11 概率分布：認(rèn)識現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型
隨機變量：把隨機事件可能的結(jié)果抽象成一個數(shù)字，每個數(shù)字對應(yīng)一個概率，這個隨機變化的數(shù)字。
概率分布：把隨機變量所有的結(jié)果和它對應(yīng)的概率全部統(tǒng)計出來
概率分布的作用：通過從整體上描述一個隨機事件的所有可能結(jié)果和對應(yīng)概率分布情況，從總體上把握這件事的基本輪廓。
數(shù)學(xué)家解決問題的方式是抽象
概率分布模型是我們對現(xiàn)實規(guī)律的抽象，正態(tài)分布、冪律分布都是這樣的模型，分別代表一種概率分布規(guī)律。
12 正態(tài)分布：最簡單卻最重要的概率分布
高斯使用到正態(tài)分布計算出谷神星（人類發(fā)現(xiàn)的第一顆矮行星）的運行軌道。
性質(zhì)一：均值就是期望
在正態(tài)分布中，平均值代表隨機事件的價值。
性質(zhì)二：極端值很少
性質(zhì)三：標(biāo)準(zhǔn)差決定胖瘦
eg：電腦開機時間打敗了全國97%的用戶，就是通過正態(tài)分布得到的，隨機抽取一部分用戶的開機數(shù)據(jù)，算出均值和標(biāo)準(zhǔn)差，就可以確定出一條正態(tài)分布曲線。
不同正態(tài)分布的分析比較：
第一，只有均值不同，能比較好壞
第二，只有標(biāo)準(zhǔn)差不同，能比較波動
eg：男女智商均值相同，但男性智商波動更大，在智商超群和智商堪憂的人中，男性數(shù)量多于女性
第三，均值和標(biāo)準(zhǔn)差都不同，能比較專業(yè)和業(yè)余
專業(yè)的均值更高，標(biāo)準(zhǔn)差更小，業(yè)余則相反。
13 中心極限定理：正態(tài)分布是概率分布的神
（1）合法性：中心極限定理提供保證
中心極限定理核心的數(shù)學(xué)性質(zhì)——大量獨立的隨機變量相加，無論各個隨機變量的分布是怎樣的，它們相加的結(jié)果必定會趨向于正態(tài)分布。換句話說，正態(tài)分布是必然產(chǎn)生的。
中心極限定理是因，正態(tài)分布是果。因為中心極限定理存在，所以正態(tài)分布才必然正確。
正態(tài)分布公式——高斯
中心極限定理——拉普拉斯
（2）正統(tǒng)性：正態(tài)分布建立了一套穩(wěn)定的秩序，就像參照系一樣，對所有的事物施加影響。
在統(tǒng)計學(xué)中，當(dāng)我們不知道某個隨機事件服從什么分布的時候，最常見的方法就是假設(shè)它服從正態(tài)分布，然后再用數(shù)據(jù)驗證。
一方面，是由于正態(tài)分布非常常見，所以假設(shè)一個隨機事件服從正態(tài)分布，比假設(shè)其他分布的成功率更高。
另一方面，是因為正態(tài)分布能像神一樣，給我們指明分析的方向。
eg：如果驗證后發(fā)現(xiàn)，這個隨機事件不服從正態(tài)分布，那它就一定不滿足正態(tài)分布背后的中心極限定理。而不滿足中心極限定理，要么是它的影響因素不夠多，要么是各種影響因素不相互獨立，要么是某種影響因素的影響力太大等等……這時候，接下來的研究也就有了明確的方向。
（3）主宰性
第一，正態(tài)分布普遍存在
第二，所有分布不斷疊加后最后都會變成正態(tài)分布
第三，正態(tài)分布是世界的宿命
“熵最大原理”：在一個孤立的系統(tǒng)中，熵總是在不斷增大。
正態(tài)分布是所有已知均值和方差的分布中，信息熵最大的一種分布。
14 冪律分布：給人帶來希望的魔鬼
無標(biāo)度：冪律分布唯一的數(shù)學(xué)特征。
“二八法則”：冪律分布的最直觀表現(xiàn)。
橫坐標(biāo)，代表隨機變量的取值；縱坐標(biāo)，代表發(fā)生的概率。
在隨機變量中，越小的數(shù)值，出現(xiàn)的概率越大；越大的數(shù)值，出現(xiàn)的概率則越小。
在任何觀測尺度下，冪律分布都呈現(xiàn)同樣的分布特征。
一般的分布都會有個尺度范圍，在這個范圍內(nèi)服從這個分布，超過這個尺度可能就不服從這種分布了。而冪律分布沒有尺度的限制，不管截取任何一個部分，都仍然呈現(xiàn)冪律分布的特征。
eg：圖書銷量是服從冪律分布的，最暢銷那本書的銷量在前10名銷量中占的比例，和前10名的銷量在前100名的銷量中占的比例，和前100名在前1000名的總銷量中占的比例，大體都是相同的。
第一，冪律分布讓平均數(shù)失去意義
第二，冪律分布讓原本不會發(fā)生的極端事件發(fā)生
在數(shù)學(xué)上，這個叫“長尾”，也叫肥尾、厚尾。簡單說就是，雖然極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率很低，但這個概率永遠(yuǎn)不會趨近于0，永遠(yuǎn)不會小到可以忽略不計。
在正態(tài)分布里，數(shù)據(jù)非常集中，非常極端的數(shù)據(jù)幾乎不可能出現(xiàn)，可以直接忽略不不計。而在冪律分布里，再極端的數(shù)據(jù)都有出現(xiàn)的可能。
第三，冪律分布完全不可預(yù)測
eg：著名的“沙堆模型”，在平臺上不斷添加沙粒，慢慢形成一個沙堆。隨著沙堆高度的增加，新添加的沙粒會帶動沙堆表面其他沙粒滾落，產(chǎn)生所謂的“沙崩”。統(tǒng)計沙崩的規(guī)模和發(fā)生的頻率，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)它服從冪律分布。
所有物理知識我們都掌握，而且能用計算機跟蹤每一粒沙子的位置，但仍然找不到沙堆崩塌的原因。既不知道在什么條件下，再放一粒沙子就會導(dǎo)致沙崩，也無法預(yù)測這粒沙子導(dǎo)致的沙崩規(guī)模會有多大。
冪律分布產(chǎn)生的原因，目前沒有統(tǒng)一答案。
在從有序到無序這個熵減過程中，冪律分布必然發(fā)生。
雖然冪律分布像魔鬼一樣狡詐、難以預(yù)料，但它可能是我們對抗熵增的必然選擇，是每個系統(tǒng)從無序到有序，從混沌到清晰，從未知世界到規(guī)律世界的必經(jīng)之路。冪律分布存在的地方，看似兇險，卻恰恰是對抗熵增，對抗死寂，對抗死亡的角斗場，是我們的希望之光。
在自然界與日常生活中，包括地震規(guī)模大小的分布、月球表面上月坑直徑的分布、行星間碎片大小的分布、太陽耀斑強度的分布、計算機文件大小的分布、戰(zhàn)爭規(guī)模的分布、人類語言 中單詞頻率的分布、大多數(shù)國家姓氏 的分布、科學(xué)家撰寫的論文數(shù)的分 布、論文被引用的次數(shù)的分布、網(wǎng)頁 被點擊次數(shù)的分布、書籍及唱片的銷 售冊數(shù)或張數(shù)的分布、每類生物中物 種數(shù)的分布、甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數(shù)的分布等，都是典型的冪律分布。
15 泊松分布：打開統(tǒng)計推斷的大門
