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關(guān)于三角形的內(nèi)角及邊長的常識

初中已經(jīng)學(xué)過的知識，在高中不斷用到，所以稱之為“常識”。然而，是基本的往往也是最重要的。離開這些常識，好多問題解決不了。

三角形的三邊長必為正數(shù)。

三角形的兩邊之和大于第三邊。

$a + b \gt c$

三角形的三個內(nèi)角之和等于平角。也就是：

$\boxed{A + B + C = 180°}$

這是平面幾何中一個基本而重要的結(jié)論，一般稱為“三角形的內(nèi)角和定理”。由該定理可得出結(jié)論：

$\left\{ \begin{array}\\ \sin (A+B) = \sin C\\ \sin (B+C) = \sin A\\ \sin (C+A) = \sin B\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}\\ \cos (A + B) + \cos C=0 \\ \cos (B+C) + \cos A=0 \\ \cos (C+A) + \cos B=0 \\ \end{array} \right.$

三角形中，大角對大邊；小角對小邊。

【動手找一找】
以上幾點都是屬于基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。如果直接考到，相信多數(shù)人都能正確回答。但是，在綜合性的大題中，卻可能出現(xiàn)“要用到時卻想不起來”的情況。例如，“大邊對大角”這一事實，在初中就已經(jīng)學(xué)過。在近年的一個高考大題中，就要用到這一性質(zhì)。你能指出具體是哪個大題嗎？

用三角函數(shù)值確定內(nèi)角大小的注意事項

在近年的三角函數(shù)大題中，“根據(jù)指定條件求某指定內(nèi)角”這樣的問題多次出現(xiàn)。解答這一問題需要注意以下幾點：
1）三角形內(nèi)角的取值范圍是 $(0, \pi)$ . 因此，余弦的值域為 $(-1,1)$ ；而正弦的值域為 $(0,1]$ ；正切的值域為 $( - \infty, + \infty )$ 。所以，如有可能，應(yīng)優(yōu)先考慮計算出余弦值而不是正弦值。
2）一個三角形中最多有一個鈍角。假如根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出某個角的正弦值，應(yīng)根據(jù)其它條件作進一步判斷：這是一個銳角還是鈍角？
3）根據(jù)題設(shè)條件，得出的可能并不是內(nèi)角的三角函數(shù)，而是內(nèi)角與另外一個角的三角函數(shù)之值。這種情況下一定要小心謹(jǐn)慎，最好是步步為營：先定出兩角和（或差）的取值范圍，再根據(jù)其函數(shù)值定和（或差）的值，最后確定所求角的大小?？傊?，平時訓(xùn)練中就養(yǎng)成好習(xí)慣，避免因為一些細(xì)節(jié)問題丟分。

【動手找一找】
以上三點，在近年的哪些考題中有體現(xiàn)？在自己的解答過程中，有沒有犯過錯誤？應(yīng)該如何改進？

正弦定理

正弦定理有好幾幾種表述形式

$\boxed{ \dfrac{a}{ \sin A} = \dfrac{ \sin B} = \dfrac{c}{ \sin C} = 2R }$

以上是正弦定理的“標(biāo)準(zhǔn)表達”形式。

$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$

$\left\{ \begin{array}\\ a=2R \cdot \sin A\\ b=2R \cdot \sin B\\ c=2R \cdot \sin C\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}\\ \sin A = \dfrac{a}{2R}\\ \sin B = \dfrac{2R}\\ \sin C = \dfrac{c}{2R}\\ \end{array} \right.$

正弦定理的用法總結(jié)

正弦定理的主要用法有以下幾種：

求邊長
求角
邊化角
角化邊

其中，“求邊長”和“求角”主要出現(xiàn)在小題中。在近年的高考大題中，主要是后兩種形式，即“邊化角”和“角化邊”。

例如，2011年理數(shù)全國卷題17：

$a + c = \sqrt{2} b \qquad \Rightarrow \qquad \sin A + \sin C = \sqrt{2} \sin B$

【動手找一找】
請在最近練過的題目中找一找：邊化角和角化邊的例子還有哪些？

三角形的面積公式

$\boxed{ S_{ \triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ab \sin C = \dfrac{1}{2} ac \sin B = \dfrac{1}{2} bc \sin A }$

應(yīng)用正弦定理，可得如下推論：

$\boxed{ S_{ \triangle ABC} = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C }$

在最近十年的高考中，上面這個公式用得比較多，需要留意。

余弦定理

余弦定理通常有以下兩種表述形式：

$\left\{ \begin{array}\\ a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos A\\ b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos B\\ c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos C\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}\\ \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\ \end{array} \right.$

余弦定理的用法總結(jié)

余弦定理的主要用法有以下幾種：

已知三邊長求角（即SSS情形）
求邊長（已知條件為SAS，求已知角所對邊）

在面積與周長（邊長）間建立關(guān)聯(lián)

應(yīng)用余弦定理求角或求邊長，是余弦定理最基本的用途。近年高考強調(diào)綜合性，不會直接提供SSS或SAS這樣“現(xiàn)成”的條件；一般來說，需要對已知條件作一些處理，才能得到SSS或是SAS。還有一種用法是：利用余弦定理建立方程。
近年高考中出現(xiàn)一類熱點題型，是利用余弦定理，將三角形的面積和周長（邊長）關(guān)聯(lián)起來。后面將專門進行討論。

【動手找一找】
在近年的高考題中，哪幾個大題用到了余弦定理？自己完成的情況如何？

面積與周長的關(guān)系

這類問題在近年的高考中多次出現(xiàn)。它綜合考察了以下幾方面的知識：余弦定理、面積公式、二次函數(shù)。本節(jié)重點討論這類問題。
如前所述，三角形面積可以用兩條邊長及其夾角的正弦表達：

$S_{ \triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

假如角C大小固定，則三角形面積與兩條邊長之積成正比。又根據(jù)余弦定理可知：

$\cos C = \frac { a^2 + b^2 - c^2 } {2ab}$
$= \dfrac { (a+b)^2 - 2ab - c^2 } {2ab} = \dfrac { (a+b)^2 - c^2 } {2ab} -1$
$= \dfrac { (a-b)^2 + 2ab - c^2 } {2ab} = \dfrac { (a-b)^2 - c^2 } {2ab} +1$

由上或可提出如下結(jié)論：
$2ab = \dfrac { (a+b)^2 - c^2 }{ 1 + \cos C }$

$2ab = \dfrac { c^2 - (a-b)^2 }{ 1 - \cos C }$

以上公式建立了 $ab, (a+b), (a-b)$ 三者之間的關(guān)聯(lián)。在角 $C$ 和 $c$ 邊長已知的前提下，實際上也就建立了面積和另個量之間的關(guān)聯(lián)。
在具體的考題中有可能這樣提問：
1）已知條件包括：角 $C$ 、 $c$ 邊長；求三角形的面積最大值；
2）已知條件包括：角 $C$ 、 $c$ 邊長、三角形的面積；求周長（或： $a$ 、 $b$ 的邊長）；