域的性質(zhì)：

形象地說，域有這樣一個性質(zhì)：在加法和乘法上具有封閉性。也就是說對域中的元素進(jìn)行加法或乘法運(yùn)算后的結(jié)果仍然是域中的元素。有一點(diǎn)要注意，域里面的乘法和加法不一定是我們平常使用的乘法和加法?？梢园袰語言中的與運(yùn)算和異或運(yùn)算分別定義成加法和乘法。但習(xí)慣上，仍然使用符號+ 和 * 表示加法和乘法運(yùn)算。

域有單位元和逆元兩個概念。

加法和乘法運(yùn)算都有對應(yīng)的單位元(這兩個單位元一般不同，但都用符號e表示)。單位元就像線性代數(shù)的單位矩陣。一個矩陣乘以單位矩陣等于本身。對應(yīng)地，在域中的單位元有：對于加法單位元，所有元素加上單位元e，等于其本身。對應(yīng)乘法單位元，所有元素乘上單位e，等于其本身。

逆元就像數(shù)學(xué)上的倒數(shù)，兩個元素互為對方的逆元。如果元素a和b互為加法逆元，那么就有 a + b = e。若互為乘法逆元，那么就有a * b = e。如果元素a在域中找不到另外一個元素b，使得a+b=e(a*b=e)，那么a就沒有加法(乘法)逆元。

逆元有什么用呢？其實逆元是用于除法運(yùn)算的。小學(xué)的時候老師都會教：除于一個分?jǐn)?shù)就等于乘以該分?jǐn)?shù)的倒數(shù)(分?jǐn)?shù)的倒數(shù)就是該分?jǐn)?shù)的乘法逆元)。所以要想除于某個數(shù)，可以乘以該數(shù)的逆元。

一個集合有加法單位元和乘法單位元，以及每一個元素都對應(yīng)有加法逆元和乘法逆元，是成為域的必要條件。需要注意：即使集合里面有元素0，并且0沒有對應(yīng)的乘法逆元，那么該集合也可能是一個域。因為并不要求0有乘法逆元。

一個域的例子就是我們平時熟悉的有理數(shù)集合，相應(yīng)的加法和乘法就是我們平時用的加法和乘法。其中，加法的單位元為0，有理數(shù)a的加法逆元就是其相反數(shù)。因為a + (-a) = 0(單位元)。乘法的單位元為1，a的乘法逆元是其倒數(shù)。因為a * (1/a) = 1。注意這里的元素0并沒有乘法逆元。