高中數(shù)學(xué)從70分到130+：一位帶過三屆高三數(shù)學(xué)老師掏心窩的分享
經(jīng)常有學(xué)生和家長問我：數(shù)學(xué)到底怎么學(xué)？為什么刷了那么多題，分?jǐn)?shù)就是上不去？
今天我不講那些虛頭巴腦的大道理，就結(jié)合我?guī)Я巳龑酶呷慕?jīng)驗，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)到底該怎么學(xué)。文章有點長，但句句都是干貨，建議先收藏再看。
一、別再盲目刷題了！你刷的是題，丟的是分
很多同學(xué)一提到提高數(shù)學(xué)成績，反應(yīng)就是“刷題”。書店里賣得最好的永遠(yuǎn)是各種題庫、密卷、押題卷。我見過太多學(xué)生，桌上堆著一尺高的練習(xí)冊，每天熬夜刷到一兩點，結(jié)果下次考試分?jǐn)?shù)出來，該多少分還是多少分。
問題出在哪？不是刷題沒用，而是你刷題的方式完全錯了。
我?guī)н^的一個學(xué)生小李，高二上學(xué)期數(shù)學(xué)一直70分左右。他來找我的時候，手里拿著三大本錯題本，上面密密麻麻記錄了200多道錯題。我問他平時怎么復(fù)習(xí)，他說就是把這些錯題重新做一遍。
我說你這種方法，等于把自己做過的錯誤再重復(fù)一遍，怎么可能進(jìn)步？
真正的錯題整理，應(yīng)該這樣做：每道錯題旁邊要寫清楚三個問題——這道題考查什么知識點？我當(dāng)時為什么錯？下次遇到同類型的題該怎么想？這才是錯題本正確的打開方式。
后來我讓小李按照這個方法重新整理錯題，兩個月后他的數(shù)學(xué)第一次突破了100分。他說以前覺得整理錯題浪費時間，現(xiàn)在才發(fā)現(xiàn)這是最省力的學(xué)習(xí)方法。
二、代數(shù)不是背公式，而是玩轉(zhuǎn)變形
很多學(xué)生覺得代數(shù)難，覺得公式太多記不住。實際上代數(shù)的核心根本不是背公式，而是理解“變形”這兩個字。
我上課時經(jīng)常跟學(xué)生說：代數(shù)就是一場變形游戲。一個復(fù)雜的多項式，你要有能力把它拆成幾個簡單的因子相乘；一個看著無解的方程，你要能找到辦法把它化成你會解的形式。
舉幾個最實在的例子。
因式分解，看起來簡單對吧？但高考中因式分解往往是解題的第一步。你要是這步卡住了，后面再好做不出來。常見的十字相乘法、主元法、試根法，這些必須練到形成條件反射。
再比如配方法，這是初中就學(xué)的知識，但到了高中仍然是大殺器。二次函數(shù)求最值、圓錐曲線方程化簡、證明不等式，哪一樣離得開配方法？你別小看這個“古老”的技巧，它真的能頂半邊天。
還有換元法，我把它叫做“偷天換日”。遇到復(fù)雜的式子，不要硬剛，換個元讓它現(xiàn)出原形，很多難題瞬間就變得簡單了。這需要多做練習(xí)，看多了自然就有感覺。
不等式證明是很多同學(xué)的噩夢。均值不等式、柯西不等式，看起來公式都挺長，其實都是有套路的。我上課時會告訴學(xué)生：拿到一個不等式，先看能不能用均值，不行就試試柯西，再不行就放縮。放著放著，答案就出來了。
三、幾何要想拿高分，得學(xué)會“畫輔助線”
我教幾何有個口訣：幾何幾何，線是哥哥。
平面幾何最大的難點就是輔助線。出一道題，給你一個三角形，再加一個點，讓你證明兩條線段相等。你盯著圖形看了半小時愣是沒思路，結(jié)果老師來講，一畫輔助線，豁然開朗。
輔助線怎么畫？這里有套路。
中位線是萬年神器。只要看到三角形或者梯形的中點，第一反應(yīng)就是連中位線。角平分線也是，遇到角平分線，要么作垂線，要么截取等長線段，這些都是常用套路。
相似三角形更是關(guān)鍵。很多幾何證明題，你費勁巴力證不出來，加一條線構(gòu)造出相似三角形，比例一寫，答案就出來了。
立體幾何現(xiàn)在高考占比越來越大，很多同學(xué)一看到立體圖形就頭疼。我的建議是：先學(xué)會把立體問題平面化。
建立三維坐標(biāo)系，把空間中的點坐標(biāo)化，這是最靠譜的方法。向量法算角度、算距離，只需要套公式，不用絞盡腦汁想輔助線。這幾年高考特別注重考查空間想象能力，什么展開圖還原、投影求面積，平時都要練到位。
四、函數(shù)才是高中數(shù)學(xué)的“主心骨”
如果說高中數(shù)學(xué)是一棵樹，函數(shù)就是這棵樹的樹干。從高一學(xué)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，到高二學(xué)三角函數(shù)，再到高三的導(dǎo)數(shù)，全部都是函數(shù)的內(nèi)容。
學(xué)函數(shù)，第一關(guān)是畫圖像。
很多同學(xué)覺得畫圖浪費時間，拿到題就代數(shù)。我告訴你，函數(shù)圖像是理解函數(shù)最直觀的方式。單調(diào)性、奇偶性、周期性，這些性質(zhì)你光背定義沒用，畫個圖一目了然。
第二關(guān)是單調(diào)性和極值。
導(dǎo)數(shù)就是專門研究函數(shù)變化趨勢的工具。函數(shù)上升還是下降，在哪里達(dá)到最高點最低點，求個導(dǎo)數(shù)全知道。經(jīng)濟(jì)問題求最大利潤，人口增長預(yù)測，這些實際應(yīng)用題說白了就是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。
現(xiàn)在高考特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模能力，就是希望學(xué)生能把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。用函數(shù)關(guān)系描述現(xiàn)實規(guī)律，這是未來高考的熱點方向。
五、概率統(tǒng)計，現(xiàn)在太重要了
很多學(xué)生覺得概率統(tǒng)計不如代數(shù)幾何重要，考前突擊一下就行。這種想法害死人。
新高考模式下，概率統(tǒng)計的比重明顯上升，而且越來越喜歡結(jié)合生活案例出題。什么產(chǎn)品質(zhì)量評估、市場需求預(yù)測、投資風(fēng)險分析，這些都需要概率統(tǒng)計知識。
排列組合是基礎(chǔ)。排列和組合的區(qū)別，有序和無序的判斷，這塊必須徹底搞懂。很多同學(xué)做題時分不清什么時候用排列什么時候用組合，最后明明會做的題也丟分。
統(tǒng)計部分，方差、標(biāo)準(zhǔn)差怎么算，直方圖、散點圖怎么分析，這些都要熟練?，F(xiàn)在的高考題經(jīng)查出現(xiàn)回歸分析、正態(tài)分布這些內(nèi)容，難度在逐年增加。
六、兩種思想方法，必須刻進(jìn)DNA
數(shù)形結(jié)合和分類討論，這兩種思想方法貫穿高中數(shù)學(xué)始終。
數(shù)形結(jié)合，說白了就是讓代數(shù)和幾何互相幫忙。有些不等式，你正面解很麻煩，但畫個函數(shù)圖像一目了然。有些幾何題，代數(shù)計算比純幾何推導(dǎo)簡單得多。這種思維需要長期訓(xùn)練，做題時要有意識地往這方面想。
分類討論，就是當(dāng)條件不確定時，分情況討論。參數(shù)取不同值時結(jié)果不一樣，絕對值函數(shù)要分段討論，二次方程根的分布要看判別式。很多同學(xué)不是不會做，而是討論漏了一種情況，分?jǐn)?shù)全扣。
這兩種方法練好了，能讓你的數(shù)學(xué)思維上一個臺階。
七、寫在最后
教了這么多年書，我最大的感受是：數(shù)學(xué)真的不是靠天賦的學(xué)科。
那些130、140分的學(xué)生，不是天生比你好多少，而是他們掌握了正確的方法，再加上足夠的練習(xí)。方法對路，努力才有意義。
如果你現(xiàn)在還在70分左右徘徊，先別急著刷題，把基礎(chǔ)概念和常用方法梳理一遍。如果你已經(jīng)能在100分左右，想沖擊130+，重點突破解析幾何和導(dǎo)數(shù)的綜合題，這是拉開分差的關(guān)鍵。
學(xué)習(xí)從來都是有方法的，找對方向比盲目努力重要一萬倍。
希望這篇文章能幫到你。覺得有用的話，點個在看，轉(zhuǎn)發(fā)給需要的同學(xué)和家長。
