多項式函數(shù)
多項式函數(shù)
設(shè)![f(x)\in P[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=f(x)%5Cin%20P%5Bx%5D)
,%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_1x%2Ba_0)
,
用
代x所得的數(shù)
稱為f(x)當(dāng)
時的值,記作)
定義：可以由一個多項式來定義的函數(shù)稱為數(shù)域P上的多項式函數(shù)
注：當(dāng)P為實數(shù)域時,f(x)就是數(shù)學(xué)分析中討論的多項式函數(shù)
余數(shù)定理
定理：用一次多項式
除多項式f(x),所得余式為一個常數(shù),這個常數(shù)等于函數(shù)值
證明：
%2C%E4%BD%99%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0c%2C%E5%88%99)
%3D(x-%5Calpha)q(x)%2Bc)
%3Dc%5Cqquad%20%5Cmathcal%7BQ.E.D%7D)
推論：是f(x)的根%7Cf(x))
根與重根
根
定義：若f(x)在時函數(shù)值%3D0)
,則稱為f(x)的一個根或零點
重根
定義：若是f(x)的k重因式,則稱為f(x)的k重根
當(dāng)k=1時,為單根,當(dāng)
時,為重根
定理：P[x]中n次多項式)
在數(shù)域P中的根不可能多于n個,重根按重數(shù)計算
證明：
![設(shè)f(x)\in P[x],\partial(f(x))\gt 0](https://math.jianshu.com/math?formula=%E8%AE%BEf(x)%5Cin%20P%5Bx%5D%2C%5Cpartial(f(x))%5Cgt%200)
%E5%88%86%E8%A7%A3%E6%88%90%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B9%98%E7%A7%AF)
%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%9F%9FP%E4%B8%AD%E6%A0%B9%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%BC%8F%E4%B8%AD%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0)
定理：若多項式f(x),g(x)的次數(shù)都不超過n,而它們對n+1個不同的數(shù)
有相同的值,即%3Dg(%5Calpha_i)%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn%2B1)
,則f(x)=g(x)
證明：
-g(%5Calpha_i)%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn%2B1)
-g(x)%E6%9C%89n%2B1%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%A0%B9)
-g(x)%5Cneq%200)
-g(x)%E4%B8%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87n%E7%9A%84%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F)
-g(x)%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%9C%89n%2B1%E4%B8%AA%E6%A0%B9)
-g(x)%3D0)
%3Dg(x)%5Cqquad%20%5Cmathcal%7BQ.E.D%7D)
注：
1.不同多項式定義的函數(shù)也不相同
2.若兩個多項式定義相同的函數(shù),則稱為恒等
3.多項式的恒等與多項式相等一致
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