方程法求圓錐曲線的離心率

方程法求圓錐曲線的離心率

方法二 方程法

解題步驟：

第一步 設出相關未知量；

第二步 根據(jù)題目條件列出關于 的方程；

第三步 化簡，求解方程，得到離心率.

【例1】. 若圓(x-\sqrt{3})^2+(y-1)^2=3 與雙曲線\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

B．\dfrac{\sqrt{7}}{2}

C．2

D．\sqrt{7}
【解析】
由題意得，圓心坐標為(\sqrt{3},1)，半徑為\sqrt{3}

顯然圓與y軸相切，故圓只能與漸近線y=-\dfrac{a}x相切，

所以有\dfrac{|b\sqrt{3}+a|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{3}

得a=\sqrt{3}b \Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2b

所以e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2b}{\sqrt{3}b}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

選A.
【總結】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

【例2】 如圖， F_1， F_2是雙曲線C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的左、右兩個焦點，若直線y=x與雙曲線C 交于P 、Q 兩點，且四邊形PF_1QF_2為矩形，則雙曲線的離心率為（ ）

A．2+\sqrt{6}

B．\sqrt{2+\sqrt{6}}

C．2+\sqrt{2}

D．\sqrt{2+\sqrt{2}}
【解析】

由題意可得，矩形的對角線長相等，

將直線y=x代入曲線方程C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)可得

x=\pm \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，所以OP=\sqrt{2}|x|

所以c=OF_2=OP=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，

所以2a^2b^2=c^2(b^2-a^2)

即2(e^2-1)=e^4-2e^2

所以e^4-4e^2+1=0

因為e>1，所以e^2=2+2\sqrt{2}，

所以$e=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$$

故應選D.

【總結】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質和雙曲線的概念，考查學生綜合知識能力和圖形識別能力，數(shù)中檔題.其解題的一般思路為：

(1)首先根據(jù)矩形的性質并將直線y=x 代入雙曲線C方程中即可得出點 的坐標;

(2)再由矩形的幾何性質可得 c=OF_2=OP=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，

(3)最后可得出所求的結果.

其解題的關鍵是正確地運用矩形的幾何性質求解雙曲線的簡單幾何性質.

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