一、十進制整數(shù)轉二進制
1.十進制整數(shù)轉換為二進制整數(shù)采用除2取余，逆序排列法。具體做法是：
- 用2整除十進制整數(shù)，可以得到一個商和余數(shù)；
- 再用2去除商，又會得到一個商和余數(shù)，如此進行，直到商為0時為止
- 然后把先得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。
例如 5 的二進制表示為：101
5 / 2 => 商2 余 1
2 / 2 => 商1 余 0
1 / 2 => 商0 余 1
2.二進制轉十進制整數(shù)
從右向左用二進制數(shù)的每個位上數(shù)去乘以2的相應次方，并將所有結果相加。例如5的二進制是：101
1 * 2^0 = 1
0 * 2^1 = 0
1 * 2^2 = 4
相加就等于5
3.十進制小數(shù)轉換為二進制小數(shù)
什么是二進制的小數(shù)？ 就是形如101.11數(shù)字，注意，這是二進制的，數(shù)字只能是0和1。
101.11就等于 1 * 2^2 + 0 *2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 4+0+1+1/2+1/4 = 5.75
下面的圖展示了一個二進制小數(shù)的表達形式。
從圖中可以看到，對于二進制小數(shù)，小數(shù)點右邊能表達的值是 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 … 1/(2^n）
4.計算機存儲十進制小數(shù)時需要先將其轉為二進制小數(shù)，具體的轉換方式是：
- 整數(shù)部分采用十進制轉二進制方法進行
- 小數(shù)部分乘以2，然后取整數(shù)部分。不斷重復該操作直到小數(shù)部分為0，或達到指定的精度。
舉個例子：1.8125 轉為 二進制小數(shù)
整數(shù)部分為1 轉為二進制為 1
0.8125 x 2 1.625 取 1
0.625 x 2 1.25 取 1
0.25 x 2 0.5 取 0
0.5 x 2 1.0 取 1
最終1.8125的二進制是1.1101
但問題在于，不是所有的小數(shù)都能轉換有限位數(shù)的二進制小數(shù)。例如10進制0.2的2進制：
0.2 x 2 0.4 0
0.4 x 2 0.8 0
0.8 x 2 1.6 1
0.6 x 2 1.2 1
0.2 x 2 0.4 0
0.4 x 2 0.8 0
0.8 x 2 1.6 1
0.6 x 2 1.2 1
……
發(fā)現(xiàn)了嗎？它是乘不盡的，是無限循環(huán)（0011）的……
在計算機中，浮點數(shù)沒有辦法精確表示的根本原因在于計算機有限的內(nèi)存無法表示無限的小數(shù)位。只能截斷，截斷就造精度的缺失。
0.2 的二進制小數(shù)表示可以是：
0.2 = 0.00110011
轉為十進制為：1/8 + 1/16 + 1/128 + 1/256 = 0.19921875
已經(jīng)很接近了，如果需要更精確的表示，只需要保留更長的有效位數(shù)。這也是雙精度的double比單精度的float更精確的原因。
浮點數(shù)存儲
C語言和C#語言中，對于浮點類型的數(shù)據(jù)采用單精度類型（float）和雙精度類型(double)來存儲，float數(shù)據(jù)占用32bit,double數(shù)據(jù)占用64bit,我們在聲明一個變量float f= 2.25f的時候，是如何分配內(nèi)存的呢？如果胡亂分配，那世界豈不是亂套了么，其實不論是float還是double在存儲方式上都是遵從IEEE的規(guī)范的，float遵從的是IEEE R32.24 ,而double 遵從的是R64.53。
無論是單精度還是雙精度在存儲中都分為三個部分：
符號位(Sign) : 0代表正，1代表為負
指數(shù)位（Exponent）:用于存儲科學計數(shù)法中的指數(shù)數(shù)據(jù)，并且采用移位存儲
尾數(shù)部分（Mantissa）：尾數(shù)部分
其中float的存儲方式如下圖所示：
而雙精度的存儲方式為:
R32.24和R64.53的存儲方式都是用科學計數(shù)法來存儲數(shù)據(jù)的，比如8.25用十進制的科學計數(shù)法表示就為:8.25
,而120.5可以表示為:1.205
首先看下8.25，用二進制的科學計數(shù)法表示為:1.0001*[![clip_image002[2]](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1835466-495030f4ca32ff07.gif?imageMogr2/auto-orient/strip)](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/jillzhang/WindowsLiveWriter/float_A919/clip_image002%5B2%5D_1.gif)
按照上面的存儲方式，符號位為:0，表示為正，指數(shù)位為:3+127=130 ,位數(shù)部分為,故8.25的存儲方式如下圖所示:
而單精度浮點數(shù)120.5的存儲方式如下圖所示:
那么如果給出內(nèi)存中一段數(shù)據(jù)，并且告訴你是單精度存儲的話，你如何知道該數(shù)據(jù)的十進制數(shù)值呢？其實就是對上面的反推過程，比如給出如下內(nèi)存數(shù)據(jù)：0100001011101101000000000000，首先我們現(xiàn)將該數(shù)據(jù)分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在內(nèi)存中的存儲就為下圖所示：
[圖片上傳失敗...(image-af8887-1513496425477)]
根據(jù)我們的計算方式，可以計算出，這樣一組數(shù)據(jù)表示為:1.1101101*
=120.5
而雙精度浮點數(shù)的存儲和單精度的存儲大同小異，不同的是指數(shù)部分和尾數(shù)部分的位數(shù)。所以這里不再詳細的介紹雙精度的存儲方式了，只將120.5的最后存儲方式圖給出，大家可以仔細想想為何是這樣子的
下面我就這個基礎知識點來解決一個我們的一個疑惑，請看下面一段程序，注意觀察輸出結果
float f = 2.2f;
double d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
f = 2.25f;
d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
可能輸出的結果讓大家疑惑不解，單精度的2.2轉換為雙精度后，精確到小數(shù)點后13位后變?yōu)榱?.2000000476837，而單精度的2.25轉換為雙精度后，變?yōu)榱?.2500000000000，為何2.2在轉換后的數(shù)值更改了而2.25卻沒有更改呢？很奇怪吧？其實通過上面關于兩種存儲結果的介紹，我們已經(jīng)大概能找到答案。首先我們看看2.25的單精度存儲方式，很簡單 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的雙精度表示為:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,這樣2.25在進行強制轉換的時候，數(shù)值是不會變的，而我們再看看2.2呢，2.2用科學計數(shù)法表示應該為：將十進制的小數(shù)轉換為二進制的小數(shù)的方法為將小數(shù)2，取整數(shù)部分，所以0.282=0.4，所以二進制小數(shù)第一位為0.4的整數(shù)部分0，0.4×2=0.8，第二位為0,0.82=1.6,第三位為1，0.6×2 = 1.2，第四位為1，0.2*2=0.4，第五位為0，這樣永遠也不可能乘到=1.0，得到的二進制是一個無限循環(huán)的排列 00110011001100110011... ,對于單精度數(shù)據(jù)來說，尾數(shù)只能表示24bit的精度，所以2.2的float存儲為:
但是這樣存儲方式，換算成十進制的值，卻不會是2.2的，應為十進制在轉換為二進制的時候可能會不準確，如2.2，而double類型的數(shù)據(jù)也存在同樣的問題，所以在浮點數(shù)表示中會產(chǎn)生些許的誤差，在單精度轉換為雙精度的時候，也會存在誤差的問題，對于能夠用二進制表示的十進制數(shù)據(jù)，如2.25，這個誤差就會不存在，所以會出現(xiàn)上面比較奇怪的輸出結果。
