3. 分散性與變異性

• 全距：

也叫極差，用于度量數(shù)據(jù)集分散程度最簡(jiǎn)單的一種方法。測(cè)量數(shù)據(jù)的擴(kuò)展范圍、寬度。

計(jì)算方法：全距 = 上界（最大值） - 下界（最小值）

缺點(diǎn)：全距僅僅描述了數(shù)據(jù)的寬度，并沒有描述數(shù)據(jù)在上、下界之間的分布情況。當(dāng)最大值和最小值有異常值時(shí)，全距就極具誤導(dǎo)性。

• 原本1-5之間的數(shù)，全距為4；上界只添加了一個(gè)10，全距就變成9。

  
  

• 四分位數(shù)：

  將整批數(shù)據(jù)一分為四，最小的四分位數(shù)稱下四分位數(shù)，最大的為上四分位數(shù)。中間的四分位數(shù)稱中位數(shù)。

  每?jī)蓚€(gè)四分位數(shù)直接的距離稱四分位距。

  公式： 四分位距 = 上四分位數(shù) - 下四分位數(shù)

  優(yōu)點(diǎn)：與全距相比，較少受到異常值影響，因?yàn)楫惓Ｖ挡豢赡芪挥谥行奈恢?，要么極大，要么極小，四分位距可以將異常值統(tǒng)統(tǒng)鏟除。

  效果：經(jīng)過剔除后，四分位距僅僅保留了中間最有代表的50%的數(shù)據(jù)。

• 計(jì)算方法：

• 1. 求下四分位數(shù)：

     • 先把總位數(shù)（頻數(shù)）4等分，n /4.

     • 結(jié)果是整數(shù)，則下四分位數(shù)位于“n /4”這個(gè)位置和下一個(gè)位置的中間，取二者的均值，所得即為結(jié)果。

     • 結(jié)果不是整數(shù)，向上取整，所得即為結(jié)果。

  2. 求上四分位數(shù)：

     • 先把總位數(shù)（頻數(shù)），3n /4.

     • 結(jié)果是整數(shù)，則上四分位數(shù)位于“3n /4”這個(gè)位置和下一個(gè)位置的中間，取二者的均值，所得即為結(jié)果。

     • 結(jié)果不是整數(shù)，向上取整，所得即為結(jié)果。

  核心：用一組數(shù)據(jù)的四分之一位置的數(shù)減去四分之三位置的數(shù)，去掉有異常頭部和尾部，保留核心的中間 50%的位置

  • 實(shí)例：計(jì)算下面表格的全距和四分位距：

1. 全距：

2. 下四分位數(shù)，上四分位數(shù)：
   

3. 四分位距：

• 百分位數(shù)：

四分位數(shù)是將數(shù)據(jù)一分為四的數(shù)值，同理，將數(shù)據(jù)一份為百的數(shù)值就是百分位數(shù)。

第k百分位數(shù)就是位于數(shù)據(jù)范圍k%處的數(shù)據(jù)，常用Pk表示。

• 用途：雖然不常用，但在劃分名詞，排行時(shí)很有用。

• 例子：你英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)考了50分，如果不跟別人比，你是無(wú)法知道自己考的好還是壞。但是告訴你測(cè)驗(yàn)的第90百分位數(shù)是50分，那么，你的分?jǐn)?shù)肯定高于或等于其他90%的人。

  
  

• 求百分位方法：

  1. 將所有數(shù)值升序排列；

  2. 求出n個(gè)數(shù)字的第k百分位數(shù)的位置，計(jì)算k(n/100)；

  3. 結(jié)果為整數(shù)，則百分位數(shù)處于第k(n/100)位和下一位數(shù)之間，去兩個(gè)位置的均值。

  4. 結(jié)果不是整數(shù)，則向上取整，結(jié)果即百分位數(shù)的位置。

• 例子：有125個(gè)數(shù)，求十分位數(shù)，先計(jì)算10*125/100=12.5，向上取整得13，即十分位數(shù)為第13位的數(shù)值。

• 箱線圖

  或稱箱形圖，能在同一張圖上體現(xiàn)多個(gè)距和四分位數(shù)?！跋洹憋@示四分位數(shù)和四分位距的位置，“線”則顯示出上、下界。

  圖示：

全距與四分位距的問題：它們僅告訴你最大值和最小值直接的差值，卻無(wú)法告訴你得這些最高分和最低分的頻率，以及更為穩(wěn)定的得分是多少。

• 方差，標(biāo)準(zhǔn)差：

度量分散性的一種方法，它描述了典型值與均值的距離。

公式：

簡(jiǎn)單算法：

• 標(biāo)準(zhǔn)分：

  當(dāng)有2組或多組不同的數(shù)據(jù)集進(jìn)行比較時(shí)，都具有不同的均值和方差，普通方法就無(wú)法比較。而通過標(biāo)準(zhǔn)分，我們就可以把這些數(shù)據(jù)視為來(lái)自同一個(gè)數(shù)據(jù)集或數(shù)據(jù)分布，擁有相同的均值和方差，從而更方便比較。

  • 標(biāo)準(zhǔn)分用字母“z”表示，公式：

• 作用：將幾個(gè)數(shù)據(jù)集轉(zhuǎn)換成一個(gè)新分布，這個(gè)新分布均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.

  z分布為正，表示數(shù)值高于均值；為負(fù)表示數(shù)值低于均值。

• 案例：

1. 標(biāo)準(zhǔn)分（z分）：
   球員1：z = (75-70)/20 = 0.25 ;

   球員2：z =(55-40)/10 =1.5

2. 比較：

   結(jié)果顯示：盡管總體上看球員1是更優(yōu)秀的選手，但是標(biāo)準(zhǔn)化后，球員2的得分比球員1得分更高。說明球員2相對(duì)于本人的歷史記錄，2表現(xiàn)的更好。

• 通常，統(tǒng)計(jì)師會(huì)用距離均值若干個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差表示某個(gè)特定數(shù)值的相對(duì)位置。用于衡量某個(gè)數(shù)值距離均值距離的遠(yuǎn)近。

  • 如：一個(gè)數(shù)值距離均值在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)分為[-1,1];

• 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)分為[-2,2]。

• 標(biāo)準(zhǔn)分與異常值：

  • 有時(shí)候可以將異常值定義為偏離均值3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值，不過，具體因人、因行業(yè)需求而異。