這次的ZGC-Joint Seminar 請了zhenbin 給我們review了一下classical and quantum chaos。自己之前也有看過一些相關的內容，這次聽zhenbin來梳理一下脈絡，還是受益良多。

首先我們要引入描述chaos的物理量，對于經典系統(tǒng)，我們可以認為chaos是phase space里Hamiltonian演化的一中行為。給定初末狀態(tài)（phase space里面一個點），我們可以定義一個 演化矩陣(Jordan 矩陣) 。定義一個矩陣之后，我們能做的事就是找到它的本征值。如果某個本征值是隨時間exponential變化的 , 那么我們會認為這個系統(tǒng)有混沌行為。這個系數(shù)(如果有很多e指數(shù)變化的本征值，我們選最大的那個系數(shù))就是描述chaos的一個物理量 Lyapunov 系數(shù)。注意因為Liouville 定理：相空間體積不變，的行列式應該為1. 所以如果e指數(shù)增長的本征值，也有e指數(shù)減小的本征值，他們應該是成對出現(xiàn)的。

混沌系統(tǒng)一個很重要的特征是：Hamiltonian演化可能有很多不同的closed 軌跡。這個可以與可積系統(tǒng)進行一個對比，比如諧振子的只有橢圓軌道，當周期固定的時候，軌道也就幾乎固定了。但是對于混沌系統(tǒng)，即使固定周期，closed 軌道的數(shù)目 差不多是的數(shù)量級（這個公式可以由 the sum rule of Hannnay and Ozorio de Almeida 推出。 主要用到了混沌系統(tǒng)的Ergodic property：幾乎所有軌跡會覆蓋整個可以取到的相空間。）。

另外一個描述的混沌行為的物理量是spectral form factor(sff)。在半經典的情況下，我們可以用Gutzwiller trace formula 來計算

這里是對所有的closed 軌跡求和。當很大的時候，Berry 注意到，這個求和是由diagonal 項 來主導的(即 diagonal approximation)。所以我們這樣近似sff

這里的是來自于對于每一個軌道的可以選擇不同的起點，第二個factor是軌道的數(shù)量，第三個factor來自Jordan 矩陣的近似。
對于混沌系統(tǒng)，spectral form factor 具有universal的slope （開始相干decay的部分） 還有ramp (linear in T)的行為。

接下來引入量子混沌的概念。圖像是operator復雜度 在時間演化下的增長。粗略的想法是考慮一個單一算符的時間演化

然后把右邊展開成commutator，對于量子多體系統(tǒng)，commutator會不斷引入新的算符，從這個角度來說operator的復雜度隨時間增長。我們可以考慮一個很容易計算的物理量

展開后發(fā)現(xiàn)有些關聯(lián)函數(shù)是time order的有些不是，這些out of order correlator (OTOC)也具有一些隨時間e指數(shù)變化的行為，然后可以同樣的定義Lyapunov parameter。

最后簡單講了一下，OTOC在引力里面的計算，可以等價于一個high energy的scattering。