矩陣分析學(xué)習(xí)筆記（六）-若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形

\lambda-陣

元素為\lambda的多項(xiàng)式的矩陣矩陣稱為\lambda-陣，記為A(\lambda)。
例如，數(shù)字方陣A的特征矩陣\lambda E-A就是一個(gè)\lambda-陣；一個(gè)\lambda-陣中所含多項(xiàng)式的最高次冪稱為\lambda-陣的次數(shù)。如果A(\lambda)的次數(shù)為m，則A(\lambda)可表示為
A(\lambda)=A_0\lambda^m+A_1\lambda^{m-1}+\cdots+A_{m-1}\lambda+A_m ，
其中，A_i(i=0,1,\cdots,m)為數(shù)字矩陣，且A_0\neq O.

等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

任意一個(gè)秩為r的m\times n階\lambda-陣A(\lambda)都等價(jià)于一個(gè)分塊\lambda-陣，即
A(\lambda) \cong\begin{pmatrix} D(\lambda) & O \\ O & O \end{pmatrix},
其中，D(\lambda)=diag\lbrace d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) \rbrace,d_i(\lambda)是首項(xiàng)系數(shù)為1的\lambda多項(xiàng)式，且d_i(\lambda)\mid d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r，并稱該分塊\lambda-陣為A(\lambda)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，記作I_r(\lambda)。

行列式因子

設(shè)\lambda-陣A(\lambda)的秩為r，顯然A(\lambda)中任一i(1\leq i \leq r)階子式也是\lambda的多項(xiàng)式。A(\lambda)的所有i階子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式稱為A(\lambda)的第i階行列式因子，記作D_i(\lambda)。

不變因子

設(shè)D_k(\lambda)為\lambda-陣A(\lambda)的k階行列式因子(1\leq k \leq r)，則稱
d_k(\lambda)=D_k(\lambda) / D_{k-1}(\lambda), (1 \leq k \leq r)
為A(\lambda)的第k個(gè)不變因子。其中D_0(\lambda)=1。

初等因子組

假定所討論的問(wèn)題都是在復(fù)數(shù)域C中進(jìn)行，這是任一多項(xiàng)式均可分解為一次因式方冪的積。設(shè)A(\lambda)的各個(gè)不變因子分解如下：
d_1(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{11}} (\lambda - a_2) ^ {l_{12}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{1s}} ，\\ d_2(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{21}} (\lambda - a_2) ^ {l_{22}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{2s}}， \\ \cdots \cdots \\ d_r(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{r1}} (\lambda - a_2) ^ {l_{r2}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{rs}}，
式中，a_1,a_2,\cdots,a_s是互不相等的復(fù)數(shù)，l_{ij}是非負(fù)整數(shù)。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=d_k(%5Clambda)%20%5Cmid%20d_%7Bk%2B1%7D(%5Clambda)" alt="d_k(\lambda) \mid d_{k+1}(\lambda)" mathimg="1">，可知上述分解式的指數(shù)有如下關(guān)系：
0 \leq l_{1j} \leq l_{2j} \leq \cdots \leq l_{rj} (j=1,2,\cdots,s).
稱上述指數(shù)l_{ij}>0的因式(\lambda - a_j) ^ {l_{ij}}為A(\lambda)的初等因子。在計(jì)算A(\lambda)的初等因子的個(gè)數(shù)時(shí)，要把重復(fù)的包括在內(nèi)。A(\lambda)的全部初等因子稱為A(\lambda)的初等因子組。

若當(dāng)(Jordan)塊和若當(dāng)矩陣

易知 m_i 階方陣J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i}的特征矩陣 \lambda E_{m_i}-J_i 的初等因子只有一個(gè) (\lambda-\lambda_i)^{m_i} ，稱 J_i為若當(dāng)(Jordan)塊，稱矩陣 J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace 為若當(dāng)矩陣。

\lambda E-J 的初等因子組是：
(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.\tag1
這樣，若一個(gè)數(shù)字矩陣A的特征矩陣\lambda E - A的初等因子組也是(1)式時(shí)，即可知 A\sim J.以上敘述可歸納為以下定理：

定理：若 n 階方陣A的特征矩陣\lambda E-A的初等因子組是(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s},則有
A\sim J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace,
式中 m_i=1 時(shí)，J_i=\lambda_i，

? m_i>1 時(shí)，J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i\times m_i}

如果不計(jì)若當(dāng)矩陣J中若當(dāng)塊的排列次序，則若當(dāng)矩陣J由矩陣A唯一確定，稱J為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

例1：求矩陣A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4\end{bmatrix}的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

解：\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-1 & 1 & -2 \\ -3 & \lambda+3 & -6 \\ -2 & 2 & \lambda-4\end{bmatrix},令\mid\lambda E-A\mid=0得 \lambda=0,0,2.

對(duì)于 \lambda=0, r(\lambda E - A) = 1，零空間維數(shù) dim N_0 = 2，故有兩個(gè)若當(dāng)塊；

對(duì)于 \lambda=2, r(\lambda E - A) = 2，零空間維數(shù) dim N_0 = 1，故有一個(gè)若當(dāng)塊；

綜上，A\sim J = \begin{bmatrix}0\\&0\\&&2\end{bmatrix}

例2：設(shè)A=\begin{bmatrix}17 & 0 & -25\\ 0 & 3 & 0\\ 9 & 0 & -13\end{bmatrix}，求可逆矩陣P，使P^{-1}AP為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

解：
\lambda E-A=\begin{bmatrix} \lambda-17 & 0 & 25 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ -9 & 0 & \lambda+13 \end{bmatrix}
令\mid\lambda E-A\mid=0，得\lambda=2,2,3.

對(duì)于\lambda=2,r(\lambda E-A)=2，零空間維數(shù)為1，故有1個(gè)若當(dāng)塊；

對(duì)于\lambda=3,r(\lambda E-A)=2，零空間維數(shù)為1，故有1個(gè)若當(dāng)塊；

綜上，共有兩個(gè)若當(dāng)塊，故A\sim J=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}，

設(shè)可逆陣P=[x_1,x_2,x_3]，使得P^{-1}AP=J，即AP=PJ，則有
A(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}
即 (Ax_1,Ax_2,Ax_3) = (3x_1,2x_2,x_2+2x_3)
\Longrightarrow\begin{cases} (3E-A)x_1=0 \\ (2E-A)x_2=0 \\ (2E-A)x_3=-x_2 \end{cases}
解齊次線性方程組(3E-A)x_1=0得x_1=[0,1,0]^T,

解齊次線性方程組(2E-A)x_2=0得x_2=[5,0,3]^T.

由非齊次線性方程組(2E-A)x_3=-x_2得x_3=[2,0,1]^T，

故
P=(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}, 使得P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

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