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1.2.5.舉出一個半群的例子，它不是含么半群；再舉出一個含么半群的例子，它不是群.
1.2.6.（這可作為群的另一定義，即群的單邊定義）設(shè) $G$ 是一個半群，如果
（a） $G$ 中含有左幺元 $e$ ，即對任意 $a\in G，ea=a$ .
（b） $G$ 的每個元 $a$ 有左逆 $a^{-1}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=e$ .
試證 $G$ 是群.
1.2.7.（這可作為群的另一定義：即群的除法定義）設(shè) $G$ 是半群，若對任意 $a，b\in G$ ，方程 $xa=b$ 和 $ay=b$ 在 $G$ 內(nèi)有解，則 $G$ 是群.
1.2.8.（這可作為有限群的另一定義）設(shè) $G$ 是一個有限半群，如果在 $G$ 內(nèi)左右消去律均成立，即由 $ax=ay$ 或 $xa=ya$ 可推出 $x=y$ ，則 $G$ 是群.
1.2.12.證明有理數(shù)加法群 $Q$ 和非零有理數(shù)乘法群 $Q^*$ 不同構(gòu).
1.2.13.證明：
（1）有理數(shù)加法群 $Q$ 和正有理數(shù)乘法群 $Q^+$ 不同構(gòu).
（2）實數(shù)加法群 $R$ 同構(gòu)于正實數(shù)乘法群 $R^+$ .
1.2.16.求有理數(shù)加法群 $Q$ 的自同構(gòu)群 $Aut（Q）$ .
1.2.19.群 $G$ 的自同構(gòu) $\alpha$ 稱為沒有不動點的自同構(gòu)，是指對 $G$ 的任意元 $g\not=1$ 有 $\alpha(g)\not =g$ .如果有限群 $G$ 具有一個沒有不動點的自同構(gòu) $\alpha$ 且 $\alpha^2=1$ ，則 $G$ 一定是奇數(shù)階 $Abel$ 群.
1.2.20.設(shè) $a，b$ 是群 $G$ 的兩個元，滿足 $aba=ba^2b，a^3=1，b^{2n-1}=1$ .試證 $b=1$ .
1.3.3.設(shè)群 $G$ 中兩個元 $g，h$ 可換， $o（g）=m，o（h）=n$ .記 $（m，n），[m，n]$ 分別是 $m，n$ 的最大公因子和最小公倍數(shù).則
（1）(1) $\quad o\left(g^{n} h^{m}\right)=\frac{[m, n]}{(m, n)}$
（2） $G$ 中存在階為 $（m，n）$ 的元；
（3） $G$ 中存在階為 $[m，n]$ 的元。
1.3.11.設(shè) $A≤G，B≤G$ .如果存在 $a，b\in G$ ，使得 $Aa=Bb$ ，則 $A=B$
1.3.14.設(shè) $A≤G$ ，試證 $C_{G} C_{G} C_{G}(A)=C_{G}(A)$ .
1.3.15.試證有限群 $G$ 的一個真子群的全部共軛子群之并不能覆蓋整個群 $G$ .結(jié)論對無限群是否成立？
1.3.16.設(shè)H和K分別是有限群G的兩個子群，試證： $|H g K|=|H|\left[K : K \cap g^{-1} H g\right]=|K|\left[H : H \cap g K g^{-1}\right]$
1.3.17.設(shè) $A$ 是群 $G$ 的具有有限指數(shù)的子群，試證：存在 $G$ 的一組元 $g_1，g_2…，g_m$ ，它們既可以作為 $A$ 在 $G$ 中的右陪集代表元系，又可以作為 $A$ 在 $G$ 中的左陪集代表元系.
1.3.18.令 $G=GL（n，C），P$ 是主對角線上的元均為 $1$ 的 $n\times n$ 上三角方陣全體形成的G的子群.確定 $N_G（P）$ ， $C_G（P）$ 和 $P$ 的中心 $Z（P）$ .
1.3.19.設(shè) $G$ 是有限 $Abel$ 群，試證 $g$ 對應(yīng)到 $g^k$ 是 $G$ 的一個自同構(gòu)當且僅當 $k$ 和 $|G|$ 互素.
1.3.20.設(shè) $G$ 是奇數(shù)階有限群， $a\in Aut（G）$ 且 $\alpha^2=1$ .令 $G_{1}=\{g \in G | \alpha(g)=g\}, \quad G_{-1}=\{g \in G | \alpha(g)=g^{-1}\}$ .
試證： $G=G_1G_{-1}$ 且 $G\cap G_{-1}=1$ .
1.3.21.設(shè)群 $G$ 的元 $a_1，a_2，b_1，b_2$ 滿足 $a_{1} b_{1}=a_{2} b_{2}=b_{1} a_{1}=b_{2} a_{2}, \quad a_{1}^{m}=a_{2}^{m}=b_{1}^{n}=b_{2}^{n}=1$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整數(shù).則 $a_1=a_2，b_1 =b_2$ .
1.4.1.證明 $Euler$ 定理：若 $n$ 是正整數(shù)， $a$ 是與 $n$ 互素的整數(shù)，則 $a^{\varphi(n)} \equiv 1（mod\ n）$
，其中 $\varphi（n）$ 是 $Euler$ 函數(shù)，即 $\varphi（n）$ 是與 $n$ 互素的不超過 $n$ 的正整數(shù)的個數(shù).
特別地，若 $p$ 是素數(shù)，則得到 $Fermat$ 小定理： $a^{p} \equiv a(\bmod p), \forall a \in \mathbb{Z}$
1.4.3.群 $G$ 沒有非平凡子群的充分必要條件是 $G=\{1\}$ 或是素數(shù)階循環(huán)群.
1.4.6.如果有限群 $G$ 有唯一的極大子群，則 $G$ 是素數(shù)冪階循環(huán)群.
1.4.8.設(shè) $p$ 是一個素數(shù)， $G={x\in C|存在正整數(shù)n使得x^{p^n}=1}$ ，則 $G$ 對于復(fù)數(shù)的乘法作成群.試證 $G$ 的任意真子群都是有限階的循環(huán)群.
1.4.9.若群 $G$ 只有有限多個子群，則 $G$ 是有限群.
1.4.10.有理數(shù)加法群 $Q$ 不是循環(huán)群，但它的任意有限生成的子群都是循環(huán)群.
1.4.11.在 $n$ 階循環(huán)群 $G$ 中，對 $n$ 的每個正因子 $m$ ，階為 $m$ 的元恰好有 $\varphi（m）$ 個，其中 $\varphi（m）$ 是與 $m$ 互素且不超過 $m$ 的正整數(shù)的個數(shù).由此證明等式 $\sum_{m|n} \varphi(m)=n$
1.4.12.設(shè) $G$ 是一個 $n$ 階有限群，若對 $n$ 的每一個因子 $m，G$ 中至多只有一個 $m$ 階子群，則 $G$ 是循環(huán)群.
1.4.13*.群 $G$ 是循環(huán)群當且僅當 $G$ 的任一子群形如 $G^{m}=\left\{g^{m} | g \in G\right\}$ ，其中 $m$ 是非負整數(shù).

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