無邊的奇跡源自簡單規(guī)則的無限重復?！猙enoit mondelbrot
人類的理性的認知范圍總是在不斷擴大，從離散數學到無理數的發(fā)現引發(fā)了第一次數學危機，再到復數的引入進一步擴大了數系。以前人們對于維度的認識也是限于整數維度的（這有點像之前畢達哥拉斯學派對于整數的堅持），超立方體的出現，數學家對高維坐標的構造，都是限于離散維度的。分形的出現，引入了豪斯道夫維度（即分數維度）來描述其特殊的存在維度，一下子讓人類對維度的認知進入了另一個層次——即維度是連續(xù)的而非離散的。
豪斯道夫維度的引入最初見于一個處處不可導的曲線的構造和三分康托集。康托構造了這樣的一個集合：對于一條長度為一的線段，將其等份成三分，舍去中間的一份，再對剩下的兩份進行相同的操作無限次，最終相當于得到了一個離散的點集，即康托集。雖說經無數次操作相當于一個離散點集，但說其為點集又有點過。豪斯道夫維度可以描述經無數次操作得到的集合的維度。例正方體的邊長之比為1:x，體積之比為1:x^3，其豪斯道夫維度為3，也是三維。對于康托集的維度計算，一個康托集包含兩個子集，相似比為1:3，則其豪斯道夫維度為log3 （2），是介于點和線之間的維度。
引入豪斯道夫維度來描述分形圖形的維度，因為分形的構造是經無數次簡單規(guī)則迭代形成，一般的分形圖形的維度介于整數維度之間。分形圖形打破了傳統(tǒng)的維度觀。正是因為經過無數次相同的操作，使分形圖形具有自相似性。這種分數維度的形成也是因為其自相似比與其所占空間比的關系不為整數。
自相似，即圖形的每一部分與原圖相似，無限放大均是與原圖相似的。一個很美的分形圖形，科赫雪花便很好的展現了這種自相似性。其構造方式如下：對于一個等邊三角形的每一條邊三等分，將中間的一邊換成等長的兩邊，再對每一條邊進行相同的操作無限多次，即可得到科赫雪花。對于每一條邊，包含4個科赫曲線，相似比為1:3，科赫雪花的豪斯道夫維度為log3 （4），介于一維和二維之間。每一條科赫曲線的每一條小邊又是另一條科赫曲線。這是自相似性的體現。
正是這種因無限次相同操作引起的自相似性，引發(fā)了一場不僅在數學界的革新，還在現代哲學的世界觀和方法論上的革新。這種自相似性與老子的“人法地，地法天，天法道，道法自然”和萊布尼茲的“單子”相似。這種自相似性，給出了一種從局部感知整體的思想，給出了人類感知無限的可能。
分形的另一美麗之處即為有限與無限的結合。再接著說科赫曲線吧，每一次操作，一個科赫曲線包含4個科赫曲線，長度變?yōu)?／3，則每一次操作之后，長度增加4／3，進行無限次操作之后長度增加（4/3）^n，這是一個趨近正無窮的數，即無數次操作之后，長度變?yōu)檎裏o窮。但是科赫雪花的面積收斂到4/5 － 4/5 ＊ （4/9）^n，趨近于4/5，是一塊有限的面積，這是有限的面積和無限的長度的結合。這種有限與無限的結合，有違常理，卻又客觀存在。曼德爾布羅特提出分形這一課題時的論文《英國的海岸線有無限長》 ，英國的面積有限，卻擁有無限長的海岸線，現在測量海岸線也是一個難題。又如人體表面積的測量，人體表面介于二維和三維之間。英國海岸線的豪斯道夫維度為1。26，介于一維和二維之間。這種在低緯度無限，高維度有限的存在，連接了有限和無限。這又是分形引發(fā)的另一個革新。
分形的另一美麗之處便是結合了數學中的數形結合與極限思想。分形的皇冠當屬是曼特爾布羅特集。對于復數函數f（x）＝ x ^ 2 ＋ c，
c取不同的復數，關于x的函數都有在一定范圍內的x的取值使f（x）迭代無數次的值約束在一定范圍內。對于滿足條件的的復數c的取值即為曼特爾布羅特集。在復平面上表示曼特爾布羅特集，將得到一個美麗的分形圖形。其構造，通過迭代無數次，使函數值約束在有限范圍內，結合了有限與無限；在復平面可以表示集合元素的取值，體現了數形結合。無論從哪個方面來看都是美麗的。曼特爾布羅特集的局部放大圖曾被用于制作一串鉆石項鏈，但我并不想用應用來修飾其美麗，我僅想用純數學的方式來描述它的美麗：令fc（x）＝ x ^ 2 + c, {c | lim fc^n(0) /=? 無窮} （原諒QQ沒有公式編輯器 QAQ）。曼特爾布羅特集僅由簡單的函數迭代形成，一個簡單的操作進行無限多次形成美麗的分形圖形。其發(fā)現者曼特爾布羅特曾說過：無邊的奇跡源自簡單規(guī)則的無限重復。正如天文學不止是一堆望遠鏡，數學不只是一堆公式。
我一直認為數學中，科學中，哲學中的一些思想是相通的，正如同之前我認為對稱思想的美麗，分形的自相似性也將作為另一個基本思想，它將提供一種以小觀大的可能，但又無法完全的在低維觀察全局。我也一直認為無限是一種很奇特的思想，以前有一位物理學家說過這么一句話“當物理學家研究到最后，就會發(fā)現研究相對論和量子力學得到的是同一個東西”。前者研究宏觀，后者研究微觀，一個是極大，一個是極小，無限之美。人類對于宇宙的探索的廣度還在擴大，粒子的微小也還在突破，創(chuàng)生之柱與下夸克一樣揭示著同一真理。分形統(tǒng)一了有限和無限，并以其自相似性給我們無限的暗示。分形提出較晚，于上世紀初才提出，但是這一課題將為我們的理性探索本源的一些東西提供另一種思想。
期待進一步發(fā)展的分形帶給人類的革新。
——寫于高三
