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問(wèn)題探討

問(wèn)題背景：已知均勻帶電細(xì)棒外一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，已知均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，已知均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，試求均勻帶電圓球軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
基本解題思路：利用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算式： $\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{r^2}\vec{e_r}$ ;再利用積分求和即可得到答案。
問(wèn)題引導(dǎo)
- 如圖所示，設(shè)真空中有一均勻帶電細(xì)棒AB的電荷線密度為 $\lambda$ ； $P$ 為 $AB$ 外的一點(diǎn)，它到 $AB$ 的距離為 $a$ ， $AP$ 、 $BP$ 與 $y$ 軸的夾角分別為 $\theta_1$ ， $\theta_2$ ，求帶電棒在 $P$ 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。
  
  QQ圖片20190403200210.jpg
  
  - 注意：（1）選好點(diǎn)電荷；（2）盡量使矢量積分簡(jiǎn)化（化矢量積分為標(biāo)量積分，注意多變量統(tǒng)一）
  
  解：
  
  在 $AB$ 棒上任取一段微元（電荷元） $dy$ ，故有此所帶的電荷量為 $dq=\lambda dy$ ，
  故其在 $P$ 點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 $d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\vec{e_r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dy}{r^2}\vec{e_r}$
  注： $\vec{e_r}$ 表示由施力電荷指向受力電荷的單位矢量。
  因?yàn)檫@是一個(gè)二維場(chǎng)，故有在 $x，y$ 軸上的投影分別為（化標(biāo)量）
  $dE_x=dEsin\theta=\frac {\lambda sin\theta}{4\pi\epsilon_0}dy$
  $dE_y=dEcos\theta=\frac{\lambda cos\theta}{4\pi\epsilon_0}dy$
  式子中的 $\theta$ 為 $d\vec{E}$ 與 $y$ 軸的夾角， $r$ 為線元 $dy$ 到 $P$ 點(diǎn)的距離。
  由圖易得，變量 $\theta，y，r$ 之間的關(guān)系為
  $y=-acot\theta$ ， $r=\frac{a}{sin\theta}=acsc\theta$
  故有 $dy=\frac{ad\theta}{sin^2\theta}=acsc^2\theta d\theta$
  所以，
  $dE_x=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}sin\theta d\theta$
  $dE_y=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}cos\theta d\theta$
  對(duì)二式積分，即可得到在 $P$ 點(diǎn)處的 $X，Y$ 方向上的合場(chǎng)強(qiáng)
  即 $E_x=\int^{\theta_2}_{\theta_1} dE_x=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\frac{\lambda sin\theta}{4\pi \epsilon_0a}d\theta=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}（cos\theta_1-cos\theta_2）$
  $E_y=\int^{\theta_2}_{\theta_1} dE_y=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\frac{\lambda cos\theta}{4\pi \epsilon_0a}d\theta=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}（sin\theta_2-sin\theta_1）$
  故在 $P$ 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)：
  $\vec{E}=E_x\vec{i}+E_y\vec{j}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}[（cos\theta_1-cos\theta_2）\vec{i}+（sin\theta_2-sin\theta_1）\vec{j}]$
  如若細(xì)棒可認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)，則可有 $\theta_1=0，\theta_2=\pi$
  即得細(xì)棒在 $P$ 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng) $\vec{E}=E_x\vec{i}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0a}\vec{i}$
  
  方向：該處場(chǎng)強(qiáng)的方向與細(xì)棒垂直。
- 如圖所示，該均勻帶電圓盤 $L$ 的半徑為 $R$ ，所帶電荷為 $q$ ，則求垂直于環(huán)面，且過(guò)環(huán)心的 $x$ 軸上任一點(diǎn) $P$ 的場(chǎng)強(qiáng)。
  
  QQ圖片20190403200216.jpg
  
  - 注意：（1）選好點(diǎn)電荷；（2）盡量使矢量積分簡(jiǎn)化（化矢量積分為標(biāo)量積分，注意多變量統(tǒng)一）
  
  解：
  
  在圓環(huán) $L$ 任取一電荷元 $dq$ ，則其在 $P$ 點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為： $d\vec{E}=\frac{dq}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{e_r}$
  顯然由圖可得，這是二維場(chǎng)，電荷對(duì)稱分布。
  所以，使得對(duì)稱方向上的成對(duì)等量電荷元 $q，q'$ 在 $y$ 方向上的場(chǎng)強(qiáng)等大反向，相互抵消。
  于是， $P$ 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)僅僅只有 $x$ 方向上的分量。
  即 $dq$ 在 $P$ 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)在 $x$ 方向上的投影為：
  $cos\theta=\frac{x}{r}$ 此處 $x，r$ 均可認(rèn)為是常量。
  $dE=dE_xcos\theta=\frac{dq}{4\pi \epsilon_0 r^2}cos\theta=\frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 r^3}$
  對(duì)上式進(jìn)行積分，即可得到 $P$ 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小
  $E=E_x=\int dE_x=\oint \frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 r^3}=\frac{xq}{4\pi \epsilon_0 r^3}=\frac{xq}{4\pi \epsilon_0 （x^2+R^2）^\frac{3}{2}}$
  即可得到一些推論：
  當(dāng) $P$ 點(diǎn)位于環(huán)心時(shí)（ $x=0$ ），其產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為0；
  當(dāng) $P$ 點(diǎn)距離環(huán)心無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)（ $x>>R$ ），其產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 $E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0x^2}$
  
  方向：該處場(chǎng)強(qiáng)的方向與圓環(huán)平面垂直。
- 如圖所示，有一半徑為 $R$ 的均勻帶電圓盤，其電荷面密度為 $\sigma$ ，試求過(guò)盤心，且垂直于盤面的軸上的場(chǎng)強(qiáng)。
  
  QQ圖片20190403200222.jpg
  
  - 注意：（1）選好點(diǎn)電荷；（2）盡量使矢量積分簡(jiǎn)化（化矢量積分為標(biāo)量積分，注意多變量統(tǒng)一）
  
  解：
  
  該帶電圓盤可等效為由半徑為0至半徑為 $R$ 的帶電圓環(huán)構(gòu)成的。
  可在圓盤內(nèi)取一半徑為 $r$ ，寬為 $dr$ 的環(huán)帶作為電荷元，其所帶電荷量為 $dq=\sigma 2\pi rdr$
  這是一個(gè)二維場(chǎng)，由于電荷對(duì)稱分布，所以只有 $x$ 軸方向上的場(chǎng)強(qiáng)分量。
  所以，在 $P$ 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小為 $dE=\frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}=\frac{\sigma xrdr}{2\epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}$
  對(duì)上式進(jìn)行積分，即可得到整個(gè)圓盤在 $P$ 點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小：
  $E=\int dE=\int ^{R} _{0}\frac{\sigma xrdr}{2\epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}[1-\frac{x}{(x^2+R^2)^\frac{1}{2}}]$
  則有當(dāng)圓盤無(wú)限大時(shí)，即 $R>>x$ 時(shí)，有 $\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon}\vec{i}$
  
  方向：該處場(chǎng)強(qiáng)的方向與圓盤平面垂直。
解決問(wèn)題
- 如圖所示，有一半徑為R的均勻?qū)嵭膸щ妶A球，所帶電量為 $Q$ ，試求過(guò)球心，其軸線上距離球心 $x_0$ 處 $P$ 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
  
  QQ圖片20190403203541.jpg
  - 注意：（1）選好點(diǎn)電荷；（2）盡量使矢量積分簡(jiǎn)化（化矢量積分為標(biāo)量積分，注意多變量統(tǒng)一）
  解：
  
  該帶電圓球可等效為由半徑為0至半徑為 $R$ 的帶電圓盤構(gòu)成的。
  可在圓球內(nèi)取一距離圓心為 $l$ ,半徑為 $r$ ，寬為 $dl$ 的盤塊作為電荷元。
  $R^2=r^2+l^2$ 所以， $r^2=R^2-l^2$
  則其所帶電荷量 $dq=\frac{3Q}{4\pi R^3} \pi r^2dl=\frac{3Q}{4R^3}r^2dl$
  所以，電荷面密度 $\sigma=\frac{3Q}{4\pi R^3}dl$
  所取圓盤距球心距離為 $l$ ，距離 $P$ 點(diǎn)為 $x$ ，則 $x=x_0-l$
  即有，在 $P$ 處的場(chǎng)強(qiáng)大小為 $dE=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}[1-\frac{x}{(x^2+r^2)^\frac{1}{2}}]=\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l）^2+R^2-l^2))^\frac{1}{2}}]dl$
  對(duì)上式積分即可得到整個(gè)圓球體在 $P$ 點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大?。?br> $E=\int dE=\int ^{R} _{-R}\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l）^2+R^2-l^2))^\frac{1}{2}}]dl=\int^R _{-R}\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}(\frac{x_0^2-2x_0l+R^2+x_0-l}{-2x_0l+x_0^2+R^2})dl=\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}(\frac{R^3}{3x_0^2}-(-\frac{R^3}{3x_0^2}))=\frac{Q}{4\epsilon_0 \pi x_0^2}$
  
  方向： $P$ 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與軸線方向相同