數系的每一次擴張，都是因為遇到了無法解決的問題。

人類在接受了無理數在數學界的正式地位后，又遇到了新的難題：像X^2+1=0這樣簡單的二次方程，在實數范圍內竟然無解，當從形式上去解時，得到了x^2=-1， 由于正數的平方是正數，負數的平方也是正數，也就是說，任何數的平方都是正的，負數是不可能有平方根的。

但是在三次方程中，人們又遇到了這樣的尷尬，比如x^3(x的3次方)=7x+6， 它明明有三個根，即3，-2，-1， 但按求根公式得到了含有負數平方根的結果，負數的平方根到底是不是“數”，說它是數，其意義是什么，說它不是數，但按數的運算法則計算時，得出的結果是對的，這的確令數學家們非常困惑。

數學家們的努力卻未曾停歇。

卡爾丹是第一個正視虛數的，稱它為"虛構的"、“超詭辯的量”。
意大利數學家蓬貝利第一個理直氣壯地承認虛數。

1632年，笛卡爾首先把“虛構的根”改稱為“虛數”，與“實數”相對應，他還給出了如今意義下的“復數”的名字。

維塞爾建立了復平面的概念，復數a+bi可以用一個幾何線段表示，從而推出了復數的幾何表示，高斯在使人們接受復數方面做了極為有效的工作，他在代數基本定理的證明中都用了復數，并假定了直角坐標上的點與復數一一對應，這必須依賴于對復數的承認，相應地鞏固了復數的地位。后來，漢密爾頓又定義了復數的四則運算。

復數的引進徹底解決了代數方程的根的個數問題，引起了著名的代數基本定理，復數引入分析之后，產生了新的學科——復變函數。