多水平模型打破“獨立”條件
廣義線性模型除要滿足“線性”這一條件外，還有一個重要的條件就是“獨立性" 。如果不滿足線性條件，可以考慮廣義可加模型；如果不滿足獨立性條件，則可以考慮多水平模型（Multilevel Model)。
1、什么是多水平？
（1）不難理解，所謂多水平數(shù)據(jù)，也就是自然形成的層次數(shù)據(jù)。
（2）在多水平數(shù)據(jù)中，最低層次稱為水平1, 往上依次稱為水平2 、水平3。如村民是水平1單位，村是水平2單位， 縣是水平3單位。
2、多水平數(shù)據(jù)的非獨立性
（1）調(diào)查30個村，每個村調(diào)查100人的飲食情況，對于每個村內(nèi)的村民而言，他們很可能有類似的飲食習(xí)慣（如都喜歡吃咸），從而可認(rèn)為村內(nèi)的村民之間并不是獨立的。
（2）觀察60人，每人觀測5個時間點，了解他們的血壓值情況，對于同一個人而言，在5個時間點的血壓值應(yīng)該是差不多的，不會有太大的波動，從而可認(rèn)為每個人的不同時間的觀測值并不是獨立的。
3、多水平模型的不同叫法
多水平模型在不同領(lǐng)域有不同的稱謂，如分層線性模型(Hierarchical Linear Model) 、混合效應(yīng)模型(Mixed Effect Model) 、隨機(jī)效應(yīng)模型(Random Effect Model) 、隨機(jī)系數(shù)模型(Random Coefficient Model) 、方差成
分模型(Variance Component Model) 等，其實表達(dá)的意思都差不多，都是處理多水平數(shù)據(jù)的模型。
3、多水平模型的思想
（1）多水平模型的思想要稍微復(fù)雜一些，因為它同時包含了多個水平的數(shù)據(jù)，從而在多個水平上都存在殘差?？偟膩碚f，其思想就是把高水平上的差異估計出來（傳統(tǒng)的線性模型不考慮這一差異，將其放到了殘差中），這就使得殘差變小，估計的結(jié)果更為可靠。
（2）雖然理論上多水平模型可以有多個層次，但實際中最常用的是二水平模型。
4、一個例子-二水平模型
下表是12名兒童在30 、36 、42 、48個月時認(rèn)知能力得分的測量結(jié)果（認(rèn)知能力得分），目的是想了解年齡對認(rèn)知能力得分是否有影響。（只標(biāo)注出一部分）
該數(shù)據(jù)是一份二水平數(shù)據(jù)，其中兒童個體為水平2單位，測量的時間點為水平1單位。
如果用常規(guī)的線性模型擬合，就是將所有的48個數(shù)據(jù)建立線性模型。
（1）這個模型是將12名兒童的數(shù)據(jù)合起來建立的，因此有時也稱合并模型(Pooled Model)。
它暗含了一個假定條件：12 名兒童的認(rèn)知能力得分隨年齡變化的截距和斜率都是相同的，而實際上卻未必如此。（類似于4個社區(qū)SO2的統(tǒng)計結(jié)果）
（2）12 名兒童的認(rèn)知能力得分隨年齡的變化情況，可以看出，有的是隨年齡增長，有的則是隨年齡降低；即使在增長的兒童中，其增長速度也各不相同，有的增長快，有的增長慢。
（3）也就是說，每個人（水平2單位）的認(rèn)知能力得分隨年齡的變化可能有不同的截距和斜率，而傳統(tǒng)線性模型則忽略了水平2單位上的差異。那么，既然它沒有考慮到水平2單位上的差異，而水平2單位又確實存在差異，那這一差異去哪兒了呢？被線性模型歸到誤差中去了，
從而導(dǎo)致誤差增大。
（4）怎樣找出這種差異呢？
很自然的一個想法是利用虛擬變量回歸，將12 名兒童的認(rèn)知能力得分隨年齡變化的截距差異和斜率差異估計出來，這樣就可以反映出水平2 單位之間的差異，這種方法一般稱為固定效應(yīng)模型(Fixed Effect Model)。
但是固定效應(yīng)模型有一個問題： 12名兒童就需要估計11個虛擬變量，當(dāng)水平2單位更多的時候（如120名兒童），需要估計的參數(shù)太多，用虛擬變量就會消耗太多的自由度，估計結(jié)果不可靠，而且也沒什么實際意義。因為我們并不關(guān)注具體誰和誰之間的差異有多大，我們只要知道這些兒童之間總的有多大差異就行了。這時候用固定效應(yīng)模型就不大合適，而應(yīng)采用隨機(jī)效應(yīng)模型(Random Effect Model), 也就是多水平模型。
（5）多水平模型
多水平模型是把水平2單位看作從一個更大的總體中隨機(jī)抽樣的個體，個體之間的差異是服從某種特定分布（如正態(tài)分布）的隨機(jī)變動。這樣，我們只要把這種分布的均數(shù)和方差估計出來，就可以反映出這些水平2 單位圍繞均值的波動大?。ㄗ儺惔笮。?。不管是12人還是1200人，都只需要一個均值和方差便可以描述其變異大小。
5、多水平模型的分類
多水平模型根據(jù)實際情況一般可分為兩大類：隨機(jī)截距模型和隨機(jī)斜率模型。
（1）隨機(jī)截距模型
這種模型假定水平2 單位之間僅截距不同，斜率是相同的。如下圖12名兒童的認(rèn)知能力得分隨年齡變化的斜率都相同，但截距不同。
（2）隨機(jī)斜率模型
這種模型假定水平2 單位之間不僅截距不同，而且斜率也不同。下圖12 名兒童的認(rèn)知能力得分隨年齡變化的截距和斜率都不同。
上述兩類模型不做具體分析，只把握其思想，后續(xù)具體問題具體分析。
