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? ? ? ? 數(shù)學到底是不是深奧艱澀呢？對于數(shù)學家來說，這的確是一個復雜的問題。在一般人的觀念中，數(shù)學的確讓人感到高深莫測。但是我覺得深奧艱澀并不意味著數(shù)學課程有多難，只是說數(shù)學課程的應用有著較大的局限性，與人們的思想意識較少發(fā)生直接聯(lián)系。數(shù)學是教育過程中不可缺少的一個環(huán)節(jié)，在教育中應該加強數(shù)學教育。正是數(shù)學的抽象特質(zhì)賦予了數(shù)學永恒的真理。
? ? ? ? 數(shù)學怎樣在人文教育中有用？數(shù)學是教育過程中不可缺少的一個環(huán)節(jié)，但在現(xiàn)實情境中，我們往往發(fā)現(xiàn)人們的數(shù)學素養(yǎng)普遍偏低。加強數(shù)學教育并不是說要盲目地學習更多的數(shù)學知識，而是首先要理解問題所在，找出阻礙數(shù)學廣泛應用的真正原因。在數(shù)學教育的任何一個階段，我們都要嚴格排除一些不合時宜的因素，呈現(xiàn)給年輕學生的科學不應顯得深奧?？茖W教育應該直接地、簡單地傳遞若干具有重要意義的一般原理。數(shù)學教育的根本目的是為了讓學生熟悉抽象的思維方式，懂得理論的實際運用，掌握方法的恰當使用。數(shù)學教材的編排非常重要，關(guān)系到學生能否從中理解數(shù)學的基本知識。數(shù)學教材中的例子應該直接明了地證明相應的數(shù)學公理。所舉的例子可以是抽象的情景，也可以是具體的現(xiàn)象。只要教師覺得合適，這樣的例子就多多益善。需要強調(diào)一點，數(shù)學教材中的這部分內(nèi)容。萬萬不可簡而化之。數(shù)學考試中往往也會考察類似的類似問題的解決，這就需要學生通過諸多例題來掌握復雜數(shù)學知識的實際應用。數(shù)學的主要知識點其實并不高深莫測，只能說是比較抽象。在人文教育中開展數(shù)學教育，其中的目的之一就是為了訓練學生的抽象思維能力。數(shù)學中包含著許多抽象的知識形式，是人們進行精確思維的重要基礎(chǔ)。
? ? ? ? 3.? 數(shù)字、數(shù)量、空間的關(guān)系? 在我們的教育過程中，數(shù)學一般體現(xiàn)為三個方面：數(shù)的關(guān)系、量的關(guān)系、空間的關(guān)系。當然，學校教育中的數(shù)學并不等同于科學研究中的數(shù)學，后者的內(nèi)容要更為寬泛。我們現(xiàn)在所談?wù)務(wù)摰氖菍W校教育中的數(shù)學課程數(shù)、量、空間，這三個方面是相互聯(lián)系的。在教育過程中，我們的教學順序是從特殊到一般，那么在數(shù)學教育中，我們就要讓學生通過簡單的例題的練習來掌握相應的知識點。也就是說，數(shù)學教育不應該是盲目地教給學生一個又一個數(shù)學公理，而應該讓學生認識到，他們以前所學習的各種知識其實都是與數(shù)、量、空間有關(guān)系的，這才是數(shù)學教育的要義所在。從特殊到一般，這種教育方式是形成所有哲學思想的根本基礎(chǔ)。實際上，任何一個人只要恰當?shù)卣莆樟藬?shù)學的基礎(chǔ)知識，它都能具備哲學思想的基本素養(yǎng)。但是，在數(shù)學教育中，我們務(wù)必要避免一點極數(shù)學知識點的盲目累加，不管做多少例題，不管學多長時間，所學習的例題必須要用于掌握數(shù)學課程的核心知識。通過這種方式，也只有通過這種方式，我們才能去除數(shù)學的深奧艱澀。這里所談的數(shù)學教育并不特別針對兩類學生，一類學生將來會成為專業(yè)的數(shù)學家，另一類學生在將來的專業(yè)中需要運用比較復雜的數(shù)學知識，我們指向的是所有學生的人文素養(yǎng)，包括前面所說的兩類學生。因此數(shù)，數(shù)學課程應該圍繞一些簡單的知識點展開，通過具體的例題進行講解。數(shù)學教育必須目的明確，要和前面所講的專業(yè)數(shù)學研究，嚴格區(qū)分開來。
? ? ? 4.通過復習引導進一步發(fā)展在基礎(chǔ)教育結(jié)束的時候，對那些天資比較聰明的學生來說，該如何復習總結(jié)呢？首先，學生應該能夠?qū)σ呀?jīng)學習的數(shù)學知識，有一個總體的把握，不一定是面面俱到，無一疏漏，但是要清楚核心的知識，懂得數(shù)學的要義，為將來的進一步學習打下扎實的基礎(chǔ)。另外，對于分析數(shù)學和幾何學這兩類知識來說，學生可以直接運用于物理實驗室，設(shè)置一個簡單的力學實驗，驗證所學的相關(guān)知識。這樣的應用具有雙重的意義，一方面學習物理知識，一方面學習數(shù)學知識，兩者互為印證。數(shù)學知識，在力學原理的精確驗算是非常關(guān)鍵的。通過數(shù)學的應用，學生就會逐漸明白精確的自然規(guī)律，那些規(guī)律在我們的經(jīng)驗中，在多大程度上得以驗證，以及抽象思維在自然規(guī)律的驗算中所起到的作用。這個過程的目的就是讓學生通過詳實而具體的例證來掌握知識要點，而不是死記硬背一些條條框框。數(shù)學教育的意義不在于作圖本身，而在于做圖背后的教育理念，就像一支槍背后的那個持槍人一樣，教育行為的有效性取決于相應的教育理念，如何定位。在數(shù)學教育中，我們可以如此這般地把函數(shù)運用于物理定律的演繹之中。除此之外，數(shù)學知識還可以運用在其他的實踐領(lǐng)域。只要在這個實踐領(lǐng)域中存在著精確的客觀規(guī)律，而這個客觀規(guī)律無法通過自然觀察得出準確結(jié)果，但是可以通過簡單的數(shù)學計算而得出。同時，這樣的數(shù)學計算過程往往就成了數(shù)學知識，客觀應用的代表性案例。統(tǒng)計學就是其中的另外一個代表性案例。凡是統(tǒng)計都要牽涉大量的數(shù)據(jù)，卻可以通過數(shù)學輕而易舉地解決和驗證。一般情況下，只要稍微學點兒統(tǒng)計方法，就可以對社會現(xiàn)象進行統(tǒng)計分析，這就是一個最簡單的數(shù)學知識應用。除此之外，學生還可以通過數(shù)學史來學習數(shù)學。我們不用把數(shù)學史僅僅看作年代人民的簡單拼湊，數(shù)學史的要義在于闡述過去的數(shù)學思想潮流，那些思想潮流什么時候首次出現(xiàn)并得到了人們的關(guān)注。我之所以提出數(shù)學史這個問題，是因為我覺得我們可以運用數(shù)學史進行教學，也許可以幫助我們?nèi)〉幂^最為理想的效果。
? ? ? ? 5? 邏輯方法訓練的主要手段到目前為止，我們討論的是兩個主要的問題，即量的概念和自然規(guī)律。人文教育體系中的數(shù)字課，數(shù)學課程必須要重視這兩個問題。另外，數(shù)學還有一個方面不容忽視，即作為邏輯方法訓練的必備工具。
? ? ? ? 那么，什么是邏輯方法？如何訓練一個人的邏輯方法呢？如果要想成為一個嫻熟的邏輯推理者，或者只是想用邏輯推理的基本知識，啟發(fā)普羅大眾的心智，一般的推理知識或者推理活動是遠遠不夠的。邏輯推理的要義在于準確把握關(guān)鍵問題，抓住核心證明要點，不斷提出相關(guān)事實。只有經(jīng)過長時間的練習，學會牢牢抓住中心思想，一個人才有可能領(lǐng)會邏輯推理的藝術(shù)。就此而言，我認為幾何比代數(shù)更適合用于訓練人們的推理能力。相對來說，代數(shù)公式運算難以一目了然，而幾何空間圖形則是直接醒目的。在幾何的運算過程中，顏色、味道、重量諸如此類不相干的物質(zhì)屬性統(tǒng)統(tǒng)被忽略掉，這樣的簡化過程或者抽象過程本身就十分具有教育意義。另外，幾何中的定義或者未經(jīng)證明的命題都需要相應的幾何問題事實清楚，關(guān)系明晰。所下定義或者所做命題，只是證明幾何問題的開端而已。隨著幾何問題的不斷證明，其中的邏輯推理就愈發(fā)明顯。在幾何的學習過程，中學生也不會像學習代數(shù)一樣，面對問題的符號抽抽象，不管是什么樣的抽象符號，都會干擾規(guī)律的記憶。在幾何學習中，只要引導得當，在每一個階段的每一個要點上，學生的邏輯推理就能逐步展開。
? ? ? ? 我把幾何學習的過程分為五個階段，第一個階段的任務(wù)是學習全等。在數(shù)學教育中，我們需要認真學習全等的概念和表現(xiàn)，更要認真領(lǐng)會全等所蘊含的邏輯推理思想和科學理論價值。
? ? ? ? 第二個階段的任務(wù)是學習相似，相似概念是全等概念的延伸。
? ? ? ? 第三個階段的任務(wù)是學習三角形原理三角學，研究相似圖形的關(guān)系問題和圖形旋轉(zhuǎn)中的周期性問題。三角學有如下的意義，一、驗證全等和相似中的一些定理。二解決測量中的一些問題，三演繹有關(guān)周期和波動的一些函數(shù)。圍繞這三個方面，通過數(shù)學教材的學習和實際應用的鍛煉，學生就會在三角學中有所收獲。
? ? ? ? 第四個階段，開始學習解析幾何。在代數(shù)函數(shù)的學習過程中，我們有時候可以運用圖形予以證明，已經(jīng)涉及了數(shù)形結(jié)合的基本思想，解析幾何中的針對性更為明顯，借助于相應的方程式去分析直線、圓、三種圓錐曲線。
? ? ? ? 第五個階段是要學習有關(guān)投影幾何的內(nèi)容。按投影幾何的核心概念是交比和投影。只要任何圖形之間存在著共同的性質(zhì)，就可以推理證明相關(guān)圖形之間的相互關(guān)系，這就是投影幾何的理論意義。經(jīng)過投影變換后，幾何圖形的投影性質(zhì)保持不變，這是投影幾何中的一個核心思想。交比概念主要是用來對幾何圖形的投影變換進行計算和度量。我們要針對若干少量命題來展開投影幾何的教學，以此讓學生學習，其中蘊含的兩個有緊密聯(lián)系的過程。第一個是簡化過程，這種簡化是心理上的，而不是邏輯上的，因為一般情況下，幾何投影中的邏輯關(guān)系是最為簡單的，而學生需要證明的投影關(guān)系往往是他們已熟知的或是明白易懂的。第二個是演繹過程，只要學生能夠借助一定手段發(fā)現(xiàn)某種投影，或者能夠通過一定的標準檢驗某種投影，就可以遵循從一般到具體的原則進行充分演繹。以上所羅列的五個教學步驟并不復雜，屬于一種理想化的幾何教學模式。在我們實際的幾何教學中，數(shù)學教材就每一個階段所展示的演繹推理甚為寥寥。
? ? ? ? 對此，我們必須予以充分重視，讓學生通過具體的例子認識每一個幾何命題的重要意義。演繹推理過程可以通過教師的講解進行演示，也可以通過學生的運算進行證明，只要能夠幫助學生理解相關(guān)演繹推理的意義即可。只有這樣，學生才會懂得如何分析空間圖形的主要性質(zhì)，也才會懂得基本方法的實際運用。如果以這樣的理想來實施數(shù)學教育，學生就能從中得到一些基本的數(shù)學知識，用于對客觀世界作出科學的探究和哲學的思考。在此過程中學生的邏輯方法也能夠得以鍛煉。在此基礎(chǔ)上，開拓教育視野，強化哲學思維。改變數(shù)學教育需要一步一步的進行，例如先編寫必要的新教材。然后，改革數(shù)學考試，強化數(shù)學中非技術(shù)性的一面。
? ? ? ? 附：笛卡爾方法論笛卡爾在方法論中指出，研究問題的方法分四個步驟。
? ? ? ? 一、不接受任何自己不清楚的道理，盡量避免偏見，要根據(jù)自己非常清楚和確定的判斷，不管是什么權(quán)威的結(jié)論都是可以懷疑的。
? ? ? ? 二、如果要研究的問題復雜。就盡量將其分解為多個比較簡單的小問題，一個一個的解決。
? ? ? ? 三，把小問題從簡單到復雜進行排列，先從容易解決的問題入手。
? ? ? ? 四，問題解決之后再綜合起來檢驗。近現(xiàn)代西方科學研究的方法，基本上是按照笛卡爾的方法論進行的。笛卡爾方法論對西方科學的飛速發(fā)展起了極大的促進作用。
