㈠基本定義
1. 相似變換
存在一個(gè)可逆陣P，使 P?1AP = B，
? ? 則A與B相似，記作A~B
理解：矩陣相似變換，就是矩陣A經(jīng)過一個(gè)變換之后，n個(gè)維度的放大倍數(shù)(特征值)不變，這個(gè)新的線性變換B與原來的線性變換A相似。
2. 相似對角化(矩陣和對角陣相似)
? ? ? ?可逆P，使P?1AP = Λ=diag(λ?, λ?,..., λn)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 AP = PΛ
? ? ? 其中，P的列向量為A的特征向量
? ? ? ? ? ? ? ? ? P=(ξ?, ξ?,..., ξn)
? ? 3.相似是一種特殊的等價(jià)，是一種QAP=B中滿秩矩陣Q=P?1的特殊形式。所以矩陣相似符合等價(jià)矩陣的一切性質(zhì)。
㈡相似性質(zhì)的應(yīng)用
1. A~B的性質(zhì)
⑴A~B必要條件(跡秩列值, 用于否定相似條件)
? ? ?tr(A)=tr(B)，?r(A)=r(B)，
? ? ? | A | = | B |，?| A-λE | = | B-λE |
⑵若A~B，則
? ? A*~B*，A?1~B?1，A?~B?，A?~B?
? ? kA~kB，(kA?+nE)~(kB?+nE)
2. A可相似對角化的判定
? ⑴基本原則(充要): A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量
? ⑵ 推論1: A有n個(gè)不同的特征值, 可對角化
? ? ? 推論2: A的λi的無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)，等于λi的重根數(shù)，則可對角化
? ⑶實(shí)對稱陣A?=A, A必可相似對角化
? ⑷用矩陣方程判斷“可相似對角化”
? ? 技巧: 只要能移項(xiàng)成為
? ? ? ? ? (k?A+m?E)(k?A+m?E)=O的矩陣方程
? ? ? ? ? 都可以相似對角化。
? ? 例如: A2=A, A2=E, A2=O, A2+A-2E=O
? ? ①利用基礎(chǔ)解系的秩
? ? ? ?矩陣方程化為乘積為零形式(AB=O)
? ? ? ? r(A)+r(B)≤n（n是A的列數(shù)）
? ? ? ?設(shè)r(A)=r, 則r?? = n-r
? ? ? ?又r(B)≤n-r, 則r?? ≥ n-(n-r) = r?
? ? ? ?則A的線性無關(guān)的特征向量數(shù)
? ? ? ? n?=r??+r??≥n
? ? ? ?由n?≤n，故n?=n
? ②利用秩的性質(zhì)
? ? ? ?矩陣方程移項(xiàng)? A(A-E)=O
? ? ? ? r(A)+r(A-E)≤n（n是A的列數(shù)）
? ? ? ?由r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ r(A+E-A)=r(E)=n
? ? ? ?r(A)+r(A-E)=n
? ? ? ?n?=r??+r??=n-r??+n-r??=n
? ⑸全部特征值相等λi=λ，但不是對角陣的矩陣，不可相似對角化
? ? ? 證明: 特征方程的(A-λE)x=0沒有n個(gè)線性無關(guān)的解, 因系數(shù)矩陣(A-λE)不是O矩陣。
? ⑹二階矩陣對角化的特殊性質(zhì)
? ? ? ①二階矩陣行列式小于零( | A |＜0 )
? ? ? ? ? 則A必有2個(gè)不同的λ
? ? ? ②副對角線乘積大于零
? ? ? ? ? 則A必有2個(gè)不同的λ
? ? ? ③和對角陣可交換AΛ=ΛA(僅二階適用)
? ? ? ? 用矩陣暴力設(shè)方程, 輕松證明
3. A與B相似的判定步驟
? ? ①判斷特征值是否相等
? ? ? ? ? ?四個(gè)必要條件
? ? ? ? ? （跡，秩，行列式，特征多項(xiàng)式）
? ? ? ? ? ?按順序判斷，任何必要條件不符合
? ? ? ? ? ? ? 則特征值不相等，必然不相似
? ? ②如果特征值全相等
? ? ? ? ? ?若A, B均可相似對角化
? ? ? ? ? ? ? 則A~B
? ? ? ? ? ?若A, B中僅一個(gè)可相似對角化
? ? ? ? ? ? ? 則A, B不相似
? ? ? ? ? ?若A, B均不可相似對角化
? ? ? ? ? ? ? ? ⅰ. 若階數(shù)≤3, 考察r(A-λE)=r(B-λE)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對每個(gè)λⅰ考察特征矩陣的秩
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若每個(gè)λi都符合條件，則A~B
? ? ? ? ? ? ? ? ⅱ. 若階數(shù)≥4，暴力求解
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)一個(gè)可逆的P，考察AP=PB
