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形態(tài)學(xué)圖像處理

以下為二值圖像

有結(jié)構(gòu)元 $B$ ，集合 $A$ 。結(jié)構(gòu)元具有原點(diǎn)，原點(diǎn)可以自己確定，一般為重心位置。

腐蝕

$A{\ominus}B=\left\{z|(B)_z{\cap}A^c={\phi}\right\}$

$A^c$ 為A的補(bǔ)集。結(jié)構(gòu)元 $B$ 在 $A$ 中移動(dòng)， $B$ 的原點(diǎn)為邊界
膨脹

$A{\oplus}B=\left\{z|(B)_z{\cap}A{\ne}{\phi}\right\}$

$B$ 在 $A$ 外移動(dòng)(邊界確定)，但需要和 $A$ 有交集。 $B$ 的原點(diǎn)為邊界
開操作

$A{\circ}B=(A{\ominus}B){\oplus}B$

$B$ 在 $A$ 中移動(dòng)，且邊界為 $B?$ 的外邊界（外邊界值圍成的范圍更大的邊界。以圓片繞圓片外一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)為例，形成一個(gè)圓環(huán)，半徑更大的為外邊界，半徑更小的為內(nèi)邊界）

開操作抑制比結(jié)構(gòu)元小的亮細(xì)節(jié)
閉操作

$A{\bullet}B=(A{\oplus}B){\ominus}B$

$B$ 在 $A$ 外移動(dòng)，但需要和 $A$ 有交集。邊界為 $B$ 的內(nèi)邊界

閉操作抑制比結(jié)構(gòu)元小的暗細(xì)節(jié)
邊界提取

${\beta}(A)=A-(A{\ominus}B)$

即將原圖縮小以后用原圖相減獲取原圖的邊緣
孔洞填充

$X_k=(X_{k-1}{\oplus}B){\cap}A^c$ $k=1,2,3,...$

$A$ 是一個(gè)含孔洞的邊界，對(duì) $A$ 求補(bǔ)以后，獲得 $A$ 以外的所有區(qū)域（包括孔洞和邊界外的區(qū)域）。 $X_0$ 是孔洞中的一點(diǎn)。

{使用結(jié)構(gòu)元對(duì) $X_0$ 膨脹，并與 $A^c$ 求交集，賦值給 $X$ }，不斷迭代這個(gè)過程，直到不再發(fā)生改變，獲得孔內(nèi)部分。再與 $A$ 求并集求得填充好的圖像。
連通分量提取

$X_k=(X_{k-1}{\oplus}B){\cap}A$ $k=1,2,3,...$

$X_0$ 是分量中的一點(diǎn)。{使用結(jié)構(gòu)元對(duì) $X_0$ 膨脹，并與 $A$ 求交集，賦值給 $X$ }，不斷迭代這個(gè)過程，直到不再發(fā)生變化，獲得一個(gè)連通分量。

形態(tài)學(xué)重建

$F$ 為標(biāo)記圖像， $G$ 為模板圖像。 $B$ 為結(jié)構(gòu)元

測(cè)地膨脹

$D_G^{(1)}(F)=(F{\oplus}B){\cap}G$

$D_G^{(1)}(F)$ 表示標(biāo)記圖像 $F$ 關(guān)于模板 $G$ 的測(cè)地膨脹

將 $F$ 通過結(jié)構(gòu)元 $B$ 進(jìn)行膨脹，之后將膨脹后的 $F$ 與 $G$ 求交集

模板 $G$ 限制了標(biāo)記圖像 $F$ 的生長
測(cè)地腐蝕

$E_G^{(1)}(F)=(F{\ominus}B){\cup}G$

$E_G^{(1)}(F)$ 表示標(biāo)記圖像 $F$ 關(guān)于模板 $G$ 的測(cè)地腐蝕
膨脹形態(tài)學(xué)重建

$R_G^D(F)=D_G^{(k)}(F)$

$R_G^D(F)$ 表示標(biāo)記圖像 $F$ 關(guān)于模板 $G$ 的 $k$ 次測(cè)地膨脹后，獲得的重建結(jié)果

{將 $F$ 通過結(jié)構(gòu)元 $B$ 進(jìn)行膨脹，之后將膨脹后的 $F$ 與 $G$ 求交集}，不斷迭代這個(gè)過程，直至 $F$ 不再發(fā)生變化( $D_G^{(k)}(F)=D_G^{(k+1)}(F)$ )，獲得測(cè)地膨脹結(jié)果 $D_G^{(k)}(F)$ ， $k$ 指重復(fù) $k$ 次后獲得結(jié)果
腐蝕形態(tài)學(xué)重建

$R_G^E(F)=E_G^{(k)}(F)$

$R_G^E(F)$ 表示標(biāo)記圖像 $F$ 關(guān)于模板 $G$ 的 $k$ 次測(cè)地腐蝕后，獲得的重建結(jié)果

{將 $F$ 通過結(jié)構(gòu)元 $B$ 進(jìn)行腐蝕，之后將腐蝕后的 $F$ 與 $G$ 求并集}，不斷迭代這個(gè)過程，直至 $F$ 不再發(fā)生變化( $E_G^{(k)}(F)=E_G^{(k+1)}(F)$ )，獲得測(cè)地腐蝕結(jié)果 $E_G^{(k)}(F)$ ， $k$ 指重復(fù) $k$ 次后獲得結(jié)果
重建開操作

$O_R^{(n)}(F)=R_F^D[(F{\ominus}nB)]$

重建開操作過程，首先使用結(jié)構(gòu)元 $B$ 對(duì)原圖像 $F$ 進(jìn)行 $n$ 次腐蝕獲得腐蝕后的圖像 $F^{\prime}$ 。之后用原圖像 $F$ 作為模板，對(duì) $F^\prime$ 進(jìn)行膨脹形態(tài)學(xué)重建。最終結(jié)果為重建開操作結(jié)果

重建開操作，可以腐蝕掉一些圖像中不想保留的部分，而留下想保留的部分
重建閉操作

$C_R^{(n)}(F)=R_F^E[(F{\oplus}nB)]$

重建閉操作過程，首先使用結(jié)構(gòu)元 $B$ 對(duì)原圖像 $F$ 進(jìn)行 $n$ 次膨脹獲得膨脹后的圖像 $F^{\prime}$ 。之后用原圖像 $F$ 作為模板，對(duì) $F^\prime$ 進(jìn)行腐蝕形態(tài)學(xué)重建。最終結(jié)果為重建閉操作結(jié)果

灰度級(jí)形態(tài)學(xué)

腐蝕

$[f{\ominus}b](x,y)=\min \limits_{(s,t){\in}b}\{f(x+s,y+t)\}$

結(jié)構(gòu)元 $b$ 在圖像 $f$ 中移動(dòng)，用結(jié)構(gòu)元 $b$ 在圖像 $f$ 中 $(x,y)$ 點(diǎn)處進(jìn)行腐蝕時(shí)， $(x,y)$ 處的值為 $f$ 與 $b$ 重合部分的最小值

腐蝕后圖像變暗
膨脹

$[f{\oplus}b](x,y)=\max \limits_{(s,t){\in}b}\{f(x-s,y-t)\}$

結(jié)構(gòu)元 $b$ 在圖像 $f$ 外移動(dòng)(邊界確定)，但需要有交集，用結(jié)構(gòu)元在(x,y)點(diǎn)處進(jìn)行膨脹時(shí)， $(x,y)$ 處的值為 $f$ 與 $b$ 重合部分的最大值

膨脹后圖像變亮
開操作

$A{\circ}B=(A{\ominus}B){\oplus}B$

把灰度圖像看成三維圖像，灰度級(jí)作為第三維，開操作用結(jié)構(gòu)元降低了原圖中的峰值。("削平"了"山峰")
閉操作

$A{\bullet}B=(A{\oplus}B){\ominus}B$

把灰度圖像看成三維圖像，灰度級(jí)作為第三維，閉操作用結(jié)構(gòu)元提高了原圖中的谷值。("填充"了"谷底")
形態(tài)學(xué)梯度

$g=(f{\oplus}b)-(f{\ominus}b)$

獲得膨脹和腐蝕之差，根據(jù)結(jié)構(gòu)元大小不同，獲得強(qiáng)調(diào)區(qū)域的圖像邊界
頂帽變換

$T_{hat}(f)=f-(f{\circ}b)$

頂帽變換為原圖像減去結(jié)構(gòu)元對(duì)原圖像的開操作。
底帽變換

$B_{hat}(f)=(f{\bullet}b)-f$

頂帽變換為結(jié)構(gòu)元對(duì)原圖像進(jìn)行閉操作減去原圖像

頂帽變換和底帽變換的作用：

校正不均勻光照的影響

原因是在三維圖像中，頂帽變換結(jié)構(gòu)元在灰度級(jí)下方移動(dòng)獲得開操作圖像，之后用原圖減去開操作圖像，背景被去除

底帽變換結(jié)構(gòu)元在灰度級(jí)上方移動(dòng)獲得閉操作圖像，之后用閉操作圖像減去原圖，背景被去除
灰度級(jí)形態(tài)學(xué)重建

測(cè)地膨脹

$D_g^{(1)}(f)=(f{\oplus}b){\land}g$

和二值圖像操作相似。 $\land$ 為最小算子，即取模板 $g$ 與膨脹后圖像的最小值

測(cè)地腐蝕

$E_g^{(1)}(f)=(f{\ominus}b){\vee}g$

和二值圖像操作相似。 $\vee$ 為最大算子，即取模板 $g$ 與膨脹后圖像的最大值

膨脹形態(tài)學(xué)重建和腐蝕形態(tài)學(xué)重建使用灰度級(jí)測(cè)地膨脹和測(cè)地腐蝕對(duì)圖像進(jìn)行二值圖像重建的類似操作