大尺度的美
廣義相對論的數(shù)學(xué)非常難。連愛因斯坦都覺得自己的數(shù)學(xué)不夠用，后來是在數(shù)學(xué)家的幫助下使用微分幾何的知識，才得到最終的引力場方程。我們不會講任何數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，但是既然說到了廣義相對論，我想你應(yīng)該看一眼引力場方程的樣子——
然后你可以把它跟中學(xué)學(xué)過的牛頓引力公式做個對比 ——
我給你打個直觀的比方。牛頓引力公式就好像是一個完美的球體。而廣義相對論，就好像是一頭美麗的鯨魚。
你不見得非得知道鯨魚身上每一處結(jié)構(gòu)的精確尺寸，你沒必要學(xué)會怎么畫鯨魚，但是你可以欣賞鯨魚的美。
為了理解廣義相對論，我們先說一點(diǎn)無比簡單、但是不會在高考中出現(xiàn)的幾何學(xué)。
1.彎曲的幾何
這個關(guān)鍵概念是時空可以是彎曲的。什么叫“時空”的彎曲呢？不用數(shù)學(xué)語言很難精確描述，但是我們可以做個類比。
一張放在桌子上很平很平的紙，可以代表一個二維平面。只要它足夠平，我們在初中學(xué)的平面幾何知識就都好使。我們清楚地知道什么叫直線。兩條平行線永遠(yuǎn)都不會相交，三角形內(nèi)角之和等于180度。
好，那現(xiàn)在給你一個地球儀，請問這個地球儀的表面，是二維的，還是三維的呢？
你直觀的感覺它可能是三維的，因?yàn)橹挥腥S空間里才有地球儀……但是數(shù)學(xué)家可不這么看。我們考慮的僅僅是地球儀的表面。一只螞蟻在上面爬，它永遠(yuǎn)也不能離開這個表面。螞蟻只需要一個經(jīng)度、一個緯度，兩個數(shù)字就能描寫地球儀上的位置 — 所以球的表面，其實(shí)是一個二維的平面。
它只是不那么“平”而已。它是一個彎曲的平面。
我們生活的這個世界的空間是三維的，如果你把時間也算成一維，那就總共是四維時空。廣義相對論并不要求有什么更高的維度，廣義相對論只是說，這個四維時空，可以是彎曲的。你可能聽說過“超弦理論”，說總共有多達(dá)11維，其實(shí)那些多出來的維都是蜷縮著的，不能算數(shù)。
有些科幻小說作家認(rèn)為四維時空不過癮，非得給宇宙增加幾維，還要搞“降維打擊”，那些沒什么意思。物理學(xué)家早就知道，如果空間大于三維，其中行星繞著恒星公轉(zhuǎn)的軌道就會是不穩(wěn)定的，也就無法演化出智慧生物來。
怎么理解四維時空的彎曲呢？我們這里只能用彎曲的二維平面做一個類比，但是請記住，彎曲的不僅僅是空間，也包括時間。
哪怕是彎曲的平面上，數(shù)學(xué)家也可以談?wù)摗爸本€” —— 當(dāng)然沒有完全直的直線，但是可以有“最直的線”。比如地球表面是個球面，你從北京去紐約，雖然你不可能弄個地底下的隧道走絕對的直線去，但是仍然存在一條球面上的最短的線路 —— 肯定不是拐來拐去那種。
對球面來說，兩點(diǎn)之間最短的線路是走“大圓”，也就是圓心正好是球心的那個圓。比如下面圖中兩點(diǎn)之間最直的線，就是大圓的一段。
[圖片來自維基百科]
哪怕不是球面，各種復(fù)雜曲面上，也都有這種“最直的線”，當(dāng)然就不一定是大圓了，我們統(tǒng)一稱之為“測地線”。
[圖片來自 starchild.gsfc.nasa.gov]
數(shù)學(xué)家黎曼 —— 就是提出“黎曼猜想”的那個黎曼 —— 早在1854年就已經(jīng)把復(fù)雜曲面的這些數(shù)學(xué)研究出來了，我們現(xiàn)在稱之為“黎曼幾何”。黎曼幾何是彎曲空間中的幾何學(xué)，也是廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)！在黎曼幾何里，兩條“平行”的測地線可以相交也可以越分越遠(yuǎn)，三角形的內(nèi)角之和可以大于也可以小于180度，你看多了就習(xí)慣了。
這些基本上就是你理解廣義相對論所需要的數(shù)學(xué)。
2.廣義相對論ABC
廣義相對論，簡單地說就是兩句話。
第一，一個有質(zhì)量的物質(zhì)，會彎曲它周圍的時空。這叫“物質(zhì)告訴時空如何彎曲”。
第二，在不受外力的情況下，一個物體總是沿著時空中的測地線運(yùn)動。這叫“時空告訴物質(zhì)如何運(yùn)動”。
完了。
這里邊根本沒有引力的事兒，根本不需要引力。
這個畫面是這樣的。你把時空想象成一個二維的蹦床。本來蹦床是平的，你往上面放幾個球，蹦床上有球的地方周圍就變成彎曲的了 —— 這幾個球，彎曲了各自周圍的時空。
[圖片來自www.esa.int]
地球?yàn)槭裁蠢@著太陽轉(zhuǎn)？牛頓認(rèn)為那是因?yàn)樘枌Φ厍蛴袀€引力。但是廣義相對論說，地球根本不知道太陽在哪里，只是因?yàn)樘柊褧r空彎曲得比較厲害，地球是根據(jù)自己所在時空的測地線運(yùn)動而已。就好像蹦床上的小球可以繞著大球滾動，而你知道大球并沒有吸引小球，那只是因?yàn)楸拇采洗笄虻闹車袀€凹陷！
[圖片來自 www.uh.edu]
同樣的時空，每個物體的速度不一樣，它看到的和遵循的測地線也不一樣。有的物體會直接掉向太陽，有的會繞著太陽做橢圓運(yùn)動，有的擦肩而過，這些都只不過是在沿著自己的測地線運(yùn)動而已。
[圖片來自 billadamsphd.net]
當(dāng)然，每個有質(zhì)量的物體在彎曲時空中運(yùn)動的同時，也在彎曲著自己周圍的時空，只是彎曲的程度不同。時空的形狀由所有這些物質(zhì)共同決定，然后所有物質(zhì)都沿著自己周圍時空的測地線運(yùn)動。
[圖片來自 Cosmology.com]
我們用蹦床打比方是不得已而為之，物質(zhì)彎曲時空并不是像小球在蹦床上往下“壓”的結(jié)果，是自然地彎曲周圍所有方向上的時空。而且請注意，被彎曲的不僅僅是空間 —— 還有時間，這個咱們后面再講。
說到這里我還要澄清一點(diǎn)。有好幾個讀者問我，既然高速運(yùn)動物體的質(zhì)量會增加，那多出來的質(zhì)量會不會也會彎曲空間呢？答案是不會的。廣義相對論里邊說的物質(zhì)彎曲空間，你可以理解成是物質(zhì)的“靜止質(zhì)量”在彎曲空間，靜止質(zhì)量是所有坐標(biāo)系都同意的不變量。時空的內(nèi)在幾何形狀是絕對的，但是時空在不同的坐標(biāo)系有不同的樣子。
廣義相對論就這么簡單。
3.自然運(yùn)動狀態(tài)
愛因斯坦再一次看破了紅塵。什么是引力？你可以說根本沒有引力，有的只是時空的彎曲。
或者你也可以說，所謂引力，就是在大尺度下才能看出來的、時空的彎曲。鯨魚的身體是曲線的，但是如果你離近了看，它身上每個地方都可以用一個很平的小平面近似。局部的測地線就是很直很直的直線，這就是為什么我們上一講說局部沒有引力。
說到這里，我們要重新定義“自然運(yùn)動狀態(tài)”這個概念。所謂自然運(yùn)動，就是在沒有任何外力干擾的情況下，一個物體自由自在的狀態(tài)。
亞里士多德認(rèn)為自然的運(yùn)動狀態(tài)是靜止。這符合我們的生活經(jīng)驗(yàn)：沒有外力的干擾的東西好像都是靜止不動的。
但是后來伽利略和牛頓說不對，力并不是讓物體運(yùn)動的原因，力其實(shí)是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因。一個物體在光滑的平面上滑動，如果沒有任何摩擦力干擾，它就會一直這么動下去。所以勻速直線運(yùn)動和靜止沒區(qū)別，都是自然運(yùn)動。
好，現(xiàn)在愛因斯坦告訴你，一切沿著測地線的運(yùn)動，都是自然運(yùn)動。
我們可以想象，在太空中找一個周圍非常空曠、沒有任何星體的地方，這里的時空是平直的，測地線是完美的直線，所以沿著測地線運(yùn)動正好就是勻速直線運(yùn)動。
那如果時空是彎曲的，宇航員就會繞著地球轉(zhuǎn)，失控的電梯就會直接掉下去，這兩個運(yùn)動其實(shí)都是自由落體，都是非常本分地沿著自己的測地線運(yùn)動！所以它們雖然有加速度，但是仍然是自然運(yùn)動。
自由落體，跟勻速直線運(yùn)動，跟靜止，沒有任何區(qū)別。你在其中一個封閉的實(shí)驗(yàn)室里不管做什么實(shí)驗(yàn)，都無法把它們區(qū)別開來。愛因斯坦說它們是一回事，都是沿著測地線運(yùn)動，都是自然運(yùn)動。
反過來說，你站在地面不動，站一會兒就累了，這其實(shí)是一種*不自然*的運(yùn)動。你本來想沿著測地線往下掉，可是地板阻止了你。想要體驗(yàn)真正的自由，你應(yīng)該搞一個……自由落體運(yùn)動。
為什么引力質(zhì)量正好等于慣性質(zhì)量，為什么一輕一重兩個鐵球同時著地？因?yàn)橹灰愕馁|(zhì)量沒有大到能跟地球相提并論、足以顯著影響周圍時空的形狀，你看到的測地線就只跟你的初始速度有關(guān)，跟你的質(zhì)量沒關(guān)系！
回頭再看上一講說的那兩個思想實(shí)驗(yàn)。不管你是站在一個有火箭加速的飛船上也好，還是站在地面不動也好，都是有一個外力在阻止你沿著測地線走，所以它們是一樣的。在地球附近自由落體也好，還是在空曠的地方做勻速直線運(yùn)動也好，都是沿著本地的測地線的自然運(yùn)動，所以它們也是一樣的。
只要你接受時空尺寸是相對的，你就能接受狹義相對論。只要你接受時空可以彎曲，你就能接受廣義相對論。接受了時空的這兩個性質(zhì)，什么光速為什么不變、慣性質(zhì)量為什么等于引力質(zhì)量、引力到底是不是真實(shí)的存在、超距作用……這些麻煩事兒就都沒有了。
所以說相對論是個簡單理論，它只是非常深刻。其實(shí)我覺得廣義相對論比狹義相對論還容易理解，它只是非常美麗。
也許下次看見鯨魚的時候，你可以想起廣義相對論。
