復(fù)變函數(shù)一般表示為 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 。

如果函數(shù) $f(z)$ 在點(diǎn)z的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱(chēng) $f(z)$ 在點(diǎn)z解析。
如果 $f(z)$ 在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都解析, 則稱(chēng) $f(z)$ 是D內(nèi)的解析函數(shù), 或稱(chēng) $f(z)$ 在D內(nèi)解析。
解析函數(shù)也叫全純函數(shù)或正則函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)的定義域一般是整個(gè)復(fù)平面，也就是整個(gè)平面上。所以要讓復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，需要它從各個(gè)方向過(guò)去都可導(dǎo)。而單變量實(shí)函數(shù)的定義域是一根實(shí)軸，只要從左右兩個(gè)方向可導(dǎo)就可以：這是它們的區(qū)別！

解析函數(shù)的解析區(qū)域邊界點(diǎn)（如果存在）稱(chēng)為其奇點(diǎn)。

要尋找函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，首先會(huì)想到如果其實(shí)部虛部分別可導(dǎo)是否足夠。很遺憾，它們不等價(jià)：

反例： $f(z)=\bar{z}$ 是否可導(dǎo)？
對(duì)平面上的任意一點(diǎn)z, 有 $\frac{\overline{z+\Delta{z}}-\bar z}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\frac{\Delta x - \text{i}\Delta y}{\Delta x +\text{i}\Delta y}$ ，
可以看到結(jié)果跟趨近方向有關(guān)：當(dāng)水平趨近時(shí)， $\Delta y=0$ ，結(jié)果是1；豎向趨近時(shí)是-1，所以處處不可導(dǎo)。但它的實(shí)部虛部都可導(dǎo)。

柯西黎曼方程

如果 $f(z)$ 可導(dǎo)，設(shè) $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在點(diǎn) $z=x+\text{i}y$ 處可導(dǎo)，即 $f'(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$ ，
令 $\Delta z = \Delta x + \text{i}\Delta y$ ， $f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u + \text{i}\Delta v$ ，
其中 $\Delta u = u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y)$ ， $\Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x,y)$ 。
則 $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}$ 。

當(dāng) $\Delta z$ 從實(shí)軸趨向0時(shí)， $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\text{i}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u_x+\text{i} v_x$ ，
當(dāng) $\Delta z$ 從虛軸軸趨向0時(shí)， $f'(z)=\lim_{\Delta \rightarrow 0,\Delta x=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\text{i}\Delta y }=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}-\text{i}\frac{\Delta u}{\Delta y}+\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta y}=-\text{i}u_y+v_y$ ，
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(z)" alt="f(z)" mathimg="1">可導(dǎo)，所以上面兩個(gè)結(jié)果的實(shí)部虛部分別相等，即

柯西黎曼方程

這個(gè)就是柯西黎曼方程，簡(jiǎn)寫(xiě)C-R方程。

反過(guò)來(lái)：是否滿(mǎn)足柯西黎曼方程就可導(dǎo)呢？估計(jì)大家能猜出來(lái)：不行：

反例：函數(shù) $f(z)=\sqrt{|xy|}$ 在z=0處是否可導(dǎo)？
可以證明，在原點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)都是0，所以滿(mǎn)足C-R方程。
但是0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)并不存在，可以令 $\Delta z = \Delta r e^{\text{i}\theta}$ ，則 $\frac{f(0+\Delta z)-f(0)}{\Delta z}=\frac{\sqrt{|\Delta r \cos \theta \cdot \Delta r \sin \theta|}}{\Delta r e^{\text{i}\theta}}=\frac{\sqrt{| \cos \theta \cdot \sin \theta|}}{e^{\text{i}\theta}}$ ，
所以趨向零點(diǎn)的方向角度不同結(jié)果可能就不同，因此不可導(dǎo)。

解析函數(shù)的充要條件

上面已經(jīng)看到函數(shù)可導(dǎo)的必要條件是實(shí)部虛部都可微（即偏導(dǎo)存在且連續(xù)）且符合C-R方程。
這個(gè)也是它的充分條件！

設(shè)函數(shù) $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ ，假設(shè)其在點(diǎn) $z=x+\text{i}y$ 處實(shí)部和虛部都可導(dǎo)，且滿(mǎn)足 $u_x=v_y, v_x=-u_y$ 。根據(jù)二元函數(shù)微分定義，可以證明其導(dǎo)數(shù)存在。

下面是一些復(fù)合復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則：

設(shè) $f(z)$ 和 $g(z)$ 在z處可導(dǎo)，則
$[f(z)+g(z)]'=f'(z)+g'(z)$
$[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
$[\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)}, g(z)\neq 0$