在有限元分析中，有大量需要進(jìn)行曲線擬合的工作。尤其是在材料領(lǐng)域，當(dāng)工程師們只有一些材料的離散的測(cè)試數(shù)據(jù)，在給定數(shù)值模型后，需要通過對(duì)材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合，才能確定模型中的參數(shù)。常見的曲線參數(shù)擬合有，超彈材料，塑性材料，粘性材料，和磁芯損耗材料等等。和其他類型的曲線擬合不同的是，這些有限元材料模型的曲線擬合不僅需要誤差小，同時(shí)要求擬合出的參數(shù)物理性正確，而且在后續(xù)的非線性有限元計(jì)算中，這些參數(shù)還需要易于收斂。因此對(duì)參數(shù)擬合的算法和細(xì)節(jié)，提出了比較高的要求。

很少有文章討論超彈模型參數(shù)的取值范圍，初始值設(shè)定，以及參數(shù)值的合理范圍。而這些都是開發(fā)超彈模型曲線擬合，驗(yàn)證擬合參數(shù)合理性的關(guān)鍵。本文從開發(fā)的角度，討論如何更好地實(shí)現(xiàn)超彈材料模型的曲線擬合。尤其是參數(shù)邊界和初始值的設(shè)定，以及合理的參數(shù)應(yīng)該符合怎樣特征。

由于超彈模型眾多，每種超彈模型還有會(huì)根據(jù)階數(shù)的不同，有多種形式。為了避免混淆，本文按章節(jié)分別描述每種超彈模型的計(jì)算細(xì)節(jié)。

1. neo-Hookean

將neo-Hookean作為第一個(gè)討論的模型，是因?yàn)閚eo-Hookean是最經(jīng)典、最簡(jiǎn)單的超彈模型之一。很多其他模型，可以在某種特殊參數(shù)下， 簡(jiǎn)化為neo-Hookean模型。其應(yīng)變能密度函數(shù) W的表達(dá)式為

其中μ是剪切模量。 在曲線擬合計(jì)算時(shí)，要求剪切模量必須大于零，即μ>0。初始值設(shè)置為μ0=E/3，楊氏模量E可以從應(yīng)力-應(yīng)變曲線在原點(diǎn)附近（應(yīng)變 < 5%）的斜率獲得。

參數(shù)擬合后，可以查驗(yàn)是否符合真實(shí)物理，可以參考以下常見超彈材料與μ的近似對(duì)應(yīng)關(guān)系。

材料類型剪切模量 μ (MPa)

極軟橡膠0.3 ~ 0.5

中等硬度橡膠1.0 ~ 1.5

硬橡膠3.0 ~ 5.0

生物軟組織0.01 ~ 0.1

如果擬合出的 參數(shù)μ與單軸拉伸數(shù)據(jù)差異很大，說明材料可能表現(xiàn)出明顯的第二應(yīng)變能不變量效應(yīng)，此時(shí)應(yīng)改用 Mooney-Rivlin 或其他模型。

2. Mooney-Rivlin

Mooney-Rivlin也是在工程分析中最常用的超彈模型之一。是neo-Hookean模型的直接擴(kuò)展。特點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單且靈活，如果說 neo-Hookean 是超彈界的“入門款”，那么Mooney-Rivlin就是處理中低度變形（100%-200%應(yīng)變）的“標(biāo)準(zhǔn)款”。 由于其數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單且線性相關(guān)于材料常數(shù)，在有限元分析（FEA）計(jì)算中容易收斂。

根據(jù)階數(shù)的不同，Mooney-Rivlin有幾種不同的形式，含有不同數(shù)量的參數(shù)，其中最高階的9參數(shù)模型最為復(fù)雜，本節(jié)就以九參數(shù)Mooney-Rivlin模型為例，討論參數(shù)的范圍與初始值設(shè)置。其應(yīng)變能密度函數(shù)W也包含了從一次項(xiàng)到三次項(xiàng)的所有組合：

物理上要求剪切模量μ>0。因此有μ=2(C10+C01)>0，實(shí)際計(jì)算時(shí)最穩(wěn)妥的約束：C10>0 且C01>=0。在許多橡膠材料中，C10是主導(dǎo)項(xiàng)，而 C01較小。C11 通常也為正值。三階參數(shù)C30>=0。C03, C21, C12可以捕捉極大變形（應(yīng)變 > 400%）時(shí)的急劇硬化。一般比一階參數(shù)小 3-4 個(gè)數(shù)量級(jí)。

關(guān)于初始條件，C10=0.9*(μ0/2)，C01 = 0.1*(μ0/2)，初始剪切模量 μ0=E/3。C11，C20，C02，C30, C21的初始值往往選擇一個(gè)很小的值，取C10的0.1%。C12和C03的初始值可以設(shè)為零。對(duì)于大多數(shù)合成橡膠（如 NBR, EPDM, 氯丁橡膠），參數(shù)大致遵循以下數(shù)量級(jí)規(guī)律：

階數(shù)分類參數(shù)符號(hào)典型取值范圍

一階 (線性項(xiàng))C10, C010.1~2.0

二階 (過渡項(xiàng))C20, C11, C02-0.2~0.2

三階 (硬化項(xiàng))C30, C21, C12, C03-0.05~0.1

Mooney-Rivin也有一定局限性。當(dāng)橡膠拉伸到極限（分子鏈拉直）時(shí)，應(yīng)力會(huì)急劇上升（即上翹現(xiàn)象）。Mooney-Rivlin 無法模擬這種高應(yīng)變下的硬化。如果需要模擬極大的變形（應(yīng)變 > 300%），建議使用 Ogden 或 Gent 模型。同時(shí)，如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不夠全面，建議退而求其次使用參數(shù)更少、更魯棒的模型，如Yoeh模型或5 參數(shù) Mooney-Rivlin模型。

3. Yeoh

Yeoh 超彈模型以其簡(jiǎn)潔性和穩(wěn)定性著稱，舍棄了受實(shí)驗(yàn)誤差干擾較大的第二不變量 I2（即 C01 等項(xiàng)），僅保留第一不變量 I1，因此在擬合大變形數(shù)據(jù)時(shí)比 Mooney-Rivlin 模型更加穩(wěn)健。應(yīng)變能密度函數(shù) W如下

常用的Yeoh模型有1-3階，對(duì)應(yīng)1-3參數(shù)。擬合計(jì)算時(shí)，需要C10>0。如果 C10<= 0，材料將失去抗剪切能力，導(dǎo)致模擬計(jì)算立即崩潰。 C20 通常為負(fù)，且絕對(duì)值不會(huì)太大。擬合計(jì)算時(shí)，可以控制其絕對(duì)值大于在C10的1%。C30 為正值，用于捕捉末端硬化 。

初始值設(shè)置也相對(duì)簡(jiǎn)單，C10的初始值為E/6，楊氏模量E是測(cè)試數(shù)據(jù)在小變型時(shí)的斜率。C20=-0.1*C10, C30=0.01*C10。

常見材料的Yeoh模型的參數(shù)如下：

材料類型/硬度C10 (MPa)C20 (MPa)C30 (MPa)特征描述

超軟硅膠/凝膠0.01~0.1-0.001~-0.010.0001~0.01初始模量極低，硬化發(fā)生很晚。

天然橡膠 (40A-50A)0.2~0.5-0.02~-0.10.01~0.05延展性好，曲線中段有明顯的平緩區(qū)。

工業(yè)級(jí)橡膠 (60A-70A)0.6~1.2-0.1~-0.50.1~0.5剛度中等，常用于輪胎側(cè)壁或密封圈。

高硬度彈性體 (80A+)1.5~5.0-0.5~-2.00.5~2.0硬化發(fā)生極早，曲線陡峭。

4. 多項(xiàng)式

多項(xiàng)式超彈模型是也一種基于應(yīng)變能密度函數(shù) W 對(duì)不變量 I1 和 I2 進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開的模型。 它是超彈性理論中應(yīng)用最廣泛的框架之一，許多模型（如 Mooney-Rivlin, Yeoh, Neo-Hookean）本質(zhì)上都是它的特殊形式。 其通用的應(yīng)變能密度函數(shù) W表示為：

N是模型的階數(shù)，常用的多項(xiàng)式模型有1-3階，對(duì)應(yīng)2，5和9參數(shù)模型。和Mooney-Rivlin模型一樣，擬合計(jì)算時(shí)，需要保證C10 > 0, 同時(shí)保證C10 > |C01|。C30通常也要求為正數(shù)。且階數(shù)越高，數(shù)值量級(jí)通常越小。對(duì)于超彈材料，合理的參數(shù)范圍如下表所示。

參數(shù)類別參數(shù)項(xiàng)典型范圍 (MPa)物理行為說明

基礎(chǔ)模量C100.1~0.6主導(dǎo)中小變形剛度，通常為正值。

剪切修正C010.01~0.1修正剪切行為，通常為正值。

中段調(diào)節(jié)C20-0.05~0.05控制曲線中段的斜率變化，常為負(fù)值。

大變形硬化C300.001~0.01控制極高應(yīng)變下的上揚(yáng)硬化，必須為正。

耦合項(xiàng)C11, C02-0.01~0.01交叉影響 I1 和 I2通常接近于零。

初始值的設(shè)定上，令C10=E/6。C20=-0.1*C10。C30=0.01*C10或更小，C30值雖小，但在高次方放大下對(duì)曲線末端影響很大。

5. Arruda-Boyce

Arruda-Boyce 模型（通常被稱為“八鏈模型”）在超彈性材料仿真中非常獨(dú)特。是基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)（分子鏈網(wǎng)絡(luò)理論）構(gòu)建的。應(yīng)變能密度函數(shù) W表示為：

模型最大的特點(diǎn)就是對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)要求低，單軸數(shù)據(jù)足以起步：與需要多軸數(shù)據(jù)才能鎖定的多項(xiàng)式模型不同，Arruda-Boyce 模型的參數(shù)具有明確物理定義，通常僅靠高質(zhì)量的單軸拉伸數(shù)據(jù)就能獲得相對(duì)準(zhǔn)確的μ和λm。

初始剪切模量μ的取值范圍很直接，必須大于 0,值限定在0.1~5MPa，常見橡膠材料參考值是0.5~1.5MPa之間。λm必須大于1，值通常限定在[1.1, 20]。如果λm太接近 1，模型會(huì)變得極其僵硬，導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算極其不穩(wěn)定。對(duì)于大多數(shù)工業(yè)橡膠，λm設(shè)定在 3.0 到 7.0 之間通常能覆蓋絕大多數(shù)工況。

初始值的確定也很直接，令μ=E/3。λm=5是一個(gè)穩(wěn)健的起點(diǎn)。

通常情況下，Arruda-Boyce 參數(shù)對(duì)于橡膠材料有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

材料μ （MPa）λm

軟橡膠 (Shore 30A – 40A)0.3~0.65.0~8.0

中等硬度 (Shore 50A – 60A)1.0~2.53.0~5.0

硬橡膠 (Shore 70A – 80A)3.0~8.01.5~2.5

6. Blatz-Ko

Blatz-Ko模型是一種形式簡(jiǎn)單的用于模擬泡沫和多孔材料的模型。最常用的形式僅包含一個(gè)參數(shù)：剪切模量μ。

和其他超彈模型一樣，剪切模量必須要大于零。泊松比ν是固定的： 該模型的一個(gè)理論特性是其有效泊松比被鎖定在 0.25 左右。這意味著假設(shè)材料在受壓時(shí)體積會(huì)顯著縮小，而不是像普通橡膠那樣向四周擴(kuò)張。如果材料是實(shí)心橡膠（泊松比接近 0.5，不可壓縮），則不要使用 Blatz-Ko 模型。

Blatz-Ko 模型只要確保剪切模量μ是正值，即μ>0且該材料確實(shí)是可壓縮的泡沫類材料，擬合通常非常直接。

由于泊松比ν通常被固定為0.25。根據(jù)線彈性轉(zhuǎn)換關(guān)系：μ = E/2(1+ν) = E/2.5 = 0.4E。初始值可以設(shè)定為0.4E。

材料類型μ取值范圍（MPa）說明

超輕質(zhì)聚氨酯泡沫0.05~0.5密度極低，極易壓縮變形。

中等密度發(fā)泡橡膠0.5~2.0常見的減震墊、包裝防護(hù)材料。

高硬度閉孔泡沫2.0~10.0結(jié)構(gòu)支撐用泡沫，剛度較高。

實(shí)心可壓縮橡膠10.0+某些含氣泡的特殊合成橡膠。

7. Gent

Gent 模型是一種基于物理意義的超彈性模型，它與 Arruda-Boyce 模型非常相似現(xiàn)象。 該模型最大的優(yōu)勢(shì)在于形式簡(jiǎn)單，僅通過兩個(gè)常數(shù)就能很好地捕捉聚合物鏈達(dá)到極限拉伸長(zhǎng)度時(shí)的非線性行為。Gent 模型的數(shù)學(xué)形式是對(duì)數(shù)函數(shù)，擬合計(jì)算的開銷比 Arruda-Boyce 模型要小。

Gent 模型只有兩個(gè)核心參數(shù)：μ（初始剪切模量） 和Jm（極限不變量）。其應(yīng)變能密度函數(shù)定義為：

參數(shù)μ必須嚴(yán)格大于 0。 Jm必須嚴(yán)格大于 I1-3 的最大測(cè)量值。 如果 Jm 太小，導(dǎo)致 (I1-3)/Jm <= 1，對(duì)數(shù)函數(shù)ln 會(huì)失去意義，計(jì)算會(huì)報(bào)錯(cuò)。

剪切模量μ的初始值確定比較簡(jiǎn)單，μ=E/3。Jm 在數(shù)學(xué)上定義了第一不變量I1-3的上限，所以初始值必須略大于實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的最大變形所對(duì)應(yīng)的不變量值。找到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中最大的伸長(zhǎng)率λ_max，計(jì)算最大變形對(duì)應(yīng)的I1，注意這里I1的計(jì)算，根據(jù)實(shí)驗(yàn)類型的不同，公式稍有不同。Jm初始值定為1.2 * (I1_max – 3)。

不同硬度材料的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)參考如下：

材料硬度/類型剪切模量μ(MPa)極限常數(shù)Jm說明

超軟凝膠 / 軟組織0.01~0.150~150極易拉伸，極晚進(jìn)入硬化階段。

天然橡膠 (40A)0.3~0.630~80延展性極佳，硬化點(diǎn)較高。

工業(yè)橡膠 (60A)1.0~2.010~25剛度中等，拉伸 3-4 倍后迅速硬化。

高硬度彈性體 (80A)3.0~7.02~8極短距離內(nèi)即發(fā)生硬化，脆性增加。

8. Ogden

Ogden超彈模型是目前最強(qiáng)大、最靈活的超彈性模型之一。Ogden 模型直接基于主拉伸比（Principal Stretches）λi來構(gòu)建。 Ogden 模型的應(yīng)變能密度函數(shù)，采用級(jí)數(shù)疊加形式，按階數(shù)n展開，n代表模型階數(shù)。

1 階 Ogden：2 個(gè)參數(shù)，適合小變形、簡(jiǎn)單橡膠材料，計(jì)算效率最高。

2 階 Ogden：4 個(gè)參數(shù)，兼顧精度與效率，是常規(guī)工業(yè)仿真的主流選擇。

3 階 Ogden：6 個(gè)參數(shù)，適合大變形、高非線性復(fù)雜彈性體，擬合精度最高。 在應(yīng)變達(dá)到 700% 甚至更高的情況下，Ogden 模型依然能保持良好的預(yù)測(cè)能力。

Ogden模型參數(shù)較多，高階版本需要單軸、純剪切、等雙軸等多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)聯(lián)合擬合，否則容易出現(xiàn)非物理解、過擬合。參數(shù)需要滿足熱力學(xué)穩(wěn)定性約束，擬合時(shí)必須設(shè)置合理邊界。如令μ1>|μ2|>|μ3|，1<α1<10，-10<α2<10, -15<α3<15。

曲線擬合的初始值常做如下設(shè)置：α1=2, α2=2, α3=6, μ1=0.6*μ0, μ2=0.1*μ0, μ3=0.05*μ0, 其中初始剪切模量μ0=E/3。楊氏模量E通過低應(yīng)變下的測(cè)試數(shù)據(jù)斜率得到。

常見的Odgen超彈模型擬合出的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：

材料類型參數(shù)符號(hào)典型取值范圍特征說明

軟橡膠 / 硅膠μ0.01~0.5 MPa模量較小，曲線平緩。

α-10~10通常包含正負(fù)指數(shù)以擬合拉伸和壓縮對(duì)稱性。

工業(yè)級(jí)硬橡膠α1.0~10.0 MPa剛度高，μ組合后的初始斜率大。

α1.5~20較大的正指數(shù)用于模擬大變形下的劇烈硬化。

生物軟組織μ0.001~0.1 MPa極軟，對(duì)小變形高度敏感。

α10~50指數(shù)通常很大，以模擬纖維結(jié)締組織的“鎖死”效應(yīng)。

總結(jié)

雖然曲線擬合有著比較成熟的數(shù)值計(jì)算方法，但是在有限元計(jì)算的材料參數(shù)擬合上，需要考慮諸多的物理因素，同時(shí)要保證擬合出的參數(shù)在后續(xù)有限元計(jì)算中易于收斂。很多時(shí)候，由于測(cè)試數(shù)據(jù)的缺乏，使得超彈材料的曲線擬合變得復(fù)雜，對(duì)開發(fā)者和使用者都有比較高的要求。

超彈材料模型擬合所需的測(cè)試數(shù)據(jù)主要有，單軸拉伸，等雙軸拉伸 ，和純剪切變形數(shù)據(jù)。筆者在《超彈材料模型及其曲線擬合》一文已經(jīng)有了詳細(xì)描述。

目前，WELSIM已經(jīng)具備了準(zhǔn)確擬合超彈模型曲線的功能，同時(shí)，獨(dú)立運(yùn)行的免費(fèi)工程軟件MatEditor和CurveFitter也具有以上曲線擬合功能。用戶可以直接下載并使用。