在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)我們將二維視野拓展到三維視野后，會(huì)產(chǎn)生出許多要學(xué)習(xí)的立體圖形。如果要精確研究，就離不開(kāi)對(duì)其進(jìn)行定量描述。毋庸置疑，除了對(duì)其浪漫的感知外，就是求得立體圖形的表面積和體積。今天，我們就舉幾個(gè)例子來(lái)展示。

第一個(gè)出場(chǎng)的就是棱柱。以最典型的正棱柱為例，其實(shí)我們很好判斷其表面積和體機(jī)怎么算。沒(méi)錯(cuò)，在一個(gè)空間中，將底面積乘高就可以得到體積，而將單個(gè)側(cè)面的面積乘面數(shù)再加上相同的上下地面，便是表面積。

第二個(gè)出場(chǎng)的就是棱錐。棱錐可以看作是一種特殊的棱錐，其上底面面積為0。以正棱錐為例，其實(shí)表面積仍然很好求得，仍然是底面積加上單個(gè)側(cè)面面積乘側(cè)面面數(shù)。在這其中涉及到的三角形面積計(jì)算可以用我們新學(xué)的”解三角形”方法，以相鄰的兩條邊及其夾角的sin值互乘便可以得到了。那么棱錐的體積該如何求得呢？既然是一種特殊的棱柱，我們能不能從棱柱入手？其實(shí)可以。細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)棱柱可以通過(guò)切割形成棱錐，而根據(jù)祖庚原理可以得到當(dāng)一個(gè)棱柱/棱錐上下底面面積相同且高度相同時(shí)，那么體積也就相同。于是，我們便可以設(shè)計(jì)一個(gè)模型，將一個(gè)正三棱柱沿一底面邊切至另一個(gè)底面的角，得到一個(gè)斜棱錐。再將切割為四棱錐的多面體沿底面一邊切至另一底面的角，得到兩個(gè)三棱錐。這樣之后，我們驚奇的發(fā)現(xiàn)三個(gè)棱錐的體積居然都是相等的，因?yàn)槠涓吆偷酌婷娣e都能通過(guò)不同的角度而證明相等。于是，這樣一來(lái)我們便可以得到棱柱的體積推算方法，也就是其底面積乘高乘以1/3。對(duì)于高的推算，也可以使用特殊三角形解法，在橫截面上使用。

將來(lái)第三個(gè)出場(chǎng)的就是棱臺(tái)。以正棱臺(tái)為例，棱臺(tái)的表面積當(dāng)然是上下底面相加，在加上側(cè)面梯形的面積乘4。那么其體積怎么算？咋一看很難，但我們可以通過(guò)大棱錐減小棱錐的方式得到。但是在這里我們需要用橫截面的相似三角形用上底面的數(shù)據(jù)來(lái)表示無(wú)形棱錐的高度。通過(guò)比值可以得到是上底面邊長(zhǎng)乘棱臺(tái)之高除以上下底面邊長(zhǎng)之差。如此通過(guò)列式便可以得到1/3乘棱臺(tái)高度乘“上下底面面積與其乘積之二次根的和”。通過(guò)這樣的推導(dǎo)我們便可以輕而易舉的得出棱臺(tái)的體積。而在這個(gè)公式里，我們也可以回顧兩個(gè)數(shù)的三次方之差的轉(zhuǎn)換。其實(shí)三次方之差的轉(zhuǎn)換就是兩個(gè)多面體體積相減的部分，表示為a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）。a-b其實(shí)就是我們要求的高，而a2+b2+ab就是我剛唉提到的“上下底面面積與其乘積之二次根的和”。只不過(guò)最后的1/3體現(xiàn)在這是棱臺(tái)的體積計(jì)算，不是方體。

好，現(xiàn)在我們已經(jīng)得出了有關(guān)方體類立體圖形的探究，那么我們?cè)撊绾翁骄坑嘘P(guān)圓形和球形的立體圖形呢？

第一個(gè)出場(chǎng)的便是圓柱。其實(shí)，圓柱的屬性我們?cè)诹昙?jí)時(shí)就已經(jīng)探究過(guò)，因?yàn)槠渑c平面圖形～圓，有著密不可分的關(guān)系。很顯然，我們可以將其類比為一個(gè)圓沿垂直方向平移之后的軌跡。根據(jù)圓面積的表示方式兀r2，如果一個(gè)圓柱的高是h，可以很輕松的得出圓柱的表面積和體積，分別為2兀方+2兀方h以及兀r方h。

接下來(lái)第二個(gè)出場(chǎng)的便是圓錐。從二維至三維的平移角度，圓錐是一個(gè)等腰三角形或者直角三角形繞著垂線/一個(gè)直角邊平移形成的。如果從包圍角度，圓錐可以看作是一個(gè)底圓和一個(gè)扇形構(gòu)成的。如此，我們便可以憑借這個(gè)思路得出圓錐的表面積表示方法，如果一個(gè)圓錐的高是h，母線為l，表面積就等于兀r方+兀r方l。到這里我驚奇地發(fā)現(xiàn)絕對(duì)的表面積居然和同高圓柱的表面積成一比二的關(guān)系，這是為什么？這仍然是一個(gè)就給我們自我探究的問(wèn)題。那么我們?cè)撊绾伪硎緢A錐的體積呢？之前，我們憑借祖堩原理明晰了同高的棱柱體積和棱錐體積的關(guān)系，為3:1的關(guān)系。所以，類比棱柱和棱錐的關(guān)系，可以得到圓錐的體積也是同高同底圓柱的三分之一。所以圓錐的體積表示方式就是1/3兀r方h。

接下來(lái)第四個(gè)出場(chǎng)的就是圓臺(tái)。圓臺(tái)的表面積很好得到，其側(cè)面展開(kāi)圖類似一個(gè)梯形，可以（上底+下底）??高除以2的形式算出來(lái)，再加上上下底面兩個(gè)圓的面積就是表面積。于是最終，圓臺(tái)表面積就是[π l(R+r)]*[(R2+r2)π]。如果要求得圓臺(tái)的體積其實(shí)我們?nèi)匀豢梢灶惐壤馀_(tái)，也就是1/3* π * h (R2+Rr+r2）。通過(guò)類比還是可以很好地得到兩者的聯(lián)系的。

接下來(lái)第四個(gè)出場(chǎng)的就是球體。球體固然與圓離不開(kāi)關(guān)系，那么我們能否憑借圓的屬性求的球體的表面積和體機(jī)呢？也是可以的。根據(jù)祖堩原理可以得知在兩個(gè)平行平面之間所夾的兩個(gè)多面體，在以平行于已有平面的平面所切的任意橫截面相等，則這兩個(gè)多面體的體積也就相等。所以我們選擇了一個(gè)等高的半球體和一個(gè)圓錐鏤空的圓柱體。隨后發(fā)現(xiàn)兩者的中心截面積是相等的！所以我們便可以得出半球體的體積就是同高同截面圓柱體的2/3，也就是2/3πr2h=2/3πR3。有了半球體的體積公式，就可以得出球體的體積公式，×2可以得到4/3πR3。那么球體的表面積該怎么算？以球心為頂點(diǎn)，在球的表面上畫(huà)出幾個(gè)方格，方格與球心連接，并可以形成無(wú)數(shù)個(gè)棱錐。這些棱錐的下底面相加就是球體的表面積，所以我們可以以4/3πR3?R/3（R的1/3源自于其本身的體積公式）得出球體的表面積4πR2。

可見(jiàn)，立體圖形的探究與平面探究完全不同。三維的新視野可能會(huì)使我們不適應(yīng)，但是，一個(gè)新的空間可以給予我們更多的感知和體驗(yàn)，豐富我們的邏輯思維和想象力。同時(shí)在探究過(guò)程中，能夠清晰地發(fā)現(xiàn)對(duì)于難以解析的立體幾何因素，我們總會(huì)找到對(duì)應(yīng)的形式來(lái)解釋我們想要求得的結(jié)果。這無(wú)疑是一種極為奇妙和精密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，令我震撼。這不僅可以運(yùn)用于以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時(shí)可以應(yīng)用于生活，去解決更多實(shí)際問(wèn)題。這也是我們作為人應(yīng)當(dāng)?shù)玫降募寄堋?/p>