剛體運動學(xué)（4）：凱利-克萊因參數(shù)

\mathrm{\mathbf{I.}}動機

涉及到歐拉角的矩陣變換含有大量的三角函數(shù)，不適合用于數(shù)值的計算。為克服這一障礙，在歷史上，費利克斯·克萊因在求解復(fù)雜的陀螺儀積分問題時，便使用了一組四個的參數(shù)來描述陀螺儀的運動。于是這四個參數(shù)在后來就被稱為凱利-克萊因參數(shù)（Cayley-Klein parameters）。

\mathrm{\mathbf{I\!I.}}記號

凱莉-克萊因參數(shù)均為復(fù)數(shù)，記為\alpha,\beta,\gamma,\delta，

\alpha = e^{i(\psi + \phi)/2}\cos\frac{\theta}{2}

\beta = ie^{i(\psi - \phi)/2}\sin\frac{\theta} {2}

\gamma = ie^{-i(\psi - \phi)/2}\sin\frac{\theta}{2}

\delta = e^{-i(\psi + \phi)/2}\cos\frac{\theta}{2}

存在約束條件\beta = -\gamma^{\ast};\quad \delta = \alpha^{\ast}

轉(zhuǎn)動算符\rm{R}可以被進一步表示成

\rm{R } (\alpha,\beta,\gamma,\delta) = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}(\alpha^2 - \gamma^2 + \delta^2 - \beta^2) & \frac{i}{2}(\gamma^2 + \alpha^2 + \delta^2 - \beta^2 ) & \gamma\delta - \alpha\beta\\\frac{i}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 - \beta^2 - \delta^2) & \frac{1}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 + \beta^2 + \delta^2) & -i(\alpha\beta + \gamma\delta)\\\beta\delta - \alpha\gamma & i(\alpha\gamma + \beta\delta) & \alpha\delta + \beta\gamma\end{bmatrix}

\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}歐拉參數(shù)

由于\rm{R}是實矩陣，不妨定義

\alpha = e_0 + ie_3

\beta = e_2 + ie_1

\gamma = -e_2 + ie_1

\delta = e_0 - ie_3

其中，四個參量e_0,e_1,e_2,e_3均為實數(shù)，被叫做歐拉參數(shù)（Euler parameters），歐拉參量之間的關(guān)系有

于是，轉(zhuǎn)動算符\rm{R}也可以表示成如下形式

\rm{R}(e_0,e_1,e_2,e_3) = \begin{bmatrix}e_0^2 + e_1^2 - e_2^2 - e_3^2 & 2(e_1e_2 + e_2e_3) & 2(e_1e_3 - e_0e_2)\\2(e_1e_2 - e_0e_3) & e_0^2 - e_1^2 + e_2^2 - e_3^2 & 2(e_2e_3 + e_0e_1)\\2(e_1e_3 + e_0e_2) & 2(e_2e_3 - e_0e_1) & e_0^2 - e_1^2 - e_2^2 + e_3^2 \end{bmatrix}

\bullet用上述參數(shù)表示的轉(zhuǎn)動算符同樣也不也能被分解成含有反演算符\rm{S}的形式。

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