單元函數(shù)微積分，直觀理解（16）

“微分”的形式，“微分”的本質(zhì)和作用

徐長(zhǎng)發(fā)，華中科技大學(xué)，2025.

所謂微積分，核心內(nèi)容是“求導(dǎo)數(shù)”及其應(yīng)用，“求定積分”及其應(yīng)用。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)方面的基本知識(shí)，但是為什么人們總是把“求導(dǎo)數(shù)的方法”稱之為“微分方法”呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)以后就明白了，其實(shí)這兩者是一回事。求導(dǎo)是求變化率，變化率可對(duì)函數(shù)做“微觀分析”，所以從應(yīng)用角度看，“微分法”更能夠反應(yīng)求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用目的，這僅是對(duì)“微分”這個(gè)名詞解釋的第一個(gè)方面。第二個(gè)方面，后面要學(xué)習(xí)的“定積分”是一種將微小量累集起來(lái)的方法，“積分方法”與“微分方法”雖然基本的的思想過(guò)程和操作方法方法完全不同，可是兩者的內(nèi)部是由微分聯(lián)系在一起的，所以要學(xué)習(xí)微分。第三個(gè)方面，“微分”是個(gè)獨(dú)特的“算符”記號(hào)，它有自身的含義，可以表示導(dǎo)數(shù)，可以表示積分，它為微積分運(yùn)算帶來(lái)諸多方便；“微分”的特殊作用是它的算符形式和算符含義。

本節(jié)將解釋“微分”的形式、“微分”的本質(zhì)，介紹這種形式在求導(dǎo)方面的應(yīng)用，后面還將陸續(xù)介紹“微分”在求原函數(shù)和定積分方面的應(yīng)用。

目前，全國(guó)的所有的微積分教科書，關(guān)于微分的定義都存在一定問(wèn)題，讀者也多有疑惑，請(qǐng)參見我的另一個(gè)專欄“關(guān)于高等數(shù)學(xué)改革中的一些綜合性問(wèn)題（08）”.