例　如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是邊AB上的動點，沿CP所在的直線折疊∠A，使點A的對應(yīng)點落在點A'處.當(dāng)A'P與Rt△ABC的邊平行時，線段AP的長為（? ? ）? ? ? ? ? ? ? ?

【解法提示】當(dāng)A'P與Rt△ABC的邊平行時→分情況討論

①當(dāng)A'P∥AC時；②當(dāng)A'P∥BC時

如何作圖？

1.畫出大致草圖

2.觀察草圖，找出關(guān)鍵信息

①當(dāng)A'P∥AC時，∠A'PC=∠ACP

折疊→∠ACP=∠A'CP，∠A=∠A'=60°→等邊△A'CP→AP=AC=2

②當(dāng)A'P∥BC時,∠A'PB=∠B=30°，∠A=∠A'=60°→直角△A'DP（含30°角的特殊直角三角形）

在直角△ADC中，根據(jù)∠A=60°，可以求出AD

折疊→AP=A'P，AD=AP+PD

【方法歸納】

題干中出現(xiàn)類似“點A'落在矩形ABCD的對角線(或邊或?qū)ΨQ軸)上”這樣的表述時，未明確折疊后落點的具體位置，需分類討論：

①點落在特殊四邊形的對角線上，需分特殊四邊形的兩條對角線兩種情況討論；

②點落在邊上時，需分點落在哪條邊上進(jìn)行討論；

③點落在對稱軸上，先確定所給圖形有幾條對稱軸，需分點落在哪條對稱軸上進(jìn)行討論.

【變式訓(xùn)練】

1. 已知，正方形的邊長為16，P是邊AD上的一個動點，連接BP，將△ABP沿BP折疊，使點A落在點A'處，延長PA'，CD于點E，當(dāng)點E與CD的中點F的距離為2時，AP的長為（? ? ?）? ?.

【解法提示】當(dāng)點E與CD的中點F的距離為2時→分情況討論：

①當(dāng)點E在點F上方時；②當(dāng)點E在點F下方時

如何作圖？

①當(dāng)點E在點F上方時

先將點F向上平移2個單位長度

折疊→∠A=∠BA'P=90°，AP=A'P，

P、A'、E三點共線，→∠BA'E=90°→過點E作圓B的切線，交AD于點P，

在直角△PDE中，利用勾股定理求解

②當(dāng)點E在點F下方時

先將點F向下平移2個單位長度

折疊→∠A=∠BA'P=90°，AP=A'P，

P、A'、E三點共線，→∠BA'E=90°→過點E作圓B的切線，交AD于點P，

在直角△PDE中，利用勾股定理求解

解題關(guān)鍵數(shù)據(jù)：CE＝A'E?？梢岳肏L求出

BA=BA'=BC，BE=BE

2. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，點P在邊AD上，將△ABP沿著BP折疊，若點A的對應(yīng)點A'恰落在矩形ABCD的對稱軸上，則AP＝ （? ? ? ?）cm.

【解題提示】若點A的對應(yīng)點A'恰落在矩形ABCD的對稱軸上→分情況討論：

①落在AD的垂直平分線上；

考慮一線三垂直△A'FP∽△BGA'

②落在AB的垂直平分線上；

A'為FG中點

考慮一線三垂直△A'FP∽△BGA'

或者考慮折疊→∠A'BG=30°→∠PA'F=30°

一題多解，HQ垂直平分AB→A'A=A'B

A'B=AB→等邊△A'AB

含30°的等腰△PAA（頂角為120°）'→三邊關(guān)系

3. (2021河南15題)小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，∠B＝30°，AC＝1，第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖②；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D'處，如圖③.當(dāng)點D'恰好在原直角三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為（? ? ? ?）? ?.

【解題提示】當(dāng)點D'恰好在原直角三角形紙片的邊上時→分情況討論：

①點D'落在AB上時

此時A'C⊥AB

∵∠CA'D＝∠A＝60°，

∴∠A'D'E＝30°，

A'E＝x，→AD＝A'D＝A'D'＝2A'E＝2x，DE＝D'E＝√3 A'E＝√3 x

在直角△AEC中，利用60°角，可以求出AE

AE=AD+DE=2x+√3 x

①點D'落在BC上時

∠ACD＝∠A'CD＝∠A'CD'＝1/3 ∠ACB＝30°，→∠ACA'＝60°，

∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，

∴△AA'C是等邊三角形，∴AA'＝AC＝1，

∴A'D'＝AD＝A'D＝1/2 AA'＝1/2 ；