3．非十進(jìn)制中的計(jì)算

? ? ? 以十為基底的用法要回溯到世界文明的初期，而且毋庸置疑這是人們用十個(gè)手指進(jìn)行計(jì)算的緣故，但是在許多語言中，從數(shù)目字來看，顯示出曾用過其他基底的遺跡，特別是＂十二＂和＂二十＂，在英文中，11和12就不是按照十進(jìn)位的原則把數(shù)碼和＂十＂(teens)組合在一起的，在語言上它們與＂十＂完全無關(guān)，＂11＂是eleven，＂12＂是twelve。在現(xiàn)實(shí)生活中，毎年的時(shí)間是12個(gè)月為基底，每天的時(shí)間是以24小時(shí)為基底，每小時(shí)是以60分鐘為基底等，比如356個(gè)月用12進(jìn)制表示為356(10)＝258(12)，從258(12)中很容易看出年數(shù)是(2x12＋5)29年余8個(gè)月。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)中，我們采用了二進(jìn)制計(jì)算，從理論的觀點(diǎn)來看，最小的基底是以2為基底的進(jìn)位制，在二進(jìn)制中，只有數(shù)碼O和1，其他任何數(shù)都可以用一行O，1來表示，加法表和乘法表僅由規(guī)則1＋0＝1和1x1＝1組成，如，2(10)＝10(2)，3(10)＝11(2)，79(10)＝1x2??6＋0x2??5＋0x24＋1x2??3＋1x2??2＋1x2＋1＝1001111(2)

顯然，這個(gè)系統(tǒng)也有不便之處，即，為了表示一個(gè)很小的數(shù)卻需要用很長一行數(shù)碼來表達(dá)，但其加法、乘法有簡單性，我們以5＋7＝12，5x7＝35為例：5＝101(2)? ? ? ；7＝111(2)

? ? ? ? ? 101? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111

＋)? ? 111? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x) 101

? 一一一一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一一一一

1100＝2??3＋2??2＋0＋0＝12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一一一一一一

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100011＝2??5＋2＋1＝35

? 萊布尼茨(W·??eibniz)(1646一1716)是他那個(gè)時(shí)代最偉大的思想家之一，他十分欣賞二進(jìn)位制。用拉普拉斯(??ap丨ace)(1749一1827)的話來說：＂萊布尼茨在他的二進(jìn)位算術(shù)中看到了宇宙創(chuàng)始的原象，他想象1表示上帝，而0表示虛無，上帝從虛無中創(chuàng)造出所有實(shí)物，恰如在他的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中用1和0表示所有的數(shù)。＂