第20課 克拉默法則、逆矩陣、體積

介紹行列式的應(yīng)用（公式，性質(zhì)）

逆矩陣公式

逆矩陣公式（代數(shù)表達(dá)式）
\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\ \rightarrow A^{-1} =\frac{1}{|A|}C^T
代數(shù)余子式組成的矩陣記作C，C^T稱作伴隨矩陣

|A|由n個元素的乘積組成

C^T各元素由n-1個乘積組成

檢驗：
AA^{-1}=I\rightarrow A\frac{1}{|A|}C^T=I\rightarrow AC^T=I|A|

\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}|A|&0&\dots&0\\0&|A|&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&|A|\end{bmatrix}

第一行的元素乘以基它行的代數(shù)余子式等于0

某行元素乘以對應(yīng)的代數(shù)余子式，各項相加，結(jié)果等于行列式的值

此時元素的代數(shù)余子式都來自同一行，如果元素來自第一行，而代數(shù)余子式來自第二行，它們結(jié)合的結(jié)果等于0，得仔細(xì)推敲

克萊姆法則

Ax=b\rightarrow x=A^{-1}b=\frac{1}{|A|}C^Tb

克萊姆法則:
x_1=\frac{|B_1|}{|A|};x_2=\frac{|B_2|}{|A|};x_j=\frac{|B_j|}{|A|}\\ B_1=\begin{bmatrix}b&A_{col_2}&\dots&A_{col_n}\end{bmatrix}（A的第一列用b代替）\\ B_j=\begin{bmatrix}A的第j列用b代替\end{bmatrix}
克萊姆法則提出了一個代數(shù)表達(dá)式，能進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，而不只是寫算法（計算會很復(fù)雜，中看未必中用，用消元法更直接）

行列式的應(yīng)用

行列式求體積：行列式的值等于一個箱子的體積。

detA有正有負(fù)，正負(fù)代表箱子是右手系或是左手系的，體積為正等于行列式的絕對值|detA|

例：行列式性質(zhì)第3條b點(diǎn)，求平行四邊形面積
行列式面積

\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}

area=det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc

三角形面積：
area=\frac{det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{2}=\frac{ad-bc}{2}
不在原點(diǎn)的三角形面積：
area=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}

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