在前面，我們對OpenGL中繪圖做了簡單的介紹，還想繼續(xù)深入OpenGL的后面的內(nèi)容，就需要熟悉OpenGL中涉及到的數(shù)學(xué)知識，因此，本篇文章主要介紹OpenGL中的基本數(shù)學(xué)。（原博主鏈接：https://blog.csdn.net/wangdingqiaoit/article/details/51383052 ）
向量的概念
向量是研究2D、3D數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)工具。向量V是一個既有大小又有方向的量（聯(lián)系位移和速度的概念）。在數(shù)學(xué)上，常用一條有方向的線段來表示向量。例如下圖n維空間的向量v=AB→=(v1,v2,...,vn)v=AB→=(v1,v2,...,vn)如下圖所示，向量起點為A，終點為B：
注意：
- 向量的大小就是向量的長度（模），向量的長度是非負(fù)的；
- 向量的方向描述了向量的指向；
- 向量是沒有位置的，與點是不同的；
- 向量與標(biāo)量不同，變量是只有大小而沒有方向的量，例如位移是向量，而距離是標(biāo)量；
零向量與單位向量
向量的長度即模，定義為:
模等于0的向量成為0向量，模等于1的向量叫做單位向量。注意零向量的方向是任意的。
由一個向量v求與它同方向的單位向量過程稱為標(biāo)準(zhǔn)化(normalization）,這個單位向量成為標(biāo)準(zhǔn)化向量(normalized vector)。計算過程為:
三角形法則和平行四邊形法則
兩個向量a和b，當(dāng)將b的起點放在a的終點，連接a的起點和b的終點的向量成為向量a,b之和，記為:c=a+b,如下圖所示:
物理上力學(xué)求和經(jīng)常使用平行四邊形法則，表達(dá)的是向量加法運算的結(jié)合律，即:a+b=b+a,如下圖所示:
與一個向量a大小相同，方向相反的向量，稱為向量a的負(fù)向量，兩者相加得到零向量，即:
a+(?a)=0
向量夾角
兩個非零向量的夾角規(guī)定為不超過π的角度θ，即：0≤θ≤π，如下圖所示：
注意這個夾角的范圍。當(dāng)θ=π/2稱兩個向量a與b垂直，當(dāng)θ=0或者π時，稱向量a與b平行。
向量點積
向量點積，也稱為向量的數(shù)量積，點積的結(jié)果是一個標(biāo)量，其定義為: A.B=|A||B|cosθ，其中θ表示向量A和B之間的夾角。
向量點積的幾何意義
要理解點積的幾何意義，首先了解概念向量在軸上的投影(scalar projection )，這個投影計算得到一個標(biāo)量。向量A在B上的投影定義為: AB=|A|cosθ。如下圖所示：
則可以寫為: A.B=|A|BA=|B|AB。
在空間幾何中，例如n空間中，向量的坐標(biāo)表示為: A=(a1,b2,?,cn) ，B=(b1,b2,?,bn), 則兩個向量的點積可以表示為:
向量點積的應(yīng)用
向量點積的一個重要應(yīng)用在于，可以快速求出兩個向量的夾角余弦。
兩個向量的夾角余弦計算公式為:
當(dāng)a和b都是單位向量時，兩單位向量的夾角余弦值為:
cosθ=a.b。
因此，我們能很快的計算出兩個單位向量的夾角余弦，在計算光照時經(jīng)常使用。
另外當(dāng)一個向量為單位向量時:
向量的叉積
兩個向量a和b的叉積，結(jié)果是一個向量c=a×b，c的方向垂直于a和b，它需要根據(jù)右手規(guī)則來確定，c的大小等于：
叉積如下圖所示：
注意c的方向需要根據(jù)右手規(guī)則來確定。所謂右手規(guī)則是指，將向量a與b放在同一個起點時，當(dāng)右手的四個手指從a所指方向轉(zhuǎn)到b所指方向握拳時，大拇指的指向即為a×b的方向。如下圖所示：
尤其要注意 a×b≠b×a，事實上，a×b=?b×a。在利用以坐標(biāo)形式表示向量a和b時，在3D空間中，叉積的結(jié)果用矩陣表示為：
叉積的幾何意義
叉積的模可以視為以a和b為兩邊的平行四邊形的面積，如下圖所示：
其中|b|sinθ可以視為平行四邊形的高，計算后a×b的模即為平行四邊形的面積。
叉積的應(yīng)用
在OpenGL圖形編程中，叉積經(jīng)常在已知兩個方向時，用來確定第三個方向。例如已知相機(jī)的朝向dir和側(cè)向量side，則相機(jī)的頂部向量為: up=dir×side，后面再介紹相機(jī)矩陣時會用到。
投影向量的計算
一個向量a在另一向量b上的投影向量，包括與b平行的部分a1和與b垂直的部分a2。a1即是之前提到的scalar projection，不過這里a1是一個向量。具體過程如下圖所示:
上圖可知與b平行分量a1可計算為:
垂直分量a2計算為:
投影向量的應(yīng)用
投影向量的計算過程，是一個向量分解的過程，這種向量分解的思路在后面推導(dǎo)其他內(nèi)容時很有幫助，例如求解后面的物體旋轉(zhuǎn)矩陣時會派上用場。
矩陣的概念
矩陣從形式上就是一個數(shù)字表，以行和列的形式呈現(xiàn)，簡單的矩陣如下圖所示:
矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n可以不相同，m行n列矩陣記為矩陣Am×n。當(dāng)行數(shù)和列數(shù)相等時，m= n ,矩陣A也稱為n階方陣。例如下圖給出了3x4矩陣A3×4的抽象表示:
行向量和列向量
對于1xn的矩陣，我們稱之為行向量，nx1的矩陣稱為列向量。一般可以用列向量表示空間中的向量(以行向量表示也可以)，例如上面的向量a=(ax,by,cz)可以用列向量表示為:
注意：OpenGL編程中習(xí)慣用列向量表示點或者向量。矩陣在內(nèi)存中以列優(yōu)先存儲，但是具體傳遞參數(shù)時，一般函數(shù)提供了是否轉(zhuǎn)置的布爾參數(shù)來調(diào)整存儲格式。例如void glUniformMatrix4fv函數(shù)提供了布爾變量 GLboolean transpose 來表示是否轉(zhuǎn)置矩陣。
零矩陣和n階單位陣
mxn矩陣，如果所有元素都為0，則成為零矩陣。 對于一個n階方陣，如果主對角線元素全為1，其余元素都為0則稱為n階單位陣。對于一個矩陣Am×n，存在單位陣滿足:ImA=AIn=A。 任意矩陣Am×n與對應(yīng)的零矩陣Bn×p相乘得到零矩陣。
矩陣轉(zhuǎn)置
轉(zhuǎn)置操作即是將矩陣的行和列互換，即原矩陣A的第一行變?yōu)檗D(zhuǎn)置矩陣AT的第一列，原矩陣A的第二行變?yōu)檗D(zhuǎn)置矩陣AT的第二列，其他部分依次類推。
則其轉(zhuǎn)置矩陣為:
矩陣的運算
矩陣加減法
兩個矩陣A和B要能執(zhí)行加減法，必須是行和列數(shù)目相等的，計算過程，即對應(yīng)的元素相加(Aij+Bij)或者相減(Aij?Bij)，如下圖所示:
標(biāo)量和矩陣乘法
用一個數(shù)k乘以矩陣A，結(jié)果為矩陣A中每個元素乘以數(shù)k。例如:
矩陣和矩陣乘法
兩個矩陣Am×n和Bn×p要執(zhí)行乘法操作，需要滿足: 左邊矩陣的列數(shù)和右邊矩陣的行數(shù)相等，并且結(jié)果矩陣為Cm×p。
計算過程如下圖所示:
其中
,即C中第i行第j列的元素，即為矩陣A的第i行和第j的對應(yīng)元素相乘后的和。例如:
注意矩陣乘法不滿足交換律，一般而言矩陣乘積AB≠BA（當(dāng)然存在特殊情況下滿足），因此在OpenGL中應(yīng)用變換矩陣時注意變換應(yīng)用的順序。變換的例子后面會介紹。
矩陣和矩陣相乘舉例
給定兩個矩陣相乘，過程如下圖所示：
熟悉了矩陣相乘后，則上述向量的點積公式可以重新表示為:
則兩個向量的點積可以表示為:
矩陣不滿足交換律舉例
這里AB≠BA，提醒我們注意矩陣相乘時的順序。
矩陣和向量相乘
矩陣和向量相乘是矩陣和矩陣相乘的特例，給定矩陣A和列向量v，相乘過程如下所示:
行列式
行列式是n階方陣的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)的行列集合，例如2階方陣A表示為:
關(guān)于矩陣行列式計算的更多方法可以參考線性代數(shù)教材。
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總結(jié)：OpenGL中向量與矩陣的簡要介紹大概就這些了，要想了解全部的內(nèi)容或者更詳細(xì)的內(nèi)容，可以參考一下資料：
- 《3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：圖形與游戲開發(fā)》清華大學(xué)出版社
- 線性代數(shù)》武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 高等教育出版社 齊民友主編
- 《交互式計算機(jī)圖形學(xué)-基于OpenGL著色器的自動向下方法》電子工業(yè)出版社 Edward Angle等著
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系列連載
OpenGL入門（一）-- 圖形API簡介與作用
OpenGL入門（二）-- 快速了解OpenGL下的專業(yè)名詞
OpenGL入門（三）-- OpenGL坐標(biāo)系解析與坐標(biāo)變換
OpenGL入門（四）-- OpenGL坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換
OpenGL入門（五）-- OpenGL渲染流程圖解析
OpenGL入門（六）-- OpenGL 固定存儲著色器的理解使用
OpenGL入門（七）-- 圖形圖像渲染中的深度緩沖區(qū)
OpenGL入門（八）-- OpenGL向量和矩陣簡介
OpenGL入門（九）-- OpenGL 紋理簡單介紹
