &=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\left(h-(x^2+y^2)\right)\cdot (x^2+y^2) \textrmu0z1t8osx\textrmu0z1t8osy \end{align}
由于被積函數(shù)出現(xiàn)了x^2+y^2項(xiàng)，所以考慮極坐標(biāo)求解二重積分更為方便，積分區(qū)域\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant h\}轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)區(qū)域\{(r,\theta)|0\leqslant \theta \leqslant 2\pi,0\leqslant r \leqslant \sqrt{h}\}，并且x^2+y^2=r^2
從而
\begin{align} M&=\iint_{x^2+y^2\leqslant h}\left(h-(x^2+y^2)\right)\cdot (x^2+y^2) \textrmu0z1t8osx\textrmu0z1t8osy\\ &=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{h}}\left(h-r\right)\cdot r^2 \textrmu0z1t8osr\\ &=2\pi\cdot \int_0^{\sqrt{h}}\left(h-r\right)\cdot r^2 \textrmu0z1t8osr \end{align}

偏導(dǎo)數(shù)

z=f(x,2x+y,xy)
則
\begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} &=f_1\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(x)]+f_2\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(2x+y)]+f_3\cdot [\frac{\partial}{\partial x}(xy)]\\ &=f_1+2\cdot f_2+y\cdot f_3 \end{align}
從而
\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\\ &= \frac{\partial}{\partial y}\left(f_1+2\cdot f_2+y\cdot f_3 \right) \\ &= \frac{\partial f_1}{\partial y}+2 \frac{\partial f_2}{\partial y}+f_3+y \frac{\partial f_3}{\partial y} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_1}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_1(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{12}+x\cdot f_{13} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_2}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_2(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{22}+x\cdot f_{23} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial f_3}{\partial y} &=\frac{\partial}{\partial y}\left[f_3(x,2x+y,xy) \right]\\ &=f_{32}+x\cdot f_{33} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial f_1}{\partial y}+2 \frac{\partial f_2}{\partial y}+f_3+y \frac{\partial f_3}{\partial y}\\ &=(f_{12}+x\cdot f_{13})+2 \cdot (f_{22}+x\cdot f_{23})+f_3+y\cdot (f_{32}+x\cdot f_{33})\\ &= f_{12}+x\cdot f_{13}+2\cdot f_{22} + (2x+y)\cdot f_{23}+xy\cdot f_{33}+f_3 \end{align}

\begin{align} \frac{\partial z^2}{\partial ^2 y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\\ &= \frac{\partial}{\partial y}\left(f_2+x\cdot f_3 \right) \\ &= \frac{\partial f_2}{\partial y}+x\cdot \frac{\partial f_3}{\partial y} \\ &= f_{22}+x\cdot f_{23}+x\cdot (f_{32}+x\cdot f_{33}) \\ &= f_{22}+2x\cdot f_{23}+x^2\cdot f_{33} \end{align}

行列式

-10\cdot \begin{vmatrix} 1&1&1&\\ 0&0&-4\\ 0&-4&0\\ \end{vmatrix}=-10\cdot \begin{vmatrix} 0&-4\\ -4&0\\ \end{vmatrix}=-10\cdot (-16)=160

微分方程

已知f(x)\int_0^xf(t)dt=1\quad(x\neq0)，求f(x)的一般表達(dá)式。

令y=\int_0^xf(t)dt，則f(x)=\frac{dy}{dx} ,所以原方程變?yōu)?br> \frac{dy}{dx}\cdot y=1
變形為
ydy=dx
對(duì)兩邊進(jìn)行積分，有
\int ydy=\int dx
解得y^2=2x+C \quad \Rightarrow \quad y=\pm\sqrt{2x+C}
所以
f(x)=y'=\frac{1}{y}=\pm\frac{1}{\sqrt{2x+C}}
因?yàn)楫?dāng)x\rightarrow 0時(shí)\int _0^x f(t)dt \rightarrow 0，則f(x)\rightarrow \infty，否則二者相乘不可能恒為1，即
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\pm\frac{1}{\sqrt{2x+C}}=\pm \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{C}}=\infty
則必然有C=0
于是
f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2x}}

一維正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X服從一個(gè)位置參數(shù)為\mu、尺度參數(shù)為\sigma的概率分布，且其概率密度函數(shù)為

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}

則這個(gè)隨機(jī)變量就稱為正態(tài)隨機(jī)變量，正態(tài)隨機(jī)變量服從的分布就稱為**正態(tài)分布，記作 X\sim N(\mu,\sigma^2)，讀作X服從N(\mu,\sigma^2)，或X服從正態(tài)分布。

\mu維隨機(jī)向量具有類似的概率規(guī)律時(shí)，稱此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布。多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì)，例如，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，它經(jīng)任何線性變換得到的隨機(jī)向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布。

雅克比矩陣

在向量分析中，雅可比矩陣是函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。

在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比行列式表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個(gè)代數(shù)群，曲線可以嵌入其中。

它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家卡爾·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以發(fā)音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。

假設(shè)某函數(shù)從\mathbb{R}^n映到\mathbb{R}^m，其雅可比矩陣是從\mathbb{R}^n到\mathbb{R}^m的線性映射，其重要意義在于它表現(xiàn)了一個(gè)多變數(shù)向量函數(shù)的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于單變數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 假設(shè)F:\mathbb{R}_n\rightarrow \mathbb{R}_m是一個(gè)從n維歐氏空間映射到到m維歐氏空間的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)由m個(gè)實(shí)函數(shù)組成：
y_1(x_1,x_2,\cdots,x_n),\cdots,y_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)
這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以組成一個(gè)m行n列的矩陣，這個(gè)矩陣就是所謂的雅可比矩陣：
A=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\dots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{bmatrix}
此矩陣用符號(hào)表示為：J_F(x_1,\cdots,x_n)，或者
\frac{\partial (y_1,\cdots,y_m)}{\partial ((x_1,\cdots,x_n)}
y_i(i=1,\cdots,m)這個(gè)矩陣的第 i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置表示的。

如果p是\mathbb{R}^n中的一點(diǎn)，F在p點(diǎn)可微分，根據(jù)高等微積分， J_f(p)是在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。在此情況下，J_f(p)這個(gè)線性映射即F在點(diǎn)p附近的最優(yōu)線性逼近，也就是說當(dāng)x足夠靠近點(diǎn)p時(shí)，我們有
F(x) \approx F(p)+J_F(p)\dot(x-p)

麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組（英語：Maxwell's equations），是英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個(gè)方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時(shí)變電場(chǎng)怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律、描述時(shí)變磁場(chǎng)如何產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第感應(yīng)定律。

從麥克斯韋方程組，可以推論出電磁波在真空中以光速傳播，并進(jìn)而做出光是電磁波的猜想。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。從這些基礎(chǔ)方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技。

麥克斯韋在1865年提出的最初形式的方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。他在1873年嘗試用四元數(shù)來表達(dá)，但未成功?，F(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達(dá)的。

\oint_l H\cdot\textrmu0z1t8osx=\int_s J\cdot\textrmu0z1t8oss+\int_s\frac{\partial D}{\partial t}\cdot\textrmu0z1t8oss
\nabla\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}

線性方程

解方程
\bf A \cdot x=B
其中
\bf{A}=\begin{bmatrix}1&1\\ 2&3 \end{bmatrix} \qquad \bf{x}=\begin{bmatrix}y_{zi}\\y_{zs} \end{bmatrix}
\bf{B}=\begin{bmatrix}\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\\ -2\textrm{e}^{-t}+3\cos{\pi t}\end{bmatrix}
則因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctextrm%7Bdet%7D(%7B%5Cbf%7BA%7D%7D)%3D1" alt="\textrm{det}({\bf{A}})=1" mathimg="1">，從而
{\bf A}^{-1}=\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2&1 \end{bmatrix}
于是
{\bf x=A^{-1}\cdot B}=\begin{bmatrix}3 & -1\\ -2&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\\ -2\textrm{e}^{-t}+3\cos{\pi t}\end{bmatrix}

得到
{\bf x}= \begin{bmatrix} 5 \textrm{e}^{-t} \\ -4\textrm{e}^{-t}+\cos{\pi t}\end{bmatrix}={\bf p_1}\cdot\textrm{e}^{-t}+{\bf p_2}\cdot \cos{\pi t}

其中 {\bf p_1}=[5 , -4]^T，{\bf p_2}=[0,1]^T

積分

G(\tau)=\iint_{L} \left( \sum_{i=-k}^{J(k,L(p_0))}{\bf h}\cdot q(i,{\bf s},\tau)\right) \cdot \textrmu0z1t8os{\bf s}
f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\textrmu0z1t8os\tau

二維正態(tài)分布

(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)
概率密度：
f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\left\{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}}

\mathscr{L}[\delta{(t)}]

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