高階微分方程

對(duì)于高階微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0$

一般沒(méi)有普遍的解法，求解告誡微分方程的基本思想是降階，通過(guò)變量變換的方法將方程（2.79）化為階數(shù)較低的方程來(lái)求解，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化.

接下來(lái)看這幾類特殊的方程

不顯含函數(shù) $y$ 的方程

$F\left(x,\dfrac{\textu0z1t8os^k}{\textu0z1t8osx^k},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0\;(k\geqslant1)\quad(2.80)$

令 $p=\dfrac{\textu0z1t8os^ky}{\textu0z1t8osx^k}$ ，則方程（2.80）變?yōu)殛P(guān)于 $p$ 的 $n-k$ 階微分方程

$F\left(x,p,\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{n-k}y}{\textu0z1t8osx^{n-k}}\right)=0\quad(2.81)$

如果能夠求出方程（2.81）的通解 $p=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})$ ，則方程

$\dfrac{\textu0z1t8os^ky}{\textu0z1t8osx^k}=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})\quad(2.82)$

經(jīng)過(guò) $k$ 次積分后得到的通解

$y=\psi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$

就是方程（2.80）的通解，這里的 $C_j,\;j=1,2,\cdots,n$ 為任意常數(shù).

例

解方程

$x\dfrac{\textu0z1t8os^3y}{\textu0z1t8osx^3}-2\left(\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}\right)^2+2\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=0$

Sol:

令 $p=\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}$ ，則

$x\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}-2(p^2-p)=0\quad(2.83)$

當(dāng) $p\not=0$ 且 $p\not=1$ 時(shí)用分離變量法，可得

$p=\dfrac{1}{1-ax^2}$

其中 $a$ 為任意非零常數(shù).

當(dāng) $a>0$ 時(shí)，令 $a=C_1^2$ ，則

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\dfrac{1}{1-C_1^2x^2}$

經(jīng)過(guò)兩次積分后解得

$y=\dfrac{1}{2C_1^2}\ln|1+C_1x||1-C_1x|+\dfrac{x}{2C_1}\ln\left|\dfrac{1+C_1x}{1-C_1x}\right|+C_2x+C_3$

當(dāng) $a<0$ 時(shí)，令 $a=-C_1^2$ ，則

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\dfrac{1}{1+C_1^2x^2}$

經(jīng)過(guò)兩次積分后解得

$y=\dfrac{x}{C_1}\arctan(C_1x)-\dfrac{1}{2C_1^2}\ln(1+C_1^2x^2)+C_2x+C_3$

其中 $C_1\not=0,\,C_2,\,C_3$ 為任意常數(shù).

此外，由于常函數(shù) $p=0$ 和 $p=1$ 也是方程（2.83）的解，因此，函數(shù) $y=C_1x+C_2,\;y=\dfrac12x^2+C_1x+C_2$ 也是原方程的解，其中 $C_1,\,C_2$ 為任意常數(shù).

不顯含自變量 $x$ 的方程

$F\left(y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0\quad(2.84)$

這種方程也被稱為自治微分方程. 令 $p=\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}$ ，則方程（2.84）可變?yōu)殛P(guān)于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程.

事實(shí)上，若 $p=\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}$ ，則

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\dfrac{\textu0z1t8os}{\textu0z1t8osx}\left(\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}\right)=\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy}\cdot\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}=p\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy}$

用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：對(duì)任意的 $i<j\leqslant n,\dfrac{\textu0z1t8os^jy}{\textu0z1t8osx^j}$ 可以用

$y,p,\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{j-1}p}{\textu0z1t8osy^{j-1}}$

來(lái)表出. 把它們帶入方程（2.84）就得到形如

$G\left(y,p,\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{n-1}p}{\textu0z1t8osy^{n-1}}\right)=0\quad(2.85)$

的關(guān)于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程，比方程（2.84）低了一階.

例

解方程

$y\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}-\left(\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}\right)^2-2\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}=0.$

Sol:

令 $p=\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}$ ，則

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=p\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy}.$

故原方程可化為

$yp\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osy}-p^2-2p=0\quad(2.86)$

易知 $p=0$ 和 $p=-2$ 是方程（2.86）的解. 因此， $y=C,\;y=-2x+C$ 是原方程的解，其中 $C$ 為任意常數(shù).

當(dāng) $p\not=0$ 且 $p\not=-2$ 時(shí)，使用分離變量的方法，可得方程（2.86）的通解為

$p=C_1y-2,$

其中 $C_1$ 為任意常數(shù). 求解方程

$\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}=C_1y-2$

當(dāng) $C_1\not=0$ 時(shí)，原方程的通解為

$y=C_2e^{C_1x}+\dfrac{2}{C_1}$

其中 $C_2$ 為任意常數(shù). 當(dāng) $C_1=0$ 時(shí)，積為上面討論過(guò)的 $p=-2$ 的情況.

齊次方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0\quad(2.87)$

其中左邊是關(guān)于變量

$y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}$

的零元齊次函數(shù)，即

$F\left(x,ty,t\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,t\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right),\;\forall t\not=0$

顯然，當(dāng) $y\not=0$ ，齊次方程（2.87）等價(jià)于

$F\left(x,1,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0\quad(2.88)$

若令

$p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}$

并以它為新未知函數(shù)，則方程就可降低一階. 事實(shí)上，在此所設(shè)的假定下，有

$\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}=yp$

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}p+y\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}=y(p^2+\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx})$

用數(shù)學(xué)歸納法不難證明：對(duì)任意的 $1<k\leqslant n,\;\dfrac{1}{y}\dfrac{\textu0z1t8os^ky}{\textu0z1t8osx^k}$ 可用

$p,\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{k-1}p}{\textu0z1t8osx^{k-1}}$

表出. 將這些表達(dá)式帶入方程（2.88），可得形如

$G\left(x,p,\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{n-1}p}{\textu0z1t8osx^{n-1}}\right)=0\quad(2.89)$

的關(guān)于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程，比方程（2.87）低了一階.

例

解方程

$x^2y\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\left(y-x\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}\right)^2.$

Sol:

令 $p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}$

$\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}=yp$

$\dfrac{\textu0z1t8os^2y}{\textu0z1t8osx^2}=\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}p+y\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}=yp^2+y\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}$

故原方程可化為

$x^2y^2\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}=y^2-2xy^2p\quad(2.90)$

當(dāng) $y\not=0$ 時(shí)，方程（2.90）等價(jià)于

$x^2\dfrac{\textu0z1t8osp}{\textu0z1t8osx}=1-2xp$

解得

$p=\dfrac{1}{x}+\dfrac{C_1}{x^2}$

其中 $C_1$ 為任意常數(shù). 因此原方程的通解為

$y=C_2e^{\int p\textu0z1t8osx}=C_2xe^{-\frac{C_1}{x}}$

其中 $C_2$ 為任意常數(shù).

此外， $y=0$ 顯然時(shí)原方程的一個(gè)特解，已經(jīng)包含在上面的通解表達(dá)式之中（取 $C_2=0$ 即可）.

全微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=0\quad(2.91)$

其中左邊是某個(gè)形如

$\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{n-1}y}{\textu0z1t8osx^{n-1}}\right)$

的表達(dá)式對(duì) $x$ 的全導(dǎo)數(shù)，即

$F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=\dfrac{\textu0z1t8os}{\textu0z1t8osx}\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^{n-1}y}{\textu0z1t8osx^{n-1}}\right)$

這里 $n+1$ 元函數(shù) $\varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right)$ 的對(duì)各變?cè)囊浑A偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，故方程（2.91）有形式：

$F\left(x,y,\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx},\cdots,\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}\right)=\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_1}+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_2}\dfrac{\textu0z1t8osy}{\textu0z1t8osx}+\cdots+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_{n+1}}\dfrac{\textu0z1t8os^ny}{\textu0z1t8osx^n}$