復(fù)數(shù)的三角表達(dá)與指數(shù)表達(dá)

引子

三角函數(shù)是幾何中圓形的解析表達(dá)方式。指數(shù)函數(shù)通常和幾何沒(méi)有什么關(guān)系，它們是怎么關(guān)聯(lián)起來(lái)的呢？

這要?dú)w功于歐拉公式：
歐拉公式

當(dāng)\theta = \pi時(shí)，歐拉公式演變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=-1%20%2B%200%20%3D%20e%5E%7Bi%5Cpi%7D" alt="-1 + 0 = e^{i\pi}" mathimg="1">即e^{i\pi}+1=0，被評(píng)為“最美數(shù)學(xué)公式”。
當(dāng)\theta = 2\pi時(shí)，歐拉公式演變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=1%20%2B%200%20%3D%20e%5E%7B2i%5Cpi%7D" alt="1 + 0 = e^{2i\pi}" mathimg="1">即(e^{i\pi})^2=1。
當(dāng)\theta = \frac{\pi}{2}時(shí)，演變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=i%20%3D%20e%5E%7Bi%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D" alt="i = e^{i \frac{\pi}{2}}" mathimg="1">;

復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)的二維解析表達(dá)式是z = x + \text{i}y，其中x是實(shí)部，y是虛部。
如果使用極坐標(biāo)，模為r幅角為\theta的復(fù)數(shù)可以表示為z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta)。

在復(fù)平面中繪制單位圓，原點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)長(zhǎng)度都是1，構(gòu)成的向量是“單位向量”。圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都叫“單位復(fù)數(shù)”。
當(dāng)復(fù)數(shù)模為1時(shí)（即x^2+y^2=1），z=\cos \theta + \text{i} \sin \theta，就是歐拉公式的一邊。

代入歐拉公式，z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta) = r e^{i\theta}。

我們重新表達(dá)一下離散傅里葉變換DFT入門(mén)中x^8=1的8個(gè)單位復(fù)根

單位復(fù)根

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