力的分解與合成

力是矢量。

力的分解與合成可用以下規(guī)則完成：平行四邊形法則、三角形法則。

兩個(gè)法則是等效的。對(duì)有些問(wèn)題，三角形法則可能效率較高，而對(duì)于另外一些問(wèn)題，平行四邊形法則可能效率更高一些。

在最近十年的客觀題中，多次直接考查力的分析與合成。此處收錄較具典型性的三題。

典型考題1：2016年全國(guó)卷二題14

質(zhì)量為 $m$ 的物體用輕繩 $AB$ 懸掛于天花板上。用水平向左的力 $F$ 緩慢拉動(dòng)繩的中點(diǎn) $O$ ，如圖所示。用 $T$ 表示繩 $OA$ 段拉力的大小，在 $O$ 點(diǎn)向左移動(dòng)的過(guò)程中

A. $F$ 逐漸變大， $T$ 逐漸變大 B. $F$ 逐漸變大， $T$ 逐漸變小

C. $F$ 逐漸變小， $T$ 逐漸變大 D. $F$ 逐漸變小， $T$ 逐漸變小

此題可用三角形法則解答，效率很高。只需要畫(huà)圖，不需要計(jì)算。

在本題中，以繩結(jié)為研究對(duì)象，該對(duì)象在 $\overrightarrow{G},\overrightarrow{T},\overrightarrow{F}$ 這三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，所以，三個(gè)力的合力為零。三個(gè)力首尾相接，構(gòu)成一個(gè)閉合三角形。

顯然，在 $O$ 點(diǎn)向左移動(dòng)的過(guò)程中， $T,F$ 這兩個(gè)力都在變大。

有學(xué)生提問(wèn)：老師，在有些圖中，三個(gè)矢量首尾相接，而在另外一些圖中卻不是這樣。這是為什么？

對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答是：這兩個(gè)圖表達(dá)的意思并不相同。

如下圖所示，

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AC}$ 代表 $\overrightarrow {AB}$ 與 $\overrightarrow {BC}$ 這兩個(gè)矢量之和；在圖中，以一根帶箭頭的虛線表示，箭頭在 $C$ 端。

而在另外一個(gè)圖中， $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}$ 這三個(gè)矢量的首尾相接，構(gòu)成一個(gè)閉合三角形。相應(yīng)的，這三個(gè)矢量的和是零矢量。

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{0}$

注意： $\overrightarrow{AC}$ 與 $\overrightarrow{CA}$ 大小相等而方向相反，其和為零矢量。

回到前面【2016年全國(guó)卷二題14】的解答過(guò)程中，我們用帶箭頭的虛線代表 $F$ 與 $T$ 的合力；這個(gè)合力與重力大小相等，方向相反。

如果以 $\overrightarrow{F},\overrightarrow{T},\overrightarrow{G}$ 分別代表這三個(gè)力，則其矢量和為零矢量：

$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{G} = \overrightarrow{0}$

典型考題2：2014年海南卷題5

5.如圖，一不可伸長(zhǎng)的光滑輕繩，其左端固定于 $O$ 點(diǎn)，右端跨過(guò)位于 $O'$ 點(diǎn)的固定光滑軸懸掛一質(zhì)量為 $M$ 的物體; $OO'$ 段水平，長(zhǎng)度為 $L$ ; 繩上套一可沿繩滑動(dòng)的輕環(huán)?，F(xiàn)在輕環(huán)上懸掛一鉤碼，平衡后，物體上升 $L$ ，則鉤碼的質(zhì)量為

$A.\dfrac{\sqrt{2}}{2}M\qquad B.\dfrac{\sqrt{3}}{2}M$ $\qquad C.\sqrt{2}M\qquad D.\sqrt{3}M$

依題意可知：兩段繩子的夾角為 $60°$ .

此題用正交分解法解答較為方便；當(dāng)然，也可以用三角形法則。結(jié)論是一致的：鉤碼的質(zhì)量 $m=\sqrt{3} M$ .

典型考題3：2011年海南卷題4

4.如圖，墻上有兩個(gè)釘子 $a$ 和 $b$ ，它們的連線與水平方向的夾角為 $45°$ ，兩者的高度差為 $l$ 。一條不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定于 $a$ 點(diǎn)，另一端跨過(guò)光滑釘子 $b$ 懸掛一質(zhì)量為 $m_1$ 的重物。在繩上距 $a$ 端 $l/2$ 的 $c$ 點(diǎn)有一固定繩圈。若繩圈上懸掛質(zhì)量為 $m_2$ 的鉤碼，平衡后繩的 $ac$ 段正好水平，則重物和鉤碼的質(zhì)量比 $\dfrac{m_1}{m_2}$ 為