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同濟高數(shù)上第七版習題1.1精解

1.求下列函數(shù)的自然定義域。

(1) $y=\sqrt{3x+2}$

解：根號下需大于等于0，故 $3x+2\geq0$ ，所以 $x\geq{-\frac{2}{3}}$ ，即定義域為 $[-\frac{2}{3},+\infty$ )。

(2) $y=\frac{1}{1-x^2}$

解：分母不能為0，所以 $x\neq{\pm1}$ 。

(3) $y={\frac{1}{x}}-\sqrt{1-x^2}$

解：由題意得， $x\neq0$ 且 $1-x^2\geq0$ ，所以定義域為 $[-1,0)\bigcup(0,1]$ 。

(4) $y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}?$

解： $4-x^2>0$ ，所以定義域為 $(-2,2)$ 。

(5) $y=sin{\sqrt x}$

解：因為正弦函數(shù)的定義域為 $R$ ，所以只需 $x\geq0$ 。

(6) $y=tan(x+1)$

解：因為正切函數(shù)的定義域中不可以包含 $k\pi\pm\frac{\pi}{2}$ ,所以 $x+1\neq{k\pi}+\frac{\pi}{2}$ , $k\in R$ 。

(7) $y=arcsin(x-3)$

解：因為 $-1\leq x-3\leq1$ ，所以 $2\leq{x}\leq4$ 。

(8) $y=\sqrt{3-x}+arctan{\frac{1}{x}}$

解：此時需要 $3-x\geq0$ 同時滿足 $\frac{1}{x}\in R$ ,所以定義域為 $(-\infty,0)\bigcup(0,3]$ 。

(9) $y=ln(x+1)?$

解：由對數(shù)函數(shù)定義域可知 $x+1>0$ ，所以 $x>-1$ 。

(10) $y=e^{\frac{1}{x}}$

解： $x\neq 0?$ 。

2.下列各題中，函數(shù) $f(x)$ 和 $g(x)$ 是否相同？為什么？

(1) $f(x)=\lg{x^2}?$ , $g(x)=2\lg x?$ .

解：不同。因為定義域不同， $f(x)$ 定義域不可以等于0, $g(x)$

定義域需要大于0。

(2) $f(x)=x?$ , $g(x)=\sqrt{x^2}?$

解：不同。因為對應(yīng)法則不同， $g(x)$ 只能輸出正數(shù)。此題不要說因為值域不同，因為就算值域相同也未必是函數(shù)相同。

(3) $f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3}$ , $g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$

解：此題在三次根號下，直接提出了 $x$ ，無需討論。故相同。

(4) $f(x)=1$ , $g(x)=sec^2{x}-tan^2{x}?$

解：不同。因為定義域不同。

3. $\phi(x)=\begin{cases} |sinx|& |x|<\frac{\pi}{3} ,\\ 0 & |x|\geq\frac{\pi}{3}. \\ \end{cases}?$

計算 $\phi(\frac{\pi}{6})$ ， $\phi(\frac{\pi}{4})$ ， $\phi(-\frac{\pi}{4})$ ， $\phi(-2)$ 。

解：計算 $\phi(\frac{\pi}{6})$ 時用到上面的式子得到 $\frac{1}{2}$ ， $\phi(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$ ， $\phi(-\frac{\pi}{4})={\frac{\sqrt2}{2}}$ ， $\phi(-2)=0$ 。圖形略。

4.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

(1) $y=\frac{x}{1-x}$ ， $(-\infty,1)$ 。

解：題外話，在不久的將來，單調(diào)性會用導(dǎo)數(shù)知識來討論。

在定義域內(nèi)任取 $x_1,x_2$ ，并設(shè) $x_1<x_2$ 。則 $f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2-x_1}{(1-x_1)(1-x_2)}>0$ ，所以單調(diào)增加。

(2) $y=x+\ln x?$ , $(0,+\infty)?$ 。

解：同樣的話說兩次。在定義域內(nèi)任取 $x_1,x_2?$ ，并設(shè) $x_1<x_2?$ 。則 $f(x_2)-f(x_1)=x_2+\ln x_2-x_1-\ln x_1=x_2-x_1+\ln{\frac{x_2}{x_1}}>0?$ ，所以單調(diào)增加。

5.設(shè) $f(x)?$ 為定義在 $(-l,l)?$ 內(nèi)的奇函數(shù)，若 $f(x)?$ 在 $(0,l)?$ 內(nèi)單調(diào)增加，證明 $f(x)?$ 在? $(-l,0)?$ 內(nèi)也單調(diào)增加

證明：在 $(0,l)$ 內(nèi)任取 $x_1,x_2$ ，并設(shè) $x_1<x_2$ ,因為 $f(x)$ 在? $(0,l)$ 內(nèi)單調(diào)增加，所以? $f(x_2)>f(x_1)$ 。 $x_1，x_2$ 取負號，則 $-x_1>-x_2$ ,此時二者屬于 $(-l,0)$ 。那么 $f(-x_1)-f(-x_2)=-f(x_1)+f(x_2)>0$ ,說明在 $(-l,0)$ 內(nèi)，函數(shù)值依然隨著自變量增加而遞增。故單調(diào)增加。

6.下面的函數(shù)都是定義在區(qū)間 $(-l,l)$ 上的，證明：

(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積也是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的成績是奇函數(shù)。

證明：(1)設(shè)函數(shù) $f(x),g(x)?$ 為偶函數(shù)，二者的和函數(shù) $f(x)+g(x)?$ ，則 $f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)?$ 。即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)。

同樣，設(shè)函數(shù) $f(x),g(x)$ 為奇函數(shù)，二者的和函數(shù) $f(x)+g(x)$ ，則 $f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))$ 。即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。

(2)設(shè)函數(shù) $f(x),g(x)$ 為偶函數(shù)，二者的乘積為 $f(x)*g(x)$ ，則 $f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)?$ 。即兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)。

同樣，設(shè)函數(shù) $f(x),g(x)$ 為奇函數(shù)，二者的乘積為 $f(x)*g(x)$ ，則 $f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)$ 。即兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)。

設(shè)函數(shù) $f(x)?$ 為偶函數(shù), $g(x)?$ 為奇函數(shù)，二者的乘積為 $f(x)*g(x)?$ ，則 $f(-x)*g(-x)=-f(x)*g(x)?$ 。即結(jié)果為奇函數(shù)。

7.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些是非奇非偶函數(shù)？

題外話：判斷奇偶性時，可以大致先判斷一下定義域，如果定義域不是關(guān)于原點對稱。則直接得出結(jié)論。

(1) $y=x^2(1-x^2)$

解： $f(-x)=(-x)^2(1-(-x)^2)=x^2(1-x^2)$ ，所以為偶函數(shù)。

(2) $y=3x^2-x^3?$

解： $f(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3$ ,哪個都靠不上，所以為非奇非偶函數(shù)。

(3) $y=\frac{1-x^2}{1+x^2}?$

解： $f(-x)=\frac{1-(-x)^2}{1+(-x)^2}=\frac{1-(x)^2}{1+(x)^2}?$ ，所以為偶函數(shù)。

(4) $y=x(x-1)(x+1)?$

解： $f(-x)=(-x)((-x)-1)((-x))+1=x(x+1)(-x+1)=-f(x)$ ，所以為奇函數(shù)。

(5) $y=sinx-cosx+1$

解： $f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1$ ,哪個都靠不上，所以為非奇非偶函數(shù)。

(6) $y=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$

解： $f(-x)=\frac{a^{-x}+a^{x}}{2}=f(x)$ ，所以為偶函數(shù)。

8.下列函數(shù)哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期。

(1) $y=cos(x-2)?$

解：是周期函數(shù)，周期為 $l=2*\pi?$ 。

(2) $y=cos4x?$

解：是周期函數(shù)。周期為 $l=\frac{\pi}{2}$ 。

(3) $y=1+sin\pi x?$

解：是周期函數(shù)。周期為 $l=2$ 。

(4) $y=xcosx$

解：不是周期函數(shù)。

(5) $y=sin^2(x)?$

解：是周期函數(shù)。因為 $y=sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos2x)$ 。所以周期為 $l=\pi$ 。

9.求下列函數(shù)的反函數(shù)。
(1) $y=\sqrt[3]{x+1}$

解：因為 $x+1=y^3$ ，所以 $x=y^3-1$ 。

(2) $y=\frac{1-x}{1+x}$

解： $(1+x)y=1-x$ ,所以可以解得 $x=\frac{1-y}{1+y}$ 。

(3) $y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\neq0)$

解： $(cx+d)y=(ax+b)$ ，所以 $x=\frac{b-dy}{cy-a}$ ,其中 $ad-bc\neq0$ 這個條件說明函數(shù) $y$ 不是常數(shù)函數(shù)。

(4) $y=2sin(3x)(-\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{\pi}{6})$

解：因為 $\frac{y}{2}=sin(3x)$ ， $x=\frac{1}{3}(arcsin\frac{y}{2})$ 。

(5) $y=1+\ln(x+2)$

解： $y-1=\ln(x+2)$ ，所以 $x=e^{y-1}-2$ 。

(6) $y=\frac{2^x}{2^x+1}$

解： $(2^x+1)y=2^x?$ ,所以 $2^x=\frac{y}{1-y}?$ ，得到 $x=log_2^{\frac{y}{1-y}}?$ 。

10.設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在數(shù)集 $X$ 上有定義，試證：函數(shù) $f(x)$ 在X上有界的充分必要條件是它在 $X$ 上既有上界又有下界。

證明：先證必要性。如果函數(shù) $f(x)$ 在 $X$ 上有界，則說明存在一個正數(shù) $M>0$ ，使得對于任意的 $x\in X$ ，有 $|f(x)|\leq M$ ，即 $-M\leq f(x) \leq M$ ，則 $f(x)$ 既有上界又有下界。

充分性。不妨設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在數(shù)集 $X$ 上的上界為 $M$ ,下界為 $N$ 。取 $K=Max\{|M|,|N|\}$ 。在數(shù)集上一定有 $|f(x)\leq K|$ 。所以函數(shù)有界。

11.在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量 $x_1$ 和 $x_2$ 的函數(shù)值:

(1) $y=u^2,u=sinx,x_1=\frac{\pi}{6},x_2=\frac{\pi}{3}$

解： $y=sin^2x?$ , $y_1=\frac{1}{4}?$ , $y_2=\frac{3}{4}?$ 。

(2) $y=\sin u, u=2 x, x_{1}=\frac{\pi}{8}, x_{2}=\frac{\pi}{4}$

解： $y=sin2x$ , $y_1=\frac{\sqrt2}{2}$ , $y_2=1$ .

(3) $y=\sqrt{u}, u=1+x^{2}, x_{1}=1, x_{2}=2$

解： $y=\sqrt{1+x^2}$ ， $y_1=\sqrt 2$ , $y_2=\sqrt 5?$

(4) $y={e}^{u}, u=x^{2}, x_{1}=0, x_{2}=1$

解： $y=e^{x^2}$ , $y_1=1$ , $y_2=e?$ 。

(5) $y=u^{2}, u={e}^{x}, x_{1}=1, x_{2}=-1?$

解： $y=\mathrm{e}^{2 x}, y_{1}=\mathrm{e}^{2}, y_{2}=\mathrm{e}^{-2}$

12.設(shè) $f(x)$ 的定義域 $D=[0,1]$ ，求下列函數(shù)的定義域。

(1) $f(x^2)?$

解： $0\leq x^2\leq1$ ，所以 $-1\leq x \leq 1$ 。

(2) $f(sinx)$

解： $0\leq sinx \leq 1$ ,所以 $2k\pi \leq x \leq 2k\pi +\pi,k\in Z$ 。

(3) $f(x+a),a>0$

解： $0 \leq x+a \leq 1$ ，所以 $x \in [-a ,1-a]$ 。

(4) $f(x+a)+f(x-a),a>0?$

解： $0 \leq x+a \leq 1$ 同時 $0 \leq x-a \leq 1$ ,所以 $-a\leq x \leq 1-a$ 并且 $a \leq x \leq1+a$ ,所以，當 $a\leq1-a$ 時 $(a>0)$ ，即 $a\leq \frac{1}{2}$ 有公共部分 $[a,1-a]$ ,當 $a>1-a?$ 時，無公共部分。

13.設(shè) $f(x)=\begin{cases} 1,& |x|<1 ,\\ 0 ,& |x|=1 ,\\ -1 ,& |x|>1。 \end{cases}?$ , $g(x)=e^x?$ 。求 $f[g(x)]?$ 和 $g[f(x)]?$ 。

解： $f[g(x)]=\begin{cases} 1,&x<0,\\ 0,&x=0,\\ -1,&x>0。 \end{cases}$

$g[f(x)]=\begin{cases} e,&|x|<1,\\ 1,&|x|=1,\\ e^{-1},&|x|>1。 \end{cases}?$

14.一直水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角 $\phi =40^\circ ?$ 。當過水斷面 $ABCD?$ 的面積為定值 $S_0?$ 時。求四周 $L(L=AB+BC+CD)?$ 與水深 $h?$ 之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域。

解：根據(jù)梯形面積公式有 $S_0=\frac {1}{2}h[2(L-\frac{2h}{sin40^\circ })+\frac{2h}{tan40^\circ}]$ ,整理得到 $L=\frac{S_0}{h}+\frac{2h}{sin40^\circ}-\frac{h}{tan40^\circ}$ ,同時橫斷面為等腰梯形，需要最下方的邊長 $\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40^\circ}>0$ 可得 $h<\sqrt {S_0tan40^\circ}$ 。

15.設(shè) $xOy?$ 平面上有正方形 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y \leq 1\}?$ 及直線 $l:x+y=t(t\geq 0)?$ 。若 $S(t)?$ 表示正方形 $D?$ 位于直線 $l?$ 左下方部分的面積，試求 $S(t)?$ 與 $t?$ 之間的函數(shù)關(guān)系。

解：請自行畫個圖。

由圖不難看出，當 $t\leq 1$ 時，面積是 $\frac {1}{2}t^2$ .

當 $2\geq t>1$ 時，有兩種方法，第一種是用一個和兩個坐標軸所圍的等腰直角三角形減去左上和右下兩個一樣大小的小等腰三角形面積。大等腰直角三角形面積是 $\frac{1}{2}t^2$ 。兩個小等腰直角三角形面積之和為2倍的 $\frac{1}{2}(t-1)^2$ 。二者相減后得到 $-\frac{1}{2}t^2+2t-1$ 。此情況下還有一種解法就是用整個正方形面積1減去被 $x+y=t$ 所截出來的五邊形面積（不再贅述）。

當 $t>2?$ 時面積為1。

16.求華氏溫度( $F$ )和攝氏溫度( $C$ )二者之間的轉(zhuǎn)換公式。并求：

(1) $90^\circ F?$ 的等價攝氏溫度和 $-5^\circ C?$ 的等價華氏溫度。

(2)是否存在一個溫度值，使得華氏溫度計數(shù)和攝氏溫度計數(shù)是一樣的？如果存在，那么溫度值是多少？

解：華氏溫度和攝氏溫度二者為線性關(guān)系，設(shè)關(guān)系式為 $F=kC+a$ ， $k,a$ 為常數(shù)。當 $F=32^\circ$ 相當于 $C=0^\circ$ ， $F=212^\circ$ 相當于 $C=100^\circ$ ,代入后可求得 $F=1.8C+32$ .

由此可以求得(1) $90^\circ F$ 的等價攝氏溫度 $C\approx 32.2^\circ$ , $-5^\circ C$ 的等價華氏溫度為 $F=23^\circ$ 。

(2)假設(shè)存在哪個溫度，并設(shè)為 $t^\circ$ 。則會有 $t=1.8t+32$ ,所以可求出 $t=-40^\circ$ 。

17.已知直角三角形 $\bigtriangleup ABC?$ 中，直角邊 $AC、BC?$ 的長度分別為20,15.動點 $P?$ 從 $C?$ 出發(fā)，沿三角形邊界按 $C\mapsto B \mapsto A?$ 方向移動；動點 $Q?$ 從 $C?$ 出發(fā)，沿三角形邊界按 $C\mapsto A \mapsto B?$ 方向移動，移動到兩動點相遇時為止，且點 $Q?$ 移動的速度是點 $P?$ 移動的速度的2倍。設(shè)動點 $P?$ 移動的距離為 $x?$ ，三角形 $\bigtriangleup CPQ?$ 的面積為 $y?$ ，試求 $y?$ 與 $x?$ 之間的函數(shù)關(guān)系。

解：由題意可知。三角形另一邊 $AB$ 長為25,并且經(jīng)過計算可知在當 $x=20$ 時，動點 $P,Q$ 會在在斜邊 $AB$ 上相遇。

(1)

1.1圖1

直接計算可得 $y=\frac{1}{2}x*2x=x^2$ 。此時 $0<x\leq10$ 。

(2)

1.1圖2

當 $10<x\leq15?$ s時，過 $Q?$ 點向 $BC?$ 做垂足D.根據(jù)比例關(guān)系可得 $\frac {DQ}{CA}=\frac{BQ}{BA}?$ ，可以得出： $\frac{DQ}{25}=\frac{45-2x}{25}?$ ?？傻?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=DQ%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D(45-2x)%E2%80%8B" alt="DQ=\frac{4}{5}(45-2x)?" mathimg="1">，所以 $y=\frac{1}{2}PC*DQ=\frac{2}{5}x*(45-2x)=-\frac{4}{5}x^2+18x?$ 。

(3)

1.1圖3

此時 $15<x<20?$ ,在直角三角形中，易得到 $C?$ 到斜邊 $AB?$ 的距離 $h?$ 為 $15*20/25=12?$ 。有根據(jù)題意得， $BP?$ 長度為 $x-15?$ ， $AQ?$ 長度為 $2x-20?$ ，故 $PQ?$ 長度為 $60-3x?$ 。所以面積 $y=\frac{1}{2}*PQ*h=-18x+360?$ 。

終上所述 $y=\begin {cases} x^2, &0<x\leq 10,\\ -\frac{4}{5}x^2+18x, &10<x\leq 15，\\ -18x+360,&15<x<20. \end{cases}$

18.利用以下美國人口普查局提供的世界人口數(shù)據(jù)以及指數(shù)模型來推測 2020 年的世界人口。

解：此題屬于數(shù)學建模類題目，在此講解較為簡單的一種方法。

利用第三列數(shù)據(jù)，將其平均得到年平均增長率約為1.1282%，為便于計算，約等于0.011。然后以2008年為基期。 $t?$ 年后的人口數(shù)量方程為 $P(t)=6708.2*(1.011)^t?$ ，2020年時對應(yīng)的 $t=12?$ 代入后約等于70億。受資源，環(huán)境等因素的影響，人口數(shù)量不能無限制增加。所以該模型對長期人口預(yù)測結(jié)果偏差較大。

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