一、兩向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
****1****．?dāng)?shù)量積的定義****
向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的數(shù)量積為
其中θ為向量a與b之夾角，規(guī)定0≤θ≤π.
****2****．兩向量的夾角****
兩非零向量a與b的夾角余弦計(jì)算公式為
****3****．?dāng)?shù)量積的幾何應(yīng)用****
(1)向量垂直關(guān)系的判定：
(2)向量的投影：
【注】：零向量與任何向量垂直.
****4****．向量積的物理應(yīng)用****
常力F拉物體沿位移S所做的功W為
W=F?S.
二、兩向量的向量積及其應(yīng)用
****1****．向量積的定義****
兩向量a=(a1,a2,a3),** b=(b1,b2,b3)的向量積**定義
【注】:兩向量的數(shù)量積為一個數(shù)量，而兩向量的向量積為一個向量．
關(guān)于向量a，b的向量積，有：
(1) aⅹb與a，b分別垂直；
(2)a，b與aⅹb服從右手法則；
(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ為向量a，b間的夾角．
****2****．向量積的幾何應(yīng)用****
****3****．向量積的物理應(yīng)用****
設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn)，有一個力F作用于這杠桿上點(diǎn)P處，則力F對支點(diǎn)O的力矩M為
三、向量的混合積及其應(yīng)用
****1****．向量的混合積的定義****
設(shè)有三個向量
a=(a1,a2,a3),** b=(b1,b2,b3), c**=(c1,c2,c3),
則稱向量(aⅹb)?c為向量a,b,c的混合積，記作[abc]，并有
根據(jù)行列式的運(yùn)算性質(zhì)，可得向量的混合積滿足輪換性，即
(aⅹb)?c=(** bⅹc)?a =( cⅹa)?b**.
****2****．混合積的幾何應(yīng)用****
(1) a,b,c共面?[abc]=0存在不全零的數(shù)λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.
(2) 空間四點(diǎn)A,B,C,D共面
(3) 以a,b,c為棱的四面體體積為：
(4) 以a,b,c為棱的平行六面體體積為：
四、空間平面及其方程
****1****．平面的點(diǎn)法式方程****
設(shè)M(x0,y0,z0)為平面上的已知點(diǎn)，n=(A,B,C)為法向量，M(x,y,z)為平面上的任一點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程為：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
****2****．平面的三點(diǎn)式方程****
設(shè)M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共線的三點(diǎn)，則由四點(diǎn)共面，四點(diǎn)構(gòu)成的三個向量的混合積為零，可得平面的三點(diǎn)式方程：
****3****．平面的截距式方程****
如果三點(diǎn)取為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐標(biāo)軸上的截距為a,b,c，則平面的截距式方程為
****4****．平面的一般式方程****
三元一次方程描述的圖形為空間平面，即平面的一般式方程為：
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).
并且平面的法向量為n=(A,B,C)，任何滿足方程的x,y,z的值構(gòu)成在有序?qū)?x,y,z)對應(yīng)的點(diǎn)都為該方程描述的平面上的點(diǎn)。
****5****．一些特殊平面對應(yīng)的方程結(jié)構(gòu)****
(1) 過原點(diǎn)的平面：Ax+By+Cz=0；
(2) 平行于x軸的平面：By+Cz+D=0；
平行于y軸的平面：Ax+Cz+D=0；
平行于z軸的平面：Ax+By+D=0；
【注】：法向量的哪個分量為零，則該平面平行于該分量對應(yīng)的坐標(biāo)軸。
(3) 過x軸的平面：By+Cz=0；
過y軸的平面：Ax+Cz=0；
過z軸的平面：Ax+By=0；
(4) 行于xOy坐標(biāo)面的平面：Cz+D=0；
平行于zOx坐標(biāo)面的平面：By+D=0；
平行于yOz坐標(biāo)面的平面：Ax+D=0；
【注】：法向量的哪兩個分量為零，則該平面平行于這兩個分量對應(yīng)的坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)面。
五、空間直線及其方程
****1****．直線的向量式參數(shù)方程****
設(shè)直線L過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全為零的常數(shù)．在直線L上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，并記
則直線L參數(shù)為t的向量式參數(shù)方程為
r=r0+ts(-∞<t<+∞)
****2****．空間直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程****
過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)的直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為
****3****．空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程****
過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)的直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程，或者對稱式方程，點(diǎn)向式方程為
****4****．空間直線的兩點(diǎn)式方程****
已知空間直線L上的相異的兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則兩點(diǎn)的連線構(gòu)成的直線的兩點(diǎn)式方程為
****5****．空間直線的一般式方程****
兩平面的交線的一般式方程為
六、點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系
****1****．點(diǎn)到平面的距離****
如果點(diǎn)P0不在平面π上，則點(diǎn)P0到平面π的距離為
****2****．平面與平面的位置關(guān)系****
設(shè)兩平面的方程為
π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，
π2：A2x+B2y+C2z+D2=0.
(1) 兩平面平行，有
(2) 兩平面重合，有
(3) 兩平面垂直，有
(4) 兩平面夾角θ定義為兩法向量相交的銳角，即
****3****．兩直線的位置關(guān)系****
設(shè)兩直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程分別為：
并設(shè)M1(x1,y1,z1)是直線L1上的點(diǎn)，s1=(m1,n1,p1)是它的一個方向向量；M2(x2,y2,z2)是直線L2上的點(diǎn)，s2=(m2,n2,p2)是它的一個方向向量，則有：
【注】：兩條平行直線可以位于不同的平面上，但由于它們可以位于一個平面上，所以它們也表示共面直線。
(5) 不管是共面的直線還是異面的直線，規(guī)定兩直線的夾角θ為兩直線的方向向量間的夾角，即有
【注】：若兩直線平行或重合，則它們的夾角可看成是0或π；如果兩直線垂直，則它們的夾角為π/2.
****4****．點(diǎn)到直線的距離****
設(shè)點(diǎn)M1(x1,y1,z1)是直線
上的一點(diǎn)，s=(m,n,p)是直線的方向向量，則點(diǎn)M0(x0,y0,z0)到直線L的距離為由方向向量s與M1和M0構(gòu)成的向量為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形，在方向向量所在邊上的高，即由平行四邊形的面積公式可得
****5****．直線間的距離****
平行直線之間的距離歸結(jié)為一直線上的任一點(diǎn)到另一直線之間的距離，即平行直線之間的距離可以直接使用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到。
如果兩條直線為異面直線，即已知兩直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程分別為：
并設(shè)M1(x1,y1,z1)是直線L1上的點(diǎn)，s1=(m1,n1,p1)是它的一個方向向量；M2(x2,y2,z2)是直線L2上的點(diǎn)，s2=(m2,n2,p2)是它的一個方向向量，則兩異面直線之間距離等于向量M1, M2構(gòu)成的向量在向量s1ⅹs2上的投影的絕對值，即
****6****．平面與直線的位置關(guān)系****
設(shè)平面和直線的方程分別為：
并設(shè)n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直線L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直線L上的一點(diǎn)，則有：
直線L在平面π上?n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直線L與平面π相交?Am+Bn+Cp≠0.
(4) 規(guī)定直線L與它在平面π上的投影線的夾角θ為直線與平面的夾角，即
****7****．平面束方程****
空間中通過同一條直線的所有平面的集合叫做有軸平面束，直線叫做平面束的軸。
如果兩個平面
交于一條直線L，那么以直線L為軸的平面束的所有平面方程可以表示為
其中λ,μ是不全為零的任意實(shí)數(shù)。
當(dāng)λ=1,μ=0時，則表示平面π1的方程；λ=0,μ=1時，則表示平面π2的方程。
【注】：如果僅僅取μ=1，則平面束方程為
λ是不全為零的任意實(shí)數(shù)，則該方程能夠表示的平面為除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解決問題的過程中，減少了一個參數(shù)，簡化問題求解過程，但是需要單獨(dú)考慮平面π1。
七、構(gòu)建圖形數(shù)學(xué)描述形式的一般步驟
(1) 針對實(shí)際問題，繪制草圖，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系。
【注****1****】當(dāng)然根據(jù)問題的描述的方便，也可以是其他坐標(biāo)系，比如在三重積分中我們要討論的柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等。
【注****2****】如果問題本身帶有坐標(biāo)信息，則繪制坐標(biāo)系，并根據(jù)坐標(biāo)特征繪制草圖。
(2) 在圖形上，或者空間任取一符合問題背景或相關(guān)幾何意義的點(diǎn)，并設(shè)其坐標(biāo)為M(x,y,z)。
(3) 依據(jù)問題提供的條件，比如物理意義、幾何意義、已有等式等，構(gòu)建相關(guān)的等式，并轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z的等式；或者通過適當(dāng)引入?yún)?shù)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z描述為有關(guān)參數(shù)的表達(dá)式，如果是平面圖形或曲線圖形，則一個參數(shù)；如果是曲面圖形，一般為兩個參數(shù)。
(4) 化簡相關(guān)等式，得到圖形的方程描述形式。
八、旋轉(zhuǎn)曲面
空間中，一條曲線繞一定直線旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線．
比如，yOz坐標(biāo)面上的曲線C:f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為
繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為
空間曲線
繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為
【注****1****】如果三個方程能夠消去兩個參數(shù)得到x,y,z的表達(dá)式，則也就可以直接得到旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程。
九、柱面
在空間中，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所構(gòu)成的曲面叫做柱面；直觀地講，柱面就是由平行于一定直線沿曲線移動時所形成的曲面，或者說是由一條直線連續(xù)平移而形成的。其中曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，直線叫做柱面的母線．
圓柱面：準(zhǔn)線為圓，母線為垂直于圓所在平面的直線所形成的曲面。
比如準(zhǔn)線為xOy面上的圓x2+y2=R2，母線垂直于xOy面，或平行于z軸的圓柱面方程為
x2+y2=R2。
類似有中心軸為y,x軸為中心軸的圓柱面方程
z2+x2=R2，y2+z2=R2。
橢圓柱面：準(zhǔn)線為橢圓，母線為垂直于橢圓所在平面的直線所形成的曲面。比如準(zhǔn)線取為xOy,yOz,zOx面上的橢圓，母線分別垂直三個坐標(biāo)面的橢圓柱面方程分別為
雙曲柱面：準(zhǔn)線為雙曲線，母線為垂直于雙曲線所在平面的直線所形成的曲面。比如準(zhǔn)線取為xOy,yOz,zOx面上的、實(shí)軸分別為x軸、y軸、z軸的雙曲線，母線分別垂直三個坐標(biāo)面的雙曲柱面方程分別為
拋物柱面：準(zhǔn)線為拋物線，母線為垂直于拋物線所在平面的直線所形成的曲面。比如，比如準(zhǔn)線取為xOy面上的拋物線，母線為垂直xOy面的拋物柱面方程為
y2=2px或x2=2py。
十、常見標(biāo)準(zhǔn)曲面及其參數(shù)方程
****1****．球面****
方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2所表示的曲面為球心在(x0,y0,z0)球面，半徑為R的球面。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可將橢球面的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2轉(zhuǎn)為參數(shù)方程描述，即
特別有x2+y2+z2=1表示球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面。
****2****．橢球面****
方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1所表示的曲面稱為橢球面，其中a,b和c均為正常數(shù)。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可將橢球面的方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1轉(zhuǎn)為參數(shù)方程描述，即
****3****．雙曲面****
雙曲面分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面。
l單葉雙曲面：平方項(xiàng)兩正一負(fù)的和等于1的方程描述的曲面。即
其負(fù)向變量所對應(yīng)的坐標(biāo)軸為對稱軸．
l雙葉雙曲面：平方項(xiàng)一正兩負(fù)的和等于1的方程描述的曲面。即
其正向變量所對應(yīng)的坐標(biāo)軸為對稱軸．
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1及sec2t-tan2t=1，可將對稱軸為z的單葉雙曲面方程，雙葉雙曲面方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述，有
****4****．拋物面****
拋物面包括橢圓拋物面和雙曲拋物面。
l橢圓拋物面：具有1次方項(xiàng)等于兩個平方項(xiàng)的和結(jié)構(gòu)的方程所表示的曲面。即
如果a=b，則為旋轉(zhuǎn)拋物面。
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1，可將方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述，如
l雙曲拋物面：1次方項(xiàng)等于兩個平方項(xiàng)的差結(jié)構(gòu)的方程所表示的曲面。如
由于雙曲拋物面的形狀像馬鞍，所以它又稱為馬鞍面．
借助三角恒等式sec2t-tan2t=1，可將方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述。如對
****5****．二次錐面****
在空間，通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所生成的曲面叫做錐面。直線稱為錐面的母線，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。
如方程
描述的曲面圖形為頂點(diǎn)在原點(diǎn)的橢圓錐面，其中心軸在分別為z軸，x軸，y軸．當(dāng)a=b時為圓錐面。
由三角恒等式cos2t+sin2t=1，可得橢圓錐面的參數(shù)方程，如中心軸為z軸的橢圓錐面的參數(shù)方程為
十一、空間曲線的方程
****1****．空間曲線的一般方程****
空間曲線總可以看成是某兩個曲面的交線．設(shè)兩曲面的方程為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則兩個曲面的交線?？梢杂梅匠探M描述為
該方程組也稱為空間曲線C的一般方程．
【注****1****】空間曲線的一般方程不唯一。可以用任意兩個過空間曲線的曲面的方程構(gòu)成的方程組來描述；并且空間曲線也位于描述空間曲線的一般方程中兩個方程的線性組合構(gòu)成的方程
λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0
（其中λ,μ為不全為零的實(shí)數(shù)）描述的曲面圖形上。這樣就可以用相對簡單的曲面方程來描述曲線。
****2****．空間曲線的參數(shù)方程****
一般地，空間運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的軌跡對應(yīng)一條空間曲線。曲線C上動點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z可以用一個參數(shù)t的函數(shù)表示為
【注****1】空間曲線參數(shù)方程參數(shù)的意義可以為運(yùn)動時間，也可以是轉(zhuǎn)動角度、弧度，或者為坐標(biāo)變量等。
****3****．空間曲線一般方程與參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)換的思路****
將空間曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為一般方程描述比較簡單，由三個參數(shù)表達(dá)式兩兩消去參數(shù)，則可以得到兩個不包含參數(shù)的等式，它們一起構(gòu)成空間曲線的一般方程。
將空間曲線的一般方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程描述的基本思路為：
(1) 如果空間曲線的一般方程的兩個方程都是三個變量的方程，則通過消元，獲得一個二元方程表達(dá)式，然后借助于二元方程的參數(shù)方程，寫出兩個變量的參數(shù)表達(dá)式，并代入其中一個方程解出另一變量關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式。
(2) 如果空間曲線的一般方程中，有一個方程只有兩個變量，則可以直接通過引入?yún)?shù)，寫出兩個變量的參數(shù)方程，然后利用另外一個方程解出另一變量的參數(shù)表達(dá)式。也可以利用兩個變量的表達(dá)式用一個變量表示另外一個變量代入另一方程，由變換后的方程寫出參數(shù)方程后得到參數(shù)方程。
(3) 如果空間曲線的一般方程中有一個方程為單獨(dú)變量等于常數(shù)的表達(dá)式時，則直接將它代入另一個方程，由另一個方程寫出對應(yīng)的參數(shù)方程表達(dá)式，并聯(lián)合這個表達(dá)式即可得所求空間曲線的參數(shù)方程。
(4) 如果有兩個方程都是單獨(dú)變量等于常數(shù)的表達(dá)式，則直接令另一變量為參數(shù)即可。
十二、空間曲線在平面上的投影
****1****．曲線在平面上的投影****
設(shè)是一條空間曲線，是一個平面，曲線上每一點(diǎn)在平面上有一個垂足，曲線上的所有點(diǎn)在平面上的垂足所構(gòu)成的曲線叫做曲線在平面上的投影曲線，簡稱投影，平面也稱為投影面。
過曲線上的每一點(diǎn)，都有平面的一條垂線，這些垂線構(gòu)成一個柱面，并且把這樣的柱面稱為曲線關(guān)于平面的投影柱面。
空間曲線在平面上的投影曲線就是投影柱面與平面的交線。
****2****．一般方程描述的空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程****
設(shè)空間曲線Γ的一般方程為
則Γ關(guān)于xOy、yOz、zOx坐標(biāo)面的投影柱面方程可以通過方程組分別消去z,x,y變量得到。假設(shè)方程組消去變量z,x,y后得到的方程分別描述為
F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0，
則以上三個方程分別描述了空間曲線關(guān)于坐標(biāo)面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空間曲線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線分別為
****4****．參數(shù)方程描述的空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程****
設(shè)空間曲線Γ的參數(shù)方程為
Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t0,t1])，
則Γ關(guān)于xOy、yOz、zOx坐標(biāo)面的投影柱面方程與投影曲線方程為
xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)，投影曲線：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t0,t1])
yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲線：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t0,t1])
zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)，投影曲線：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t0,t1])
【注****1****】空間曲面或立體圖形在坐標(biāo)面上的投影為空間曲面或圍成立體的所有曲面上的點(diǎn)在坐標(biāo)面上的投影點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域，可以用投影區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，垂直于坐標(biāo)面的直線為母線形成的投影柱面與坐標(biāo)面方程來描述。
【注****2****】空間直角坐標(biāo)系中立體圖形簡圖的繪制方法：在掌握基本立體幾何形狀，比如長方體、球體、柱體、平面、直線繪制的基礎(chǔ)上，一般通過繪制一些關(guān)鍵性的曲線，比如圍成立體圖形的曲面的交線，平行于坐標(biāo)面的平面截取空間圖形所得的交線等，來描述圖形的大致輪廓，幫助我們更好地理解和解決問題
