前段時(shí)間讀了一本書(shū)《數(shù)學(xué)之美》，看完后對(duì)這本書(shū)贊嘆不已。翻譯，搜索，語(yǔ)音識(shí)別等等看起來(lái)高大上的計(jì)算機(jī)科學(xué)，背后離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支持。而這些數(shù)學(xué)知識(shí)并沒(méi)有想象中那么復(fù)雜，反而通俗易懂。
不過(guò)要想讀懂這本書(shū)，一些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)還是要思路清晰的。其中涉及最多的知識(shí)是概率論。所以我想用幾篇文章梳理一下概率論的知識(shí)。
為了更好的表述，我們以生活中的彩票為例，探究一下彩票中的數(shù)學(xué)知識(shí)。
先看一個(gè)簡(jiǎn)單的小例子：
商場(chǎng)同時(shí)舉辦兩場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，兩場(chǎng)抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率都是30%，第一場(chǎng)獎(jiǎng)金500元，第二場(chǎng)獎(jiǎng)金1000元，只能參加一場(chǎng)活動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)如何參加？
這個(gè)問(wèn)題，傻子都知道，會(huì)去第二場(chǎng)(中獎(jiǎng)率一樣，肯定去錢(qián)多的啊)。
那，如果第一場(chǎng)的中獎(jiǎng)率是50%呢？
這個(gè)問(wèn)題就有些復(fù)雜了，一個(gè)是高幾率低收益，一個(gè)是低幾率高收益，沒(méi)辦法直接比較。這時(shí)候，數(shù)學(xué)中有一個(gè)非常實(shí)用的概念，可以幫助我們決策，它就是數(shù)學(xué)期望。
數(shù)學(xué)期望是一個(gè)反映“均值”的概念，以第一場(chǎng)活動(dòng)為例，50%的幾率得到500元，50%的幾率什么也得不到。我們實(shí)際上需要知道的是平均玩一場(chǎng)可以得到多少錢(qián)。
既然是平均，我們可以假設(shè)玩了場(chǎng)游戲，用總錢(qián)數(shù)除以
，就可以知道平均每場(chǎng)得多少錢(qián)了。
根據(jù)概率可知，大約有場(chǎng)游戲得了
元，
場(chǎng)游戲不得錢(qián)，總計(jì)
， 除以游戲場(chǎng)次
，平均每一局的收益為
。
我們發(fā)現(xiàn)在計(jì)算過(guò)程中，游戲的場(chǎng)次N被約掉了，并沒(méi)有發(fā)揮作用。那是不是有更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法呢。這就是我們要說(shuō)的數(shù)學(xué)期望公式。
等式左邊的E是我們要求的數(shù)學(xué)期望，他反映了一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)事件在大量試驗(yàn)下的平均值。右邊是個(gè)求和公式，每一項(xiàng)都是該事件的數(shù)值乘以該事件的概率
上面的問(wèn)題用數(shù)學(xué)期望公式可以寫(xiě)成：
和前面的結(jié)果完全一樣。因?yàn)槲覀円?jì)算的是收益的數(shù)學(xué)期望，所以公式中的數(shù)值就是收益。 其他場(chǎng)景，這個(gè)數(shù)值就不一定是收益了。比如我們想計(jì)算運(yùn)動(dòng)消耗能量的數(shù)學(xué)期望，就要把卡路里帶入到公式中了。
接下來(lái)，我們進(jìn)入正題，聊一聊彩票。
全世界都有不少彩迷朋友，或?yàn)榱讼玻驗(yàn)榱速嶅X(qián)，熱衷于購(gòu)買(mǎi)彩票。這些人群中，也出現(xiàn)了所謂的“專家”，提出了一些選彩理論，只要你搜索一下，就能看到這些專家提出的各種“學(xué)術(shù)用語(yǔ)”，冷號(hào)，熱號(hào)，大號(hào)，小號(hào)，連號(hào)，倍投，守號(hào)，令人應(yīng)接不暇。
要是信了他們，就完蛋了。所有宣傳彩票技巧的，100%都是騙子
這個(gè)道理很簡(jiǎn)單，每一次開(kāi)獎(jiǎng)都是獨(dú)立事件。何為獨(dú)立事件，就是說(shuō)，每一次事件都和之前的事件毫無(wú)關(guān)聯(lián)。這個(gè)道理想想就明白。搖獎(jiǎng)的機(jī)器又沒(méi)有記憶力，怎么可能參考之前的結(jié)果呢。
獨(dú)立事件聽(tīng)起來(lái)很好理解，但是在生活中很多人都會(huì)犯錯(cuò)，比如一枚硬幣連續(xù)9次拋擲都是正面朝上，有人會(huì)認(rèn)為第10次反面朝上的概率大。這其實(shí)是不正確的， 第十次反面朝上的概率依然是50%。
Tips：生活中做出判斷時(shí)，一定要認(rèn)清楚什么是獨(dú)立事件，比如一張?jiān)嚲砩线x擇題的答案并不是獨(dú)立事件。這是因?yàn)槌鲱}老師會(huì)刻意讓選項(xiàng)分布平均，如果你連續(xù)5題選了C，第六題拿不準(zhǔn)主意的時(shí)候，盡量不要蒙C
回到彩票的問(wèn)題，我們姑且認(rèn)為彩票的搖獎(jiǎng)機(jī)是公平公正的，那么沒(méi)每次買(mǎi)彩票就是獨(dú)立事件。 又因?yàn)椴势钡囊?guī)則是確定的，每次中獎(jiǎng)事件的概率分布是一樣的。那么我們就可以用數(shù)學(xué)期望公式來(lái)計(jì)算買(mǎi)彩票的預(yù)期收益。
我們先假設(shè)一種彩票類型，分為5個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的金額和中獎(jiǎng)概率用下面的表格表示:
| 一等獎(jiǎng) | 二等獎(jiǎng) | 三等獎(jiǎng) | 四等獎(jiǎng) | 五等獎(jiǎng) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 中獎(jiǎng)金額 | 500萬(wàn) | 10萬(wàn) | 3000 | 200 | 5 |
| 中獎(jiǎng)概率 |
那么小明購(gòu)買(mǎi)一注彩票的平均收益為：
而一注彩票的價(jià)格一般是2元，也就是說(shuō)小明每買(mǎi)一注彩票，平均虧損0.65元。
上面的例子其實(shí)已經(jīng)算比較良心了，筆者研究過(guò)數(shù)十種不同類型的彩票，大部分的數(shù)學(xué)期望在1元左右，也就是說(shuō)要抽走你一般的購(gòu)彩資金。感興趣的讀者可以自行計(jì)算。
那是不是說(shuō)我們應(yīng)該堅(jiān)決抵制彩票呢，我覺(jué)得大可不必。這篇文章只是告訴你買(mǎi)可以通過(guò)數(shù)學(xué)期望來(lái)估算彩票的收益，雖然你肯定是虧的，但在這個(gè)過(guò)程中你還可以收獲別的東西。比如收獲一份小期待啊，比如收獲和其他彩民交流的樂(lè)趣啊，從這個(gè)角度一想，虧的那點(diǎn)錢(qián)反而不重要了。
但是，千萬(wàn)不要把它當(dāng)做賺錢(qián)的手段，尤其不要相信什么彩票達(dá)人的話，如果你投入大量的資金，那就不再是小買(mǎi)怡情了， 虧得傾家蕩產(chǎn)的例子比比皆是。
